9-简单超静定结构的解法

BF

Fa EA
BB


FBl EA
（4）补充方程变为
B
Fa FBl 0 EA EA
得
FB

Fa l
FB
x FB为正,表明其方向与图中所设一致.
例2 设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面 积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2， E1= E2=E；3杆长度为l3 ， 横截面面积为A3，弹性模量为E3 。试求各杆的轴力。
•补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了 利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充 方程的数目等于多余未知力的数目。
•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程， 结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的补充方 程。
•补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。 此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进 行说明。
FB B
DC
A
•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约 束，相应的约束反力称为多余未知力。
• 超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。
•注意：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余 约束往往是必需的，并不是多余的。
•超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超 静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、 物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问 题。
ql 4 FBl 3 0 8EI 3EI
解得
FB

3 ql 8
可从右向左作出剪力图和弯矩图
8 ql
81ql
FS 图
18l
8 ql2
1218ql2
M图
也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为 “多余”约束，解除后可得相当系统
q
MA A
B
l
根据原超静定梁端面 A 的转角应等于零的变形 相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求 解。

74.53MPa
3

FN3 A3
19.51MPa
计算中注意单位
在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，会产 生相当可观的装配应力。这种装配应力既可能引 起不利的后果，也可能带来有利的影响。
土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利 用装配应力来提高构件承载能力的例子。
(2)温度应力
静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变 形不会在杆中产生内力。
使用胡克定理得
lF

FNl EA
温度引起的变形 lt alt l
得补充方程
a l t
l

FNl EA

0
解得
FN al EA t
温度应力


FN A
al Et
如杆为钢杆， al =1.210-5/(oC), E=210GPa, 如 温度升高 t=40 oC，杆内的温度应力为
FN3 1 2
EA
cos3 a
E3 A3
在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度
与其它杆的刚度的比值有关。
增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将 随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将 引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆系 中是不存在的。
归纳起来，求解超静定问题的步骤是： (1)根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程； (2)根据变形协调条件，建立补充方程; (3)利用胡克定律，改写补充方程； (4)联立求解。
例7 梁AC在B、C处分别为固定铰支座和可动铰支座，
梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接。在梁受荷载作
用以前，杆 AD 内没有内力。已知梁和拉杆用同样的
钢材制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩
l l
wA
为I，拉杆横截面的面积为A，其余尺寸见图。试求钢
杆AD内的拉力FN。
D
2q q
A a
(2) 变形分析—协调条件（补充方程）
l1 l2 l3
B
C
A
C'
B'
2(l1 l2 ) l1l3
(3) 胡克定理
l1

FN1l EA
,
l2

FN2l EA
,
l3

FN3l EA
FN1 2FN2 FN3
(4)联立求解得
FN1

F 12
,
FN 2

F 3
,
FN3
B
D
C 解：一次超静定问题
1 32
(1)力：由节点A的平衡条件列 出平衡方程
y FN1 a
F N3
a FN2
A
F
A
Fx 0, FN1 sin a FN2 sin a 0
F
x Fy 0, FN3 FN1 cosa FN3 cosa F 0
B
D
C (2)变形：补充方程
B 1
C1 A1 C
1
解： 画出结构装配简图，
1
B
并可确定装配后3 杆受 压，1、2杆受拉
aa
C 2
A
l
e
C'
3
l1=l2
B1
1
B
B'
C1
C
C'
A1
2
A
A' l3
FN1
B
FN3
C
FN2
A
aa
(1) 列出平衡方程,一次超静定问题
x Fx 0, FN3 FN1 FN2 0 M C' 0, FN1 FN2
例4 两铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为 l=200mm。现需 将制造得过长e=0.11mm的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆 的轴线平行且有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知： 钢杆直径d=10mm，铜杆横截面为20mm 30mm的矩形，钢的 弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其 变形可略去不计。
--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统
A
注意原超静定结构的 B 端
约束情况，相当系统要保持和
C
原结构相等，则相当系统在 B
F
点的位移为零。
B
即得补充方程 B 0
FB
在相当系统中求 B 点的位移,按叠加原理，可得
A
C F B x
BF BB
B BF BB
A
（3） 胡克定理(物理关系)
(2) 变形分析—协调条件（补充方程）
因铸件可视作刚体，其变形相容条件是三杆变 形后的端点须在同一直线上。由于结构在几何 和物性均对称于杆3，可得补充方程
l1 l3 e
(3) 胡克定理
l1

FN1l EA
l3

FN3l E3A3
补充方程变为
(4)
FN1l FN3l EA E3A3
简单的超静定问题
1、 超静定问题及其解法
B
C
F
1
2
A
B
aa
A F
静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的 约束反力或内力。
B
D
C
1
3
2
aa y
F N3
A
a a FN1
FN2
FA A
F
A
x
F
F
FC
C
超静定结构(静不定结构): 静力学 B 平衡方程不能求解。
超静定结构的未知力的数目多于 独立的平衡方程的数目；两者的 差值称为超静定的次数。
a
B
b
多余约束，解除后
l
加上相应的多余未
MA A
I
Me
C
II
MB
B
x
知力偶矩MB，得基 本静定系。
平衡方程：设固定端A的支反力偶为MA ,方向同MB
M x 0, M A M B M e 0
变形协调条件：根据原超静定杆的约束情况，基 本静定系在B端的扭转角应等于零, 即补充方程为
B 0
1 32 aa
(变形协调条件)
A A'
l1 l3 cosa
l3
(3)胡克定理
l1

