初中数学分类讨论问题专题.

(2m 1) 2 4m2 4m 1 0,即 m - 1 ，且 m2 0 4
综（ 1）（ 2）得， m 1 4
常见病症：（很多同学会从（ 2）直接开始而且会忽略 m 2 0 的条件）
总结 ：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（
1）前置式，
即“二次方程”；（ 2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二
秒，
D
秒， p3
p4
A
p1
秒，
C
p2
B
综上得： |PD|= 总结：本题从运动的观点，考查了动点 P 与定点 D 之间的距离，应根据 P 点的不同位置构 造出不同的几何图形，将线段 PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。 4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。
m 1 0 m 5 且m 1
0
4
3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题 :5：（2011 青海）方程 x 2 9x 18 0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形
的周长为（ ）
Ａ 12
Ｂ 12 或 15
Ｃ 15
Ｄ 不能确定
例题 6：（2011 武汉）三角形一边长 AB 为 13cm，另一边 AC 为 15cm，BC 上的高为 12cm, 求此三角形的面积。（ 54 或 84）
（2）PA=AB ；（ 3）PB=AB 。先可以求出 B 点坐标 (03， 3) ， A 点坐标（ 9，0）。设 P 点坐
标为 (x，0) ，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出 P 点坐标有四解，分别
为 ( 9，0)、(3，0)、(9 6 3，0)、(9 6 3，0) 。（不适合条件的解已舍去）
2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题 3：（ 2010 上海）已知方程 m2 x 2 (2m 1) x 1 0 有实数根，求 m 的取值范围。
（ 1） 当 m 2 0 时，即 m=0 时，方程为一元一次方程 x+1=0，有实数根 x= 1
（ 2） 当 m 2 0 时 ， 方 程 为 一 元 二 次 方 程 ， 根 据 有 实 数 根 的 条 件 得 ：
次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题 4：（2011 益阳）当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程 mx2 4x 4 0 与
x2 4mx 4m2 4m 5 0 的根都是整数。
Hale Waihona Puke Baidu
解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为
0，即 m 2 0， m 0 ， 1 0,解得 m 1.
例题 8：（ 2011 四校联考）一条绳子对折后成右图 A 、 B, A.B 上一点 C，且有 BC=2AC, 将 其从 C 点剪断，得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长度为： 60cm 或 120cm
A
C
B
4：动点问题的分类分类讨论问题 4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；
ax x2 9
4 无解，求 a x3
3(x 3) ax 4(x 3)
（ a - 1） x 21
由已知 - 21 a -1
3或 - 21 3或 a 1 0 a -1
a 8, a 6.或者 a 1
猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ a 8或 a 6
例题 2：（2011 郴州） 2
a 2无解，求 a
x1 x1
例题 9：（2011 永州）正方形 ABCD 的边长为 10cm，一动点 P 从点 A 出发，以 2cm/秒的速度 沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到 A 点停止，求点 P 运动 t 秒时， P，D 两点间的距 离。
解：点 P 从 A 点出发，分别走到 B， C，D，A 所用时间是 秒， 即 5 秒， 10 秒， 15 秒， 20 秒。
同理， 2 0, 解得 m
5.
5 m 1且 m 0 ，又因为 m 为整数 m取 1或1.
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（ 1）当 m= — 1 时，第一个方程的根为 x 2 2 2 不是整数，所以 m= —1 舍去。
（ 2）当 m=1 时，方程 1、 2 的根均为整数，所以 m=1.
练习：已知关于ｘ的一元二次方程 (m 1) x 2 x 1 0 有实数根，则ｍ的取值范围是：
例题 10： （2010 福建）已知一次函数 y
3 x 3 3 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A 、B，试在 3
x 轴上找一点 P，使△ PAB 为等腰三角形。
分析： 本题中△ PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没 有确定。△ PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（ 1）PA=PB；
总结： 解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧 扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动 引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
∴（ 1）当 0≤ t<5 时，点 P 在线段 AB 上， |PD|=|P1D|= (cm)
（ 2 ） 当 5 ≤ t<10 时 ， 点 P 在 线 段 BC 上 ， |PD|=|P2D|=
（3）当 10≤t<15 时，点 P 在线段 CD 上， |PD|=|P3D|=30-2t （4）当 15≤t≤20 时，点 P 在线段 DA 上， |PD|=|P4D|=2t-30
中考数学专题复习——分类讨论问题
一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定 的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次 ”方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题 例题 1：（ 2011 武汉） 3 x3 解：去分母，得：