第二章系统数学模型
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Uf tan0If
※ 线性化即在小偏差范围内用直线代替曲线，即在 平衡点附近，用一次线性函数取代高次函数。
泰勒级数y：y0 f 'x0xx0 f ''2!x0xx02......
若偏差 xx0很小，则 的高次项趋于零忽 ，略 可。 以
得：yy0 f 'x0xx0。取增量为变量线 ，性 得到
化方程： yy0ykx
C uo(t)
电容两端电压为：
图2-3
Uo(t)
1 C
t
i(t)dt
0
整理得: Ld d C 2 2u to(t)Rd d C uto(t)uo(t)ui(t)
机械系统（a）和电系统（b）具有相同的数学 模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系 统为机械系统的等效网络）
物理本质不同的系统可有相似的数学模型，同
❖ 了解非线性模型的线性化方法； ❖ 结构图和信号流图的变换与化简;（重点掌握） ❖ 开环传递函数和闭环传递函数的推导和计
算。
1、什么是系统的数学模型 2、研究系统数学模型的定义 3、数学模型的表示形式 4、如何建立系统的数学模型
自动控制系统的数学模型
自动控制系统的任务是将系统的输入信 号（包括控制输入与扰动输入）的变化，及 时地、准确地、稳定可靠地传到系统的输出 端，驱动执行机构动作，使被控量按照输入 信号的要求而变化或保持恒定。
数学模型定义：
描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的表达式。一般应根据系统的实 际机构参数及计算所要求的精度忽略一些次 要因素，使模型既能反映系统的动态特性又 能简化分析、计算
引言
数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的数学表达式。
： 数学模型的主要形式
微分方程
时域 ※
f(t)
x2(t)
f(t)Cdd1x(tt)dd2x(tt)
f
'
(t
)
C
dx1(t) dt
[
dx2d’t(t)]
C
dx1(t dt
)
dx2’(t dt
)
1
X X
图2-1 机械移动系统
解：取f(t)为输入量, x为输出量
f(t)fK(t)ff(t)mdd 2xt2 (t) fK(t)Kx(t)
dx(t) f f (t) f dt
忽略二阶以上各项，可写成
yf(x0)dd(fxx)x0(xx0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2.1 系统的微分方程
2.1.1 建立微分方程模型的步骤
分析系统的工作原理，确定输入量和输出量； 将系统分解为各环节，建立各环节输入量、输
出量之间的动态联系。 消去中间变量，求出系统的微分方程。 标准化微分方程。
2.1.2 系统微分方程的列写
（一）机械系统 机械系统分为平动系统和旋转系统，其数
对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：
x1 x2
系统
y
小偏差线性化的数学处理:
1）只有一个变量的非线性函数y= f（x）线性化
yf(x 0 ) d fd ( x x ) x 0(x x 0 ) 2 1 ! d 2 d fx ( 2 x ) x 0(x x 0 )2 L
学模型的建立主要应用牛顿定理来列写。
1、机械平动系统 平动即直线运动，其主要元件为质量、弹簧、
阻尼器。
m
预 备 f(t)
知 f(t)
识K
质量
f(t)mamd2dxt2(t)
x(t)
弹簧
x1(t)
f(t)
x2(t)
f(t) K [x 1 (t) x 2 (t)]
f(t)
阻尼器
x1(t)
C
x2’(t)
机械控制工程基础
No Image
1
第二章 系统的数学模型
2.1 系统的微分方程
▼
2.2 拉氏变换与反变换
▼
2.3 传递函数
▼
2.4 系统方框图及其简化
▼
2.5 反馈系统的传递函数
▼
2.6 信号流图与梅逊公式
▼
2.7 物理系统的传递函数推导 ▼
2.8 本章小结
▼
学习重点
❖ 简单物理系统的微分方程和传递函数的列 写及计算；（重点掌握）
ax1(t) +
+ bx2(t)
系统 ay1(t)+by2(t)
严格地讲，线性系统并不存在。所谓的线性系统，也只
是在一定的范围内保持其线性关系。
目前，非线性系统理论还远远不完善，往往在一定条件 下，将描述非线性系统的非线性微分方程线性化处理，使
