二次函数动轴与动区间问题

二次函数在闭区间上得最值

一、知识要点:

一元二次函数得区间最值问题,核心就是函数对称轴与给定区间得相对位置关系得讨论。一般分为：对称轴在区间得左边,中间,右边三种情况、

设,求在上得最大值与最小值。

分析:将配方,得顶点为、对称轴为

当时,它得图象就是开口向上得抛物线,数形结合可得在[m,n]上得最值:

(１)当时,得最小值就是得最大值就是中得较大者。

(2）当时

若,由在上就是增函数则得最小值就是,最大值就是

若，由在上就是减函数则得最大值就是,最小值就是

当时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

(一)、正向型

就是指已知二次函数与定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间得相互位置关系得讨论往往成为解决这类问题得关键。此类问题包括以下四种情形:（1)轴定,区间定;(2）轴定,区间变;（3)轴变,区间定;(４)轴变,区间变。

1、轴定区间定

二次函数就是给定得,给出得定义域区间也就是固定得,我们称这种情况就是“定二次函数在定区间上得最值”。

例1、函数在区间[０,３]上得最大值就是_____＿＿＿_,最小值就是___＿＿_＿。

解:函数就是定义在区间[0,３]上得二次函数,其对称轴方程就是，顶点坐标为（2,2）,且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在［0,3］上,

如图1所示。函数得最大值为,最小值为。

图１

练习、已知,求函数得最值。

解:由已知,可得,即函数就是定义在区间上得二次函数。将二次函数配方得

,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数得最小值为，最大值为。

图2

2、轴定区间变

二次函数就是确定得,但它得定义域区间就是随参数而变化得，我们称这种情况就是“定函数在动区间上得最值”。

例２、如果函数定义在区间上，求得最小值。

解:函数,其对称轴方程为,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。

如图1所示,若顶点横坐标在区间左侧时，有,此时,当时,函数取得最小值

。

图1

如图2所示,若顶点横坐标在区间上时,有,即。当时,函数取得最小值。

图2

如图3所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有，即。当时,函数取得最小值

综上讨论,

图8

例３、已知,当时,求得最大值．

解:由已知可求对称轴为．

(1）当时,.

(2）当,即时,.

根据对称性若即时,.

若即时,.

(３)当即时,.

综上,

观察前两题得解法,为什么最值有时候分两种情况讨论,而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察:二次函数在闭区间上得得最值总就是在闭区间得端点或二次函数得顶点取到。第一个例题中,这个二次函数就是开口向上得,在闭区间上,它得最小值在区间得两个端点或二次函数得顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情况讨论;而它得最大值不可能就是二次函数得顶点，只可能就是闭区间得两个端点,哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,当然也就根据区间中点与左右端点得远近分两种情况讨论。根据这个理解,不难解释第二个例题为什么这样讨论。

对二次函数得区间最值结合函数图象总结如下:

当时

当时

3、轴变区间定

二次函数随着参数得变化而变化,即其图象就是运动得,但定义域区间就是固定得，我们称这种情况就是“动二次函数在定区间上得最值”。

例4、已知,且，求函数得最值。

解:由已知有，于就是函数就是定义在区间上得二次函数,将配方得:

二次函数得对称轴方程就是顶点坐标为,图象开口向上

由可得,显然其顶点横坐标在区间得左侧或左端点上。

函数得最小值就是,最大值就是。

图3

例5、(1)求在区间［-１,2]上得最大值。

(２）求函数在上得最大值。

解:(１)二次函数得对称轴方程为,

当即时,;

当即时,。

综上所述:。

（2)函数图象得对称轴方程为,应分，,即,与这三种情形讨论,下列三图分别为

(1);由图可知

（2);由图可知

(３) 时;由图可知

；即

4、轴变区间变

二次函数就是含参数得函数，而定义域区间也就是变化得，我们称这种情况就是“动二次函数在动区间上得最值”。例6、已知,求得最小值。

解:将代入ｕ中，得

①,即时,

②,即时,

所以

(二)、逆向型

就是指已知二次函数在某区间上得最值,求函数或区间中参数得取值。

例7、已知函数在区间上得最大值为４,求实数a得值。

解:

(1)若,不符合题意。

(2）若则

由,得

（３)若时，则

由,得

综上知或

例8、已知函数在区间上得最小值就是3最大值就是3,求,得值。

解法1:讨论对称轴中1与得位置关系。

①若，则

解得

②若，则，无解

③若,则，无解

④若,则,无解

综上，

解析2:由,知，则,

又∵在上当增大时也增大所以

解得

评注:解法２利用闭区间上得最值不超过整个定义域上得最值，缩小了,得取值范围,避开了繁难得分类讨论,解题过程简洁、明了。

例9、已知二次函数在区间上得最大值为３,求实数a得值。这就是一个逆向最值问题，若从求最值入手,需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总就是在闭区间得端点或抛物线得顶点处取到,因此先计算这些点得函数值,再检验其真假,过程就简明多了。

具体解法为:

(1)令,得

此时抛物线开口向下，对称轴方程为,且,故不合题意;

(2)令,得

此时抛物线开口向上,闭区间得右端点距离对称轴较远，故符合题意;

（3)若,得

此时抛物线开口向下,闭区间得右端点距离对称轴较远,故符合题意。

综上,或

解后反思:若函数图象得开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数得参数一致,可采用先斩后奏得方法,利用二次函数在闭区间上得最值只可能在区间端点、顶点处取得,不妨令之为最值,验证参数得资格,进行取舍,从而避开繁难得分类讨论,使解题过程简洁、明了。

三、巩固训练

1.函数在上得最小值与最大值分别就是(）

1 ,3 ,3（Ｃ) ,３(D), 3

2．函数在区间上得最小值就是（)２

３.函数得最值为（)

最大值为8,最小值为0 不存在最小值,最大值为8

(C)最小值为0, 不存在最大值不存在最小值,也不存在最大值

4.若函数得取值范围就是_＿____＿_＿＿＿________＿__

５.已知函数上得最大值就是1,则实数a得值为

6.如果实数满足,那么有( )

(A)最大值为1, 最小值为(Ｂ）无最大值，最小值为

(Ｃ）)最大值为1, 无最小值(Ｄ)最大值为1，最小值为

7.已知函数在闭区间上有最大值３,最小值2,则得取值范围就是

( )

(Ａ) (B) (C)(D)

8.若,那么得最小值为＿＿＿_＿＿___＿________

9.设就是方程得两个实根,则得最小值______

１0．设求函数得最小值得解析式。

11．已知,在区间上得最大值为，求得最小值。

12、(2009江苏卷)设为实数,函数、

(1)若,求得取值范围;

(2)求得最小值;

（3）设函数,直接写出

．．．．(不需给出演算步骤）不等式得解集、