理论力学12章

SKIP基点法 由 vi vC
viC 两端乘 dt,有
dri drC driC
作用在 Mi 点的力 Fi的元功为
δWi Fi dri Fi drC Fi driC
其中
Fi driC Fi cos M iC d M C ( Fi )d
解:质点从位置 I 落到板上 II，这 个过程是自由落体运动，重力做功， 速度由 0 增加到 v1（待求），应用 动能定理
1 mv12 0 mgh 2 解得 v1 2 gh
质点继续向下运动，弹簧开始被压缩，从位置 II 到位置 III， 弹簧被压缩到最大值max，质点速度变成0。这个过程重力 1 2 和弹簧力都做功，弹簧力做功为 k (0 ，应用动能定 max ) 2 理 1 1 2 2
几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
M2
Fz mg
W12
M1
Fz dz
M2
M1
mgdz mg ( z1 z2 )
对于质点系
W m g ( z
12 i
i1
zi 2 )
由 得
mzC mi zi
W
12
mg ( zC1 zC 2 )
1 2 T mvC 2
动量
mv
J
（2）定轴转动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 2 2 转动惯量 J z 1 即 T J z 2 2
（3）平面运动刚体的动能
质心为C，速度瞬心为P
1 1 2 T J p ( J C md 2 ) 2 2 2 1 1 2 J C m( d ) 2 2 2 2 v C 1 1 2 2 得 T mv J C C 2 2
直接应用动能定理。始末位置的动
能都等于 0，冲断试件所消耗的能 量也就是试件内力所做的负功。由
动能定理得
T1 0,
δW F cos ds
δW F dr
力始终与位移垂直时，力不做功
力 F在点 M1 ～ M2 路程上做的功为
W12
记
M2
M1
δW
M2
M1
F· dr
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
则
W12
M2
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz )
因为 得
a b ab cos r 1 1 2 er dr dr d(r r ) d(r ) dr r 2r 2r
W12 k (r l0 )dr
r1
r2
即
k 2 W12 (1 2 2 ) 2
式中
1 r1 l0 ,
2 r2 l0
W12 FR drC M C d
C1
C2
2
1
平面运动 = 随基点平移 + 绕基点转动
即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代 数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。
平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力做功的代数和。 力系
C2
向一点简化
W12 FR drC M C d
弹性力的功也与路径无关
两段相同的位移内（起始位置不同），弹性力做功不相等。
图12-4
F
1
弹性力的功
2
3

k 2 W12 (1 2 2 ) 2
两段相同的位移内（起始位置不同），弹性力做功不相等。 图12-4
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力 F 与作用点 A 的轨迹切线夹角为 ，力 F 在切线投影为Ft
等约束的约束力做功等于零。
FN
滑动摩擦力在纯滚动（只滚不滑）中也不做功，因为滑动摩擦力 作用点没动。 约束力做功等于零的约束称为理想约束。
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系的内力做功之和并不一定等于零。 （举例：两带电粒子相互吸引）
例13-1 已知：质量为 m 的质点，从高 h 处自由落下，落 到下面有弹簧支持的板上，弹簧的刚度系数为 k，板和弹 簧质量不计。 求: 弹簧的最大压缩量 max 最大压缩量时速度为零
与半径无关
2
§12-3
1、质点的动能定理
将
动能定理
因
dr v dt
dv m F dt
两端点乘
得 dr vdt ，
dv m dr F dr dt F dr δW ,
mv dv F dr 1 1 2 由于 mv dv md(v v ) d( mv ), 2 2 1 2 因此 d( mv ) δW 2
整理得 作用在质点上力的元功。
上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于
对上式积分，得
1 1 2 2 mv2 mv1 W12 2 2
称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中，质点 动能的改变量等于作用于质点的力作的功。
2、质点系的动能定理
由
求和 得
1 2 d ( mi vi ) δ Wi 2 1 2 d ( 2mi vi ) δWi
解: 轮 C 与轮 O 共同组成一个质点系 受力情况： m1g， m2g，M，FOx， FOy，FN 和 Fs
其中，m1g，FOx， FOy，FN 和 Fs 都不做功 只有m2g和 M 做功 主动力做功为：
1
2
W12 M m2 g sin s
质点系动能为：
T1 0
1 1 1 1 2 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2vC ( m2 R2 )2 2 2 2 2
重力的功只与质心的始、末位置有关，与路径无关。
2、弹性力的功
Hooke’s Law
F k
弹簧刚度系数 k (单位 N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
er 为矢径方向的单位矢量
弹性力的功为
W12 F dr
A1
A2
k (r l0 )er dr
A1
A2
解: 设摆锤冲断试件前后的动能分别 为 T1 和 T2 。
先分析摆锤冲断试件前的下落过程。 初始动能为0，末动能为 T1 （待求）。 重力做正功。由动能定理得
T1 0 mgl (1 cos 1 )
代入数据得
T1 18kg 9.8m/s2 0.84m (1 cos 70 ) 97.5 J
C1
