第二章 控制系统的数学模型

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一．是非题

1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。（√）

2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。（√）

3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题

1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。K s

C 。 τs

D 。以上都不是

2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1

S

B 。

21S C 。2S D 。S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。

()

()

12G s G s

4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。()

()

12G s G s 三． 填空题

1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为22

21k

s s τζτ++

3．21

2

t 的拉普拉斯变换为

3

1

s

4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法

四．计算题

§2-1 数学模型

1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt

di

L u +⋅+⋅

= c i C u

=⋅ c c c u u C R u C L +'⋅⋅+''⋅⋅=

11c c c r R u u u u L LC LC

'''∴++

= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况

02B

0A A

A i 1x k )x x

f()x x (k =-=-∴ 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出01

2

i A x k k x x -

=

2．试分别列写图2-4（a ）、（b ）所示无源网络的微分方程式

（a ）

U c

C 2

C 2

i 2

（b ）

解： 对于图（a ）所示无源网络：

根据电压平恒 方程式，有：

12122

111

(1)(2)(3)(4)

c r c

R i dt C i i i u R i

u R i u ⎧=⎪⎪⎪

=+⎨⎪=⎪=+⎪⎩⎰

由1）式得： 2i =1

2

1

di C di 5）

把5）式代入2）式有：

1

11di i i R C dt

=+ 6） 又，由4）式，有：

11

r c

u u i R -=

将i1代入6）式，再代入3）式，有： ()]211

11r c r c d u u u u Uc R R C R R dt -⎡-=+∙

⎢⎣

整理得：

12212c r c r c du du R u R u R u R R C dt

dt ⎛⎫

=-+-

⎪⎝⎭ 即：

()1212122c r c r du du

R R C

R R u R R C R u dt dt

++=+ 上式即为图（a ）所示电路的微分方程式。

对于图（）所示无源网络，同样，可以列出如下电压 平衡方程组：

121221222

1)12)13)14)

r c c i i i Ri Ri i dt

C u i dt u C u Ri idt

C =+⎧⎪

⎪=+⎪

⎪⎨=+⎪⎪

⎪=+⎪⎩⎰⎰⎰

由

3）式得：

215)c r du du i C dt

dt ⎛⎫=-

⎪⎝⎭

由

2）式得：

1221

1

6)i i i dt RC =+

⎰

由6）式代入1）式有：

122211

27)i i i i i dt RC =+=+

⎰

又,由4)式有：

22

1

c du di R i dt dt C =+ =22122222111

2r d u d RC i i dt dt dt C RC ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ =()2211122212

21c r r r c d u d u c du RC C u u dt

dt c dt RC C ⎛⎫⎛⎫

-++- ⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭

整理得：

()

222

2121222c c c r r r r c du d u du d u du RC R C C RC u u dt dt

dt dt dt ⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即

()22

121222c c c

d u du

R C C R C C u dt dt

+++ =22

12122r r r t

d u du

R C C RC u dt d ++

上式即为（b ）所示电路的微分方程式。

§2-2线性系统的微分方程

一．已知f(t),求F(s)=?

()1

-t T

1

11

T

1).f(t)1-e

F s 11s s s s T T ==-=

⎛⎫

++ ⎪⎝⎭

()

2222

1

s 0.122).f (t)0.03(1cos2t) F(s)0.03s s 2s s 2⎡⎤=-=-=⎢⎥++⎣⎦ s 152222

50.866s 2.5

3).f (t)sin(5t ) F(s)e 3s 5s 5ππ

+=+==++

()

0.4t 2

2

2

s 0.4

s 0.4

4).f (t)e cos12t F(s)s 0.8s 144.16

s 0.412-++==

=

++++ []05).f (t)t 11t t ⎡⎤=⋅--⎣⎦

()()0t s

02

11t s e F s s

--+=