平均变化率的概念及几何意义
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【解析】当 时
……
【拔高】
1.用导数的定义，求函数 在x=1处的导数
∵
∴
∴ 。
2.已知函数 可导，若 ， ，求
【解析】 （ ）
（令t=x2，x→1，t→1）
课程小结
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为 .
若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 .
2.f(x)在x＝x0处可导，则 ()
A．与x0，Δx有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
【答案】B
【解析】式子 表示的意义是求f′(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关．
课后作业
【基础】
1.利用导数的定义求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
【解析】（1） ，
∴ ，
∴ 。
（2） ，
∴ ，
∴ 。
（3） ，
∴ ，
∴ 。
（4） ，
∴ ，
∴ 。
【巩固】
1.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【解析】 ,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为 即
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝
li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li .
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
问题2高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态?
二、知识讲解
本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析
考点1：平均变化率概念
1．上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
【巩固】
1.自由落体运动的运动方程为 ，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。
【解析】要求平均速度，就是求 的值，为此需求出 、 。
设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则
，
。
所以 。
同理 。
。
2.过曲线 上两点 和 作曲线的割线，求出当 时割线的斜率.
＝4Δt＋4＋8t0，
＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
【拔高】
1.函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝()
A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)
【答案】D
【解析】Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点 处的变化率 ，得到曲线在点 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
三、例题精析
【例题1】已知函数f(x)= 的图象上的一点 及临近一点 ,则 ．
【答案】
【解析】解： ，
∴
【例题2】求 在 附近的平均变化率
【答案】
【解析】解： ，所以
所以 在 附近的平均变化率为
【例题3】求函数y=3x2在x=1处的导数.
【答案】6
【解析】：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2
再求 再求
【例题4】:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【答案】
【解析】 ,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为 即
四、课堂运用
【基础】
1.求 在 到 之间的平均变化率，并求 ， 时平均变化率的值.
【解析】当变量从 变到 时，函数的平均变化率为
当 ， 时，平均变化率的值为： .
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+ ]内的平均变化率
【解析】 ，
所以平均变化率为
2.求函数y=3x2在点 处的导数.
【解析】因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求ຫໍສະໝຸດ Baidu切线方程为 即
【拔高】
1.已知函数 可导，若 ， ，求
【解析】
2.在曲线y=x2上过哪一点的切线：
（1）平行于直线y=4x―5；
（2）垂直于直线2x―6y+5=0；
（3）与x轴成135°的倾斜角。
【解析】 ，
设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0
一对一辅导教案
学生姓名
性别
年级
学科
授课教师
上课时间
年月日
第（）次课
共（）次课
课时：课时
教学课题
平均变化率的概念及几何意义；
教学目标
1．了解平均变化率的几何意义；
2．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点与难点
平均变化率的概念，导数的几何意义
教学过程
教学过程
一、复习预习
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
2．若设 , (这里 看作是对于x1的一个“增量”可用x1+ 代替x2,同样 )
3．则平均变化率为
考点2导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数 在 出的导数，记作 或 ，即
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2） ，当 时， ，所以
考点/3导数的几何意义
（1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，
即P（2，4）。
（2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以 ，得 ， ，
即 。
（3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得 ， ，
即 。
课后作业
【基础】
函数在某一点的导数是()
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【答案】C
【解析】由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．
【巩固】
质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()
A．4＋4t0B．0
C．8t0＋4D．4t0＋4t
【答案】C
【解析】Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，
……
【拔高】
1.用导数的定义，求函数 在x=1处的导数
∵
∴
∴ 。
2.已知函数 可导，若 ， ，求
【解析】 （ ）
（令t=x2，x→1，t→1）
课程小结
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为 .
若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 .
2.f(x)在x＝x0处可导，则 ()
A．与x0，Δx有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
【答案】B
【解析】式子 表示的意义是求f′(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关．
课后作业
【基础】
1.利用导数的定义求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
【解析】（1） ，
∴ ，
∴ 。
（2） ，
∴ ，
∴ 。
（3） ，
∴ ，
∴ 。
（4） ，
∴ ，
∴ 。
【巩固】
1.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【解析】 ,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为 即
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝
li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li .
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
问题2高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态?
二、知识讲解
本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析
考点1：平均变化率概念
1．上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
【巩固】
1.自由落体运动的运动方程为 ，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。
【解析】要求平均速度，就是求 的值，为此需求出 、 。
设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则
，
。
所以 。
同理 。
。
2.过曲线 上两点 和 作曲线的割线，求出当 时割线的斜率.
＝4Δt＋4＋8t0，
＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
【拔高】
1.函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝()
A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)
【答案】D
【解析】Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点 处的变化率 ，得到曲线在点 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
三、例题精析
【例题1】已知函数f(x)= 的图象上的一点 及临近一点 ,则 ．
【答案】
【解析】解： ，
∴
【例题2】求 在 附近的平均变化率
【答案】
【解析】解： ，所以
所以 在 附近的平均变化率为
【例题3】求函数y=3x2在x=1处的导数.
【答案】6
【解析】：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2
再求 再求
【例题4】:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【答案】
【解析】 ,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为 即
四、课堂运用
【基础】
1.求 在 到 之间的平均变化率，并求 ， 时平均变化率的值.
【解析】当变量从 变到 时，函数的平均变化率为
当 ， 时，平均变化率的值为： .
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+ ]内的平均变化率
【解析】 ，
所以平均变化率为
2.求函数y=3x2在点 处的导数.
【解析】因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求ຫໍສະໝຸດ Baidu切线方程为 即
【拔高】
1.已知函数 可导，若 ， ，求
【解析】
2.在曲线y=x2上过哪一点的切线：
（1）平行于直线y=4x―5；
（2）垂直于直线2x―6y+5=0；
（3）与x轴成135°的倾斜角。
【解析】 ，
设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0
一对一辅导教案
学生姓名
性别
年级
学科
授课教师
上课时间
年月日
第（）次课
共（）次课
课时：课时
教学课题
平均变化率的概念及几何意义；
教学目标
1．了解平均变化率的几何意义；
2．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点与难点
平均变化率的概念，导数的几何意义
教学过程
教学过程
一、复习预习
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
2．若设 , (这里 看作是对于x1的一个“增量”可用x1+ 代替x2,同样 )
3．则平均变化率为
考点2导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数 在 出的导数，记作 或 ，即
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2） ，当 时， ，所以
考点/3导数的几何意义
（1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，
即P（2，4）。
（2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以 ，得 ， ，
即 。
（3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得 ， ，
即 。
课后作业
【基础】
函数在某一点的导数是()
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【答案】C
【解析】由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．
【巩固】
质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()
A．4＋4t0B．0
C．8t0＋4D．4t0＋4t
【答案】C
【解析】Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，