2
主矢 + 主矩 （力） （力偶）
1
即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代
数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。
说明: 1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2、C 点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不做功的力。
平动动能 转动动能
即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转
动的动能之和。 （平面运动分解为随基点的平移和绕基点的定轴转动）
例 车轮在地面上滚动
只滚不滑，轮心作直线运动，速度为vC ，车轮质量为m，质量 分布在轮缘，若轮辐质量不计，则车轮的动能为
1 1 2 T mvC J C 2 2 2 1 1 2 2 vC mvC (mR ) 2 2 R mvC 2
2 ( M m2 g R1 sin ) aC R1 (2m1 3m2 )
或者，将速度表达式先平方，再对 t 求导，得
( M m2 gR1 sin ) s vC 2 R1 (2m1 3m2 )
vC 2 4
s
2vC aC 4 vC
aC 2
Skip 例13-3 冲击试验机 m = 18kg，l = 840mm，杆重不计， 在1 = 70˚时静止释放，冲断试件后摆至2 = 29˚ 求：冲断试件需用的能量。
d T δWi
称质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量，等于作用
于质点系全部力所作的元功的和。
对上式积分，得
T2 T1 Wi
称质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中， 起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这
段过程中所作功的和。
3、理想约束
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、（不可伸长的）柔索
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
得
ds Rd
M z Ft R
δW M z d
2
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
R
W12 M z d
1
若
M z 常量
W12 M z (2 1 ) M z
则
类比
W F s
4. 平面运动刚体上力系的功
0 mv1 mg max k max 2 2
2 k max 2mg max 2mgh 0
解得
max
mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
（负值舍去）
另解: 以上两个过程当作一个整体过 程处理，即从位置 I 到位置 III ，重 力和弹簧力做功。重力在全过程都做 功，弹簧力在 II 到 III 之间做负功， 应用动能定理
鼓轮动能 圆柱动能
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2vC ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2 vC vC , 2 其中 1 2 R1 R2
整理，得
1
vC 2 T2 (2m1 3m2 ) 4
由动能定理，得
T2 T1 W12
T1 0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T2 0,
1 2 0 0 mg (h max ) k max 2
解得
max
mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
例13-2 已知：鼓轮 O 的R1、m1，质量分布在轮缘上；均质轮 C 的R2、m2，纯滚动，初始静止；斜面倾角 ，M 为常力偶。 求:轮心 C 走过路程 s 时的速度和加速度。
vC (2m1 3m2 ) M m2 g sin s (a) 4 s ( M m gR sin ) s 2 1 将 代入，得 v 2 C R1 R1 (2m1 3m2 )
2
式(a)是函数关系式，两端对 t 求导,得
vC 1 (2m1 3m2 ) vC aC M m2 g sin vC 2 R1
再分析摆锤冲断试件后的上升过程。初始动能为T2（待求），末 动能为 0。重力做负功。由动能定理得
0 T2 mgl (1 cos 2 )
得
T2 18.58 J
摆锤在冲断试件时损失的动能等于冲断试件需要的能量Wk
Wk T1 T2 78.92 J
另解: 在摆角 1 和 2 两个位置之间
力系全部力的元功之和为
δW δWi
Fi drC M C ( Fi )d
drC M C d FR
drC M C d δW FR
(向质心简化) 为力系主矢，MC 为力系对质心的主矩。 其中: FR 当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1 ~2 时,力系的功为
C2
2
1
对于任何运动也适用
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
1 T mi vi 2 2
相似性比较
（1）平移刚体的动能 平动 动能 转动
1 2 1 2 T mi vi vC mi 2 2
即
1 2 mv 2
1 J 2 2
小结 1.重力的功 W12 mg ( zC1 zC 2 )
k 2 2.弹性力的功 W12 (1 2 2 ) 2
3.定轴转动刚体上作用力的功
W12 M z (2 1 ) M z
4.平面运动刚体上力系的功
W12 FR drC M C d
C1
第十二章 动 能 定 理
§12-1 力的功
做功 or 作功？ 常力在直线运动中的功
W F cos s F s
功是代数量 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N· m 单位为N· m的量，还有 力矩
MO (F ) r F
变力在曲线运动中的功 无限小位移dr中，力可视为常力 小弧长ds可视为直线 元功 即