其成为线性微分方程来处理。
通常控制系统工作状态为稳态，系统受到各种扰动， 产生偏差。
件。电气系统遵循的基本定律为：基尔霍夫电流 定律和基尔霍夫电压定律，并由此来建立电气系 统数学模型。
预备 知识
例2.3 无源电器网如图2-3所示，ui (t ) 为输入电压， u o ( t ) 为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。
解：设电路中电流为 i(t)
RL
R(t)iLd di(tt)U o(t)U i(t)0 Ui(t)
为J，转角为θ，回转粘性阻尼系数为BJ ，扭转弹簧刚度为KJ 。
J
T
KJ
BJ-粘性液体
图2-2 机械旋转系统
解：
d 2
J dt2 T Tk TB
Tk k J
d
TB BJ dt
消去中间变量，整理得微分方程：
J''(t)B J'(t)kJT
（二）电网络系统 电阻、电感、电容是电路中最基本的三个元
一数学模型可以描述不同的系统。
我们可以利用简单易实现的系统（如电的系统） 去模拟其它难于实现的系统（机械系统）......
2.1.3 非线性数学模型线性化
线 性 系 统 ： 满 足 叠 加 原 理 非 线 性 系 统 ： 不 满 足 叠 加 原 理
x1(t) 系统 y1(t)
x2(t)
y2(t)
mdd2xt2(t)fdxd(tt)Kx(t)f(t)
2、机械旋转系统
旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法 与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹 簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和 旋转阻尼。
例2.2：下图为在扭矩T作用下的机械转动系统，包含有惯量、 扭转弹簧、回转粘性阻尼。试写出其微分方程。其中转动惯量
数 传递函数 学 模 频率特性 型
结构框图
L L-1 频域
信号流图
Ui(S)
U0(S) -
I1(S)
1/R
R1
I2(S) I(S)
U0(S)
CS + + R2
建立数学模型的方法：
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。
※ 线性化即在小偏差范围内用直线代替曲线，即在 平衡点附近，用一次线性函数取代高次函数。
泰勒级数y：y0 f 'x0xx0 f ''2!x0xx02......
若偏差 xx0很小，则 的高次项趋于零忽 ，略 可。 以
得：yy0 f 'x0xx0。取增量为变量线 ，性 得到
化方程： yy0ykx
C uo(t)
电容两端电压为：
图2-3
Uo(t)
1 C
t
i(t)dt
0
整理得: Ld d C 2 2u to(t)Rd d C uto(t)uo(t)ui(t)
机械系统（a）和电系统（b）具有相同的数学 模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系 统为机械系统的等效网络）
物理本质不同的系统可有相似的数学模型，同
❖ 了解非线性模型的线性化方法； ❖ 结构图和信号流图的变换与化简;（重点掌握） ❖ 开环传递函数和闭环传递函数的推导和计
算。
1、什么是系统的数学模型 2、研究系统数学模型的定义 3、数学模型的表示形式 4、如何建立系统的数学模型
自动控制系统的数学模型
自动控制系统的任务是将系统的输入信 号（包括控制输入与扰动输入）的变化，及 时地、准确地、稳定可靠地传到系统的输出 端，驱动执行机构动作，使被控量按照输入 信号的要求而变化或保持恒定。
数学模型定义：
描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的表达式。一般应根据系统的实 际机构参数及计算所要求的精度忽略一些次 要因素，使模型既能反映系统的动态特性又 能简化分析、计算
引言
数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的数学表达式。
： 数学模型的主要形式
微分方程
时域 ※
f(t)
x2(t)
f(t)Cdd1x(tt)dd2x(tt)
f
'
(t
)
C
dx1(t) dt
[
dx2d’t(t)]
C
dx1(t dt
)
dx2’(t dt
)
1
X X
图2-1 机械移动系统
解：取f(t)为输入量, x为输出量
