第四章 系统传递函数模型

s 3 s 2 s 1
例4-4 已知系统的传递函数为:
H (s)

s3
s2 2s2
3s 1 5s 10
将系统模型写成零极点增益模型：
解：零极点模型
H (s) (s 2.618 )(s 0.328 ) (s 2.618)(s 0.328 )
第四章 系统传递函数模型
黎明安
概述
传递函数分析法是研究系统动态特性的重要 方法之一。线性系统的传递函数定义为在全部初 始条件为零的假设下系统的输出量（响应函数） 的拉普拉斯变换与输入量（驱动函数）的拉普拉 斯变换之比。
本章摘要
▪ 传递函数定义及其特性 ▪ 典型环节的传递函数 ▪ 传递函数的其他形式 ▪ 多自由度系统传递函数仿真模型 ▪ 传递函数模型的SIMULINK仿真模型建立 ▪ 弹性梁的传递函数模型
（1）传递函数只取决于系统结构（或元件）的参数，与外部信 号的大小和形式无关。
（2）传递函数只能适用于线性定常系统（由拉斯变换的性质可 以得到，因为拉斯变换是一种线性变换）。
（3）传递函数一般为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的
最高次数n高于分子多项式S的最高次数m，即
。
（4）由于传递函数是在零初始条件下定义的，因此它不能反映 非零初始条件下的运动情况（即瞬态响应）。 n m
m
2 mk
将 s2 2ps p2 因式分解可以得到系统的极点，在这里， 系统的极点就是动力系统的特征根：
p1 p 2 1p
p2 p 2 1p
对于单自由度系统而言，系统的极点是固有频率P和 阻尼比 的函数
当 1 时，极点是一对共轭复数，即：
p1 j 1 2
例如：单自由度弹簧质量模型是我们经常见到的典型
模型，其动力学方程为： my cy ky f (t)
标准形式：
y
2
n
y

2 n
y

1 m
f
(t)


2 n
k
f (t)
1

2 n
y 2
1
n
y
y

1 k
f
(t)
可以对比电学方程和力学方程，其数学模型是等价的。
4.3 传递函数的其他形式
2 传递函数的定义 设有线性系统的输入为 u(t),输出为 y(t),对应的微分 方程如下： (an pn an1 pn1 a1 p a0 ) y(t) (cm pm cm1 pm1 c1 p c0 )u(t)
其数中的初pm 值 dd均tmm 称为为零微，分对算该子微，分且方有程两n端 取m 假y(设t)拉各斯阶变导 换，则得：
k3

lim
s 2
H (s)(s

3 )

5
(s
s 0.6 3)(s
2)

5
(s
s 0.6 3)(s
2)
|s1
5
1 0.6 2

1
则系统的留数为： k1 6 k2 7
k3 1
传递函数的留数形式为： H (s) 6 7 1
以上两式消去变量 x1 (s)
x1 f (t) k2
c
m
x
csx(s) (k1 cs)x1(s)
x1 (s)

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csx(s) (k1 cs)
(ms 2
cs k2 )x(s)
f (s) cs csx(s) (k1 cs)
H (s) x(s)
cs k1
f (s) mcs 3 mk1s 2 c(k1 k2 )s k1k2
(an s n an1s n1 a1s a0 )Y (s) (cn s m cn1s m1 c1s c0 )U (s)
其中 Y(s)是输出量 y(t)的拉斯变换，U (s) 是输入量 u(t)的
拉斯变换。则定义传递函数为 H (s) ,如下：
H (s) Y (s) cm s m cm1s m1 c1s c0 U (s) an s n an1s n1 a1s a0

a0
y(t)

b0
x(t)
dy(t) y(t) x(t)
d (t)
对上图所示的机械系统，其标准式为：c dx(t) x(t) 1 f (t)
k dt
3k
时间常数为 c ，灵敏度为 f0 ，其物理含义是系统
k
3k
在静止状态下的静变形。
为分析方便，令 ， 1以这种归一化系统为研究模型，
uc 2 nuC


2 n
uc
n2u
H(s) uc (s)
n2
u(s) s2 2 n s n2
这个系统的特点是给定系统一个阶跃输入时，在小阻
尼情况下，系统的输出呈现出振荡形式，它的标准形
式动态方程为：
T
2
d2y dt 2

2T
dy dt

y

Kf
(t)
1)
(s

3)

5
(s
s 0.6 2)(s 1)
|s3
5
3 0.6 1 (2)

6
同理：
k2

lim
s2
H (s)(s
2 )
s 0.6
s 0.6
2 0.6
5 (s 3)(s 1) 5 (s 3)(s 1) |s2 5 1 (1) 7
2 传递函数的留数形式
我们还可以将传递函数：H (s) Y (s) cmsm cm1sm1 c1s c0
U (s) an s n an1s n1 a1s a0
写成：
H (s) k1 k2 kn
s 1 s 2 s n
例4-1 设系统的动力学方程为： m&y& cy& ky u(t)
，
计算单自由度弹簧质量的传递函数的零极点模型。
解：
H (s) y(s)
1

