第二章物理系统的数学模型及传递函数解读

电器元件有三种: 即电阻；电容；电感。
这6种元件从能量角度来划分，可分为贮能元 件和耗能元件。
§2-1 系统的时域数学模型

常见机电元件介绍

1、机械元件的运动方程 机械元件的运动方程（数学表达式）
2、电容、电感的微分方程
3、阻尼器的微分方程
微分方程式的编写
例1: 列写图1所示RC无源网络的微分方程式
第二章 物理系统的数学 模型及传递函数
主要内容：



系统数学模型 线性系统微分方程的建立； 拉氏变换 运用拉氏变换法求解线性微分方程； 传递函数的概念和性质； 结构图的绘制及其等效变换； 结构图和信号流图的关系； 梅逊公式。
本章重点：

通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型 的基本知识，熟练掌握线性定常系统微分方程 的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系 统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控 制系统的传递函数的基本概念。
§2-1 系统的数学模型
一、数学模型 研究数学模型的意义是什么？ 1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要 2、是寻找一个较好的控制规律的需要 数学模型是定量地描述系统的动态性能，揭示系统的 结构、参数与动态性能之间的数学表达式。简单地说， 数学模型就是描述系统中各变量之间关系的数学形式 和方法。经典控制理论和现代控制理论都以数学模型 为基础对系统进行定量分析和设计，因此系统数学模 型的建立和简化是自动控制系统分析与设计需要解决 的首要问题。
解: (1) 定输入输出量: u ----输入量 uc ----输出量
(2) 列写微分方程 di L Ri uc u dt
式中
dq i dt q Cuc
（3）消去中间变量,可得电路微分方程式
d2 d LC 2 uc RC uc uc u dt dt
第二章 线性系统的数学模型
例 弹簧阻尼系统
ky
y
f dy dt
y m
Fs ky
Ff fv
ma F F Fs Ff
m
F
o
o
F
f — 粘滞摩擦系数
d2y dy k— 弹簧系数 m 2 f ky F dt dt v— 物体相对的移动速度
例1 编写如图1所示RLC电路的微分方程式
图 1 RLC串联网络
2
K (MD2 BD) xa (MD2 BD K ) f d “D”表示微分算子 () dt
参考面
例2-1-3 弹簧-质量-阻尼器（S源自文库M-D）机械位移系统

求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。 设系统已处于平衡状态， 相对于初始状态的 位移、速度、加速度
i(t) R
ur(t)
C
uc(t)
图1
RC无源网络




(1) 确定电路的输入量和输出量。由电路可知， R、C为常量，依据实际工作情况确定ur(t) 为 输入电压，uc(t) 为输出电压。 (2) 依据电路工作原理选电流i(t)为中间变量。 依据电学定律列写方程式 。 （1） （2）
第二章 线性系统的数学模型
例 机械传递系统
xa和xb作为网络的结点。在每一 个节点上，力的和等于零。
xa
K
xb
M
参考面
f f K K ( xa xb )
B
f K f M f B MD xb BDxb
2
综合两个方程可以得到：
(MD BD) xb f
2
f(t)
xa
K K M
xb
B
(MD BD K ) xb Kxa
线性系统微分方程的建立
所谓标准方程包含三方面的内容： ①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输 出量有关的各项放在方程的左边； ②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有 一定物理意义的系数。
例1 编写如图1所示RLC电路的微分方程式
图 1 RLC串联网络
解: (1) 定输入输出量: u ----输入量 uc ----输出量
§2-1 系统的数学模型

线性系统微分方程的建立
步骤： 1. 分析系统和元件的工作原理，找出 各物理量之间的关系，确定输出量及输入 量。 2.设中间变量，依据物理、化学等定律忽 略次要因素列写微分方程式。 3. 将所有方程联解，消去中间变量，得出系统
输入输出的标准方程。
§2-1 系统的数学模型

§2-1 系统的数学模型
系统：一个由相互作用的各部分组成的具有一定功能的 整体。

自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液 压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究 自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关 系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的 数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来 描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克 希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。
§2-1 系统的数学模型
工程控制中常用的数学模型有三种：



传递函数----------复域描述 频率特性----------频域描述 微分方程----------时域描述 本章主要介绍微分方程与传递函数两种数学模 型
§2-1 系统的数学模型
&系统数学模型的建立方法

控制系统数学模型的建立有分析法和实验法。 分析法是对系统各部分的运动机理进行分析， 根据它们所依据的物理或化学定律，分别列写 各变量之间的数学关系式，可称为机理分析法 或解析法。实验法（又称系统辨识）是人为地 对系统施加某种测试信号，记录其输出响应， 并用适当的数学模型去逼近，从而获得系统的 数学模型。
(2) 列写微分方程 di L Ri uc u dt
式中
dq i dt q Cuc
（3）消去中间变量,可得电路微分方程式
d2 d LC 2 uc RC uc uc u dt dt
§2-1 系统的时域数学模型

常见机电元件介绍 机械元件有三种: 即质量块或定轴转动物体； 弹簧（弹性元件）；阻尼器。
m
d 2 x(t ) dt
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
F (t )
k
dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
m
f
x(t )
图2-1-3弹簧系统
*比较 R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程