第二章控制系统的数学模型

如下图所示为由 RC 组成的四端无源网络。试列写 以 ui (t) 为输入量，uo (t) 为输出量的网络微分方程。
解： 设回路电流为 i1 和 i2 。根据克希霍夫定律可
得如下方程：
ui (t) R1i1 uc1
uo (t) uc2
其中：
uc1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 C1
(i1 i2 )dt
uc2
1 C2
引出点前移
引出点后移
比较点的移动
比较点前移
比较点后移
信号流图的基本术语
信号流图示意图如下图所示：
节点（Node）
代表方程式中的变量，以小圆圈表示（如示意图中
的1，2， ，6均为节点）
支路（Branch）
表示信号流图中单方向的一条通路，它连接了输入输出两 个变量，其上标以输入和输出之间的增益，所以支路相当
i1
并联连接
简化结果：并联连 接简化后环节的等 效传递函数等于所 有传递函数之和， 即：
G(s) G1(s) G2 (s) G3(s)
推而广之，对于 n个环节并联，则简化后的等效传递函
数为：
n
G(s) Gi (s)，n为相并联的环节数
i 1
反馈连接
负反馈连接
正反馈连接
结构图的简化
引出点的移动
• 对于混合节点而言，可以通过增加一个具有单位增益的 支路把它作为阱节点来处理
• 对于一个给定的系统，节点变量的设定是任意的，因此， 信号流图不是唯一的
举例
利用梅逊增益公式求如下图所示系统的 闭环传递函数
该系统共有3个前向通路，分别为：
1 2 3 4 5 6 通道增益 p1 G1G2G3G4G5, 1 1
信号从源节点到阱节点传递时，每个节点只通过一次的通
路，被称之为前向通路。前向通路上各支路增益之乘积， 称为前向通路总增益。一般用 pk 表示。根据这个定义， 如示意图中的系统一共有如下几条前向通路：
① x1 x2 x3 x4 x5 x6
p1 a12a23a34a45a56
② x1 x2 x4 x5 x6
i2dt
uc1
i2 R2
1 C2
i2dt
可以求得 i1 和 i2 如下所示：
i1
R2C1
di2 dt
(1
C1 C2
)i2
i2
C2
duc 2 (t ) dt
C2
duo (t) dt
通过计算可以得到以下的数学模型：
R1 R2 C1C 2
d 2u0 (t) dt 2
(R1C1
R1C2
R2C2 )
性质 性质1 传递函数是复变量 s 的有理真分式函
数，m n ，且具有复变量函数的所有性质
性质2 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与 外部输入形式（如幅值、大小等）无关
性质3 传递函数虽然只与线性系统的结构和参数有关，但 它不提供任何关于该系统的具体物理结构
性质4 当一个线性系统的传递函数未知，而又无法从理论 上对其进行推导时，可以给系统加上已知的输入信号，根 据其输出响应来研究系统的传递函数
引出点（或测量点）（Branch Point）
引出点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引 出的信号，在数值和性质方面完全相同（如下图所 示）
结构图的基本连接方式
串联连接
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量
简化结果：简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数
的乘积，即：G(s)
n
Gi
(s)，n为相串联的环节数
性质5 传递函数与微分方程之间存在着如下的关系：如果
s 将用 来 d 置换，则可将传递函数替换成微分方程 dt
性质6 传递函数 G(s) 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响 应 g(t)
举例 根据前面介绍的 RC 网络所得到的微分方程：
R1 R2 C1C 2
d 2u0 (t) dt 2
(R1C1
R1C2
于乘法器，如示意图中的 x1 x2, x2 x3, , x5 a56 等均为 支路，而数字 a12 , a23, , a56 等为相应支路的增益
源节点(Source Node)
在源节点上，只有信号输出的支路而没有信号输入的支路。 源节点一般代表系统的输入变量，故也被称为输入节点， 如示意图中的 x1 节点即为源节点
信号线(Signal line)
信号线为带有箭头的直线，箭头表示信号的流向， 在直线旁标记信号的时间函数或象函数（如下图 所示）
比较点（或综合点）（Summing Point）
比较点表示两个或两个以上的输入信号进行加减运 算。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略 不写（如下图所示）。需要注意的是进行相加或相 减的量，必须具有相同的量刚
典型环节的传递函数
比例环节 G(s) K
式中：K 为增益；
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟； 实例：电子放大器、齿轮、感应式变送器等
惯性环节 G(s) 1
TS 1
式中：T 为时间常数；
特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即 复现，输出无振荡； 实例：液体加热系统和轮系结构等等
f (x10 , x20
xn0 )
n i 1
f (x10 , x20 xi
xn0 ) (xi
xi0 )
传递函数
定义 在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与其输 入的拉氏变换的比值
计算 方法
设线性定常系统由下述 n 阶线性常微分方程描述：
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固定的 时间间隔
实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型 一般均包含有延迟环节
结构图的基本组成
方框（环节）（Block Diagram）
表示输入到输出单向传输间的函数关系，方框中写入元 部件或系统的传递函数。显然，方框的输出等于方框的 输入与传递函数的乘积，即C(s) G(s)R(s) ，如下图所示
型； • 根据所建立的数学模型写出微分方程； • 求解微分方程，得出输出变量的表达式； • 对所求得的解进行检验； • 根据检验的结果，必要的时候进行重新分析；
建立控制系统数学模型的方法有以下两种：
• 分析法 • 实验法
所建立的数学模型有如下几种表现形式：
• 时域表示法 • 复域表示法 • 频域表示法
均匀性 假设 f (t) Cf1(t)（ C 为常数） ，则方
程的解为 Cg1(t)