1/ m

1/ m
u(s) ms2 cs k s2 2 ps p2 (s p1)(s p2 )
其中 p k 为固有频率， c 为阻尼比
就是一个比例环节，其比例系数是动力臂与阻力臂的 比值）。
p(t) a f (t) b
f (t) a p(t) k p(t) b
这里 k a 是力的放大系数。
b
因为这里不考虑质量，所以系统不会因为有惯性而产 生延迟现象。
2 惯性环节（一阶惯性环节）
分析RC串联电路系统的传递函数，以q(t) 作为电路中 电容器上的电荷，u(t)为电压，则关于电荷的变化满足 的动态方程为： RC dq(t) q(t) cu(t)
4 积分环节
该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正比，
即：
t
y(t) K 0 u(t)dt
这里k为常数，对应的传递函数为：
H (S) Y (s) K U (s) s
5 震荡环节（或称二阶振荡环节） 典型的震荡环节通常使用LRC串联谐振电路来表示， 设u为系统的输入电压，uc为电容两端的电压，则根 据电路方程有：
例4-2 如图所示系统，已知m , k1 ,k2 , c 。试求系统的传
递函数。
解：系统的动力学方程为：
k1
mx k2 x c(x x1) f (t)
对上两式取拉斯变换
c(x x1 ) k1x1
(ms 2 cs k2 )x(s) f (s) csx1 (s)
u

L
di dt

uc
i

iR
ic

uc R
ic
uc

R iR

q c

ic dt c
L
i
u
R
C
uc
将后两式代入电压方程中，则有：
u

L uc R
L dic dt
uc

L R
uc

LCuc

uc
令：
n
，
1 LC
LCuc
L R
uc

u
c

u
1 L 1 L 2n R 2R C
即：
dy(t) y(t) x(t)
d (t)
H (s) 1
s 1
3 微分环节 凡是系统的输出正比例于系统输入的微分，即：
y(t) T du(t) T u(t) dt
系统的传递函数为 H (s) Y (s) Ts
U (s)
其中T称为微分环节的时间常数，一般情况下微分环节 在实际中不可能单独存在。 在实际应用中，常将微分环节与其他环节联合使用。
1 传递函数的零极点形式
H (s) K (s z1)(s z2 ) L (s zm )
(s 1)(s 2 ) L (s n )
其中K称为增益， zi (i 1,2,...m) 称为系统的零点，i (i 1.2L n) 称为系统的极点。极点就K是分母多项式等于零的根， 不难看出传递函数的极点就是对应的微分方程的特征 根。传递函数的零点和极点对系统的动态性能有影响， 极点的数目必须要大于或等于零点的数目，或者说， 分母的方次要大于等于分子的方次。 （对于分子方 次大于等于分母方次的时候，通常要转换成余项研究）
1 比例环节 凡输出量 y(t) 正比于输入量 u(t) ，其特点是输出不失 真也不延迟而按比例反映输入的环节，称为比例环节， 其广义动力学方程为：
y(t) Ku(t)
K为环节的放大系数或增益，其传递函数为：
H (s) Y (s) K U (s)
考察一个不计质量的杠杆的力学性能（力学杠杆原理
若给定系统的输入，则系统的输出完全取决于传递函 数，其关系如下： Y (s) H (s)U (s)
再通过拉普拉斯反变换，可以得到时间域内的输出 （响应）： y(t) L1[Y (s)] L1[H (s)U (s)]
L 表示拉斯变换符号，则“ L1”表示拉斯反变换符
号。
3 传递函数的特性
（5）一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系， 对于多输入多输出系统，要用传递函数矩阵才能表达系统的 输入与输出关系。
4 传递函数的图示方法
将系统分为输入、系统和输出，则可以将整个系统用 下图来表示，在动态分析中，如果已知其中的两个部 分，分析另一个部分，则形成了正问题和反问题。
X (s)
1 2 . n 为系统的极点并假定无重根情况； k1 k2 . kn 为系统的留数。
可以证明：各个留数可以通过下式求出：
ki

lim
si
H (s) (s i )
i 1,2, n
例4-3 某系统的传递函数为：
H(s)
5s 3
s3 6s 2 11s 6
dt
在机械系统中，如图所示不考虑AB杆的质量情况下，
设 f (t为) 系统的输入力，x(t为) 系统的输出位移。对应的
机械系统的微分方程为：
x
f (t)
k
[c dx(t) kx(t)]3a f (t)a dt
o
a
3a
c
上述系统我们称为一阶系统，一阶系统最一般的形式 可以表示为:
a1
dy(t) d (t)
将系统模型写成零极点增益模型。
解： H (s) 5
s 0.6
(s 3)(s 2)(s 1)
系统的零点：z 0.6 极点： (3, 2,1) 增益： k 5 写成留数形式，则有：
k1

lim
s1
H (s) (s

1 )

5
(s

s 0.6 3)(s 2)(s
Y (s)
H (s)
运算关系： Y (s) H (s)X (s) 已知 x(s) , H (s) 求 y(s) ，称为动态分析正问题； 已知 x(s) ，y(s) 求 H (s) ，称为系统识别问题； 已知 H (s) ， y(s) 求 x(s) ，称为环境预测问题。
4.2 典型环节的传递函数
p
p2 j 1 2
p
当
0
1时，
p1 p
沿单位圆上的 A1点向
点B 移动，同时
p2 p
沿单位圆上的 A2
点向 B 点移动，由此可见：在小阻尼
情况下，传递函数的极点就是系统的
复频率函数。
当


1时，
p1、
p
p2 p
在同一B点处，说明此时两极点为
相同的负实数。
当 1 时，两个极点在实数轴上沿反方向运动。
4．1 传递函数定义及其特性
1 传递函数的作用：
传递函数是对线性系统分析和研究的基本数学工 具，对标准形式的微分方程进行拉普拉斯变换，可 以将其转化为代数方程，这样不仅将实数域中的微 分、积分运算简化为复数域中的代数运算，大大简 化了运算，而且根据传递函数还可以导出系统的频 率特性。利用传递函数可以得到系统的频率特性， 利用这些频率特性与系统的参数关系，还可以对系 统进行参数识别。