FN1l EA
l3

FN3l cosa
E3 A3
(4)补充方程变为
FN1

FN3
EA E3 A3
cos2 a
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1

FN 2

2 c osa
F
Biblioteka Baidu

E3 A3 EAcos2
a
F
例3 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模
量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁， 试求在荷载F 作用下各杆的轴力。
l
1
2
3
a
a
a 2
DC
A BF
解: (1)受力分析--平衡方程
FN1 A
FN2
FN3
B
C
D F
Y 0,
FN1 FN2 FN3 F 0
M D 0, 1.5FN1 0.5FN2 0.5FN3 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
BM

Mea , GIp
BB

M Bl GIp
MA可平衡方程求得 。
代入上式 可解得
MB

Mea l
例6 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截
面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均
解：一次超静定
A
B
（1）变形：如杆只有一端
l A
lt (A端)固定，则温度升高以 后，杆将自由伸长。
B'
A
B
lF
现因刚性支承 B 的阻 挡，使杆不能伸长，相当
FN 于在 杆 的两 端 加了 压力
FN 而 将 杆 顶 住 ， 而 保 持 B 点的不动。
得到变形协调条件（补充方程）
l lt lF 0
联立求解得
e FN1 FN2


EAe

1
l 1 2 EA

E3 A3


FN3
E3
A3e

1
l
1
E3 2E
A3 A

所得结果均为正，说明原先假定杆1，2为拉力
和杆3为压力是正确的。
将已知数据代人，可得装配应力为
1

FN1 A
2、拉压超静定问题
例1 两端固定的等直杆 AB，在 C 处承受轴向力F 如图，杆的拉压刚度为 EA，求杆的支反力。
FA
A
解：一次超静定问题
a
(1)力：由节点 A 的平衡条件
C
l
列出杆轴线方向的平衡方程
F
b
B
FA FB F 0
FB
（2）变形： 补充方程(变形协调条件)
可选取固定端 B 为多余约束，予以解除，在 该处的施加对应的约束反力FB，得到一个作用有原 荷载和多余未知力的静定结构
al Et 100 MPa(压应力）
以上计算表明，在超静定结构中，温度应力是 一个不容忽视的因素。
在铁路钢轨接头处、混凝土路面中，通常都留 有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为 考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。
如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或 妨碍结构物的正常工作。
3、扭转超静定问题
扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、 几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件 建立补充方程。
例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转
力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试
求杆两端的支反力偶矩。
I
Me
II
解： 一次超静定 设想固定端B为
A
C
超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所 引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这 种内力称为温度内力。
与之相应的应力则称为温度应力。
杆的变形包括两部分：即由温度变化所引起的变形， 以及与温度内力相应的弹性变形。
例5 图示的等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连接。 设两支承间的距离(即杆长)为l，杆的横截面面积为A， 材料的弹性模量为E，线膨胀系数为al。试求温度升 高t时杆内的温度应力。
MA MB Me 0
一次超静定问题。
变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起， 故内、外杆的扭转变形相同。即补充方程为
Ba Bb
代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即
可求得Ma和Mb。
2 T
1
2min t
t
1max
t
2max
并可进一步求得杆中切
1
T
应力如图（内、外两杆
B 2a
解： 一次超静定问题 (1) 将杆与梁的连接铰
A 看作多余约束(切开)， C 相应的多余未知力为
D
FN
FB
2q
q
FC FN(一对)，得相当系统如 图。
A B
A1
FN
C
变形协调条件（补充
方程）为 wA l
AF w
Aq w
2q FN
q B
B
(2) 求wA : 外伸梁在荷载与 C 拉力FN共同作用下，按叠加

7F 12
2、装配应力·温度应力
(1)装配应力
B
D
在静定问题中，只会使结构的几 何形状略有改变，不会在杆中产生 附加的内力。如1杆较设计尺寸过长， C 仅是A点的移动。
3
1 aa
2
A''
A'
e
A
在超静定问题中，由于有了多余 约束，就将产生附加的内力。
附加的内力称为装配内力,与之相 应的应力则称为装配应力,装配应力 是杆在荷载作用以前已经具有的应 力，也称为初应力。
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
4、简单超静定梁
Bq w
Bq w
q
A
l
B
FA
q
B
A
MA
FB
列补充方程：
q B
A
B A
FB
wBq wBFB 0
可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集 中力作用下的挠度为
wBq

ql 4 8EI
,
补充方程变为
wBFB
FBl3 3EI
在 线 弹 性 范 围 内 工 作 ， 其 扭 转 刚 度 分 别 为 GaIpa 和 GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并 在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别 作用在内、外杆上的扭转力偶矩。
Me rb A
Me
A
Me
B
l
Mb Ma
B
l

解：画出受力及变形简图 写出独立平衡方程