f(t)fK(t)ff(t)mdd 2xt2 (t) fK(t)Kx(t)
dx(t) f f (t) f dt
忽略二阶以上各项，可写成
yf(x0)dd(fxx)x0(xx0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2.1 系统的微分方程
2.1.1 建立微分方程模型的步骤
分析系统的工作原理，确定输入量和输出量； 将系统分解为各环节，建立各环节输入量、输
出量之间的动态联系。 消去中间变量，求出系统的微分方程。 标准化微分方程。
2.1.2 系统微分方程的列写
（一）机械系统 机械系统分为平动系统和旋转系统，其数
对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：
x1 x2
系统
y
小偏差线性化的数学处理:
1）只有一个变量的非线性函数y= f（x）线性化
yf(x 0 ) d fd ( x x ) x 0(x x 0 ) 2 1 ! d 2 d fx ( 2 x ) x 0(x x 0 )2 L
学模型的建立主要应用牛顿定理来列写。
1、机械平动系统 平动即直线运动，其主要元件为质量、弹簧、
阻尼器。
m
预 备 f(t)
知 f(t)
识K
质量
f(t)mamd2dxt2(t)
x(t)
弹簧
x1(t)
f(t)
x2(t)
f(t) K [x 1 (t) x 2 (t)]
f(t)
阻尼器
x1(t)
C
x2’(t)
机械控制工程基础
No Image
1
第二章 系统的数学模型
2.1 系统的微分方程
▼
2.2 拉氏变换与反变换
▼
2.3 传递函数
▼
2.4 系统方框图及其简化
▼
2.5 反馈系统的传递函数
▼
2.6 信号流图与梅逊公式
▼
2.7 物理系统的传递函数推导 ▼
2.8 本章小结
▼
学习重点
❖ 简单物理系统的微分方程和传递函数的列 写及计算；（重点掌握）
ax1(t) +
+ bx2(t)
系统 ay1(t)+by2(t)
严格地讲，线性系统并不存在。所谓的线性系统，也只
是在一定的范围内保持其线性关系。
目前，非线性系统理论还远远不完善，往往在一定条件 下，将描述非线性系统的非线性微分方程线性化处理，使
其成为线性微分方程来处理。
通常控制系统工作状态为稳态，系统受到各种扰动， 产生偏差。
件。电气系统遵循的基本定律为：基尔霍夫电流 定律和基尔霍夫电压定律，并由此来建立电气系 统数学模型。
预备 知识
例2.3 无源电器网如图2-3所示，ui (t ) 为输入电压， u o ( t ) 为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。
解：设电路中电流为 i(t)
RL
R(t)iLd di(tt)U o(t)U i(t)0 Ui(t)
为J，转角为θ，回转粘性阻尼系数为BJ ，扭转弹簧刚度为KJ 。
J
T
KJ
BJ-粘性液体
图2-2 机械旋转系统
解：
d 2
J dt2 T Tk TB
Tk k J
d
TB BJ dt
消去中间变量，整理得微分方程：
J''(t)B J'(t)kJT
（二）电网络系统 电阻、电感、电容是电路中最基本的三个元
一数学模型可以描述不同的系统。
我们可以利用简单易实现的系统（如电的系统） 去模拟其它难于实现的系统（机械系统）......
2.1.3 非线性数学模型线性化
线 性 系 统 ： 满 足 叠 加 原 理 非 线 性 系 统 ： 不 满 足 叠 加 原 理
x1(t) 系统 y1(t)
x2(t)
y2(t)
mdd2xt2(t)fdxd(tt)Kx(t)f(t)
2、机械旋转系统
旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法 与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹 簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和 旋转阻尼。
例2.2：下图为在扭矩T作用下的机械转动系统，包含有惯量、 扭转弹簧、回转粘性阻尼。试写出其微分方程。其中转动惯量
数 传递函数 学 模 频率特性 型
结构框图
L L-1 频域
信号流图
Ui(S)
U0(S) -
I1(S)
1/R
R1
I2(S) I(S)
U0(S)
CS + + R2
建立数学模型的方法：
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。