非线性元件微分方程的线性化
单变量的非线性系统 y f (x)
f (x) f (x0 ) f ' (x0 )(x x0 )
多变量的非线性函数 y f (x1, x2 xn )
y
f (x1, x2
xn )
R2C2 )
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
在初值为零的条件下，对上述方程两边取拉氏变换可得：
[R1R2C1C2s2 (R1C1 R1C2 R2C2 )s 1]Uo (s) Ui (s)
系统的传递函数为：
G(s) Uo(s)
1
Ui (s) R1R2C1C2s2 (R1C1 R1C2 R2C2 )s 1
L1 a23a32 L2 a24a43a32
L3 a34a43
L4 a25a53a32
L5 a24a45a53a32
L6 a34a45a53
L7 a44
不接触回路（Nontouching Loop）
当两个回路之间没有公共节点时，这两个回路就叫 做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个 以上不接触回路。如示意图中的系统一共有如下几 条不接触回路：L1回路与 L4回路， L7回路与 L4回路
阱节点（Sink Node）
在阱节点上，只有输入的支路而没有输出的支路。阱节点 一般代表系统的输出变量，故也被称为输出节点，如示意
图中的 x6 节点即为阱节点
混合节点（Mixed Node）
在混合节点上，既有输入支路又有输出支路，如示意图中
的 x2 , x3, x4 , x5 等节点就是混合节点
前向通路(Forward Pass)
列写系统数学模型的步骤可归纳如下：
• 分析系统及元部件的工作原理，从中确定 系统的输入量和输出量；
• 根据所分析系统（或元部件）在工作过程 中所遵循的物理、化学或其它相关规律， 写出它们各自的微分方程；
• 根据所确定的系统输入量和输出量，消去 中间变量，写出仅包含输入、输出变量的 微分方程式即为所求的数学模型
振荡环节
G(s)
n2
1
S 2 2n S n 2 T 2S 2 2TS 1
式中：
为阻尼比 (0
1) ；n
为固有频率
T
1
n
；
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交
换，其输出时会出现振荡
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数属于该
环节
纯时间延迟环节 G(s) es
式中： 为延迟时间；
2 3 4 5 6 2 回路增益 L4 G2G3G4G5H 2
系统只有一对互不接触回路，其不接触回路增益 为：
L1L2 G4G2G7 H1H 2
故根据Mason公式，可得系统的闭环传递函数为：
G(s)
C(s) R(s)
1
(P11
P2 2
P33 )
G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H 2 )
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 引言 §2.2 运动对象的微分方程 §2.3 线性微分方程的求解 §2.4 控制系统的复域数学模型 §2.5 控制系统的结构图 §2.6 信号流图和梅逊公式 §2.7 数学模型的实验测定
动力系统的分析可归结为如下几步：
• 定义系统及其相关的组成部分； • 对系统作必要的假设，建立该系统的数学模
an1
dc(t ) dt
an c(t )
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr (t ) dt
bmr(t)
令L[c(t)] C(s)，L[r(t)] R(s)，并且假设各阶系数在 t 0时
的初值为零，可得系统 的传递函数为：
G(s) b0s m b1s m1 bm1s bm a0s n a1s n1 an1s an
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
线性微分方程的特性
假设线性系统的微分方程如下：
a0
d n y(t) dt n
a1
d n1 y(t) dt n1
an1
dy(t) dt
an
y(t)
f (t)
叠加性 当 f (t) f1(t) 时，上述方程的解为 g1(t) ；而当 f (t) f2 (t) 时，上述方程的解为 g2 (t) ，则当 f (t) f1(t) f2 (t) 时，上述方程的解为g1(t) g2 (t)
信号流图的性质
• 信号流图适用于线性系统
• 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，它起到乘 法器的作用，信号只能沿支路上的箭头单向传递，当信 号从一个节点传递到另一个节点时，将被乘以支路增益 变成另一个信号
• 节点标志系统的变量，一般节点自左向右顺序设置，每 个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和， 而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示
1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4G2G7 H1H 2
p2 a12a24a45a56
③ x1 x2 x5 x6
p3 a12a25a56
回路（Loop）
信号的起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次 的通路。回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 La 表 示。如示意图中的系统一共有如下几条回路：
① x2 x3 x2 ② x2 x4 x3 x2 ③ x3 x4 x3 ④ x2 x5 x3 x2 ⑤ x2 x4 x5 x3 x2 ⑥ x3 x4 x5 x3 ⑦ x4 x4
微分环节
理想微分： G(s) KS
一阶微分： G(s) S 1
二阶微分：G(s) 2 S 2 2 S 1
特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输 入信号的变化趋势 实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递 函数即属于微分环节
积分环节 G(s) 1
S
特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输 出具有记忆功能 实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中 的积分器等均属于积分环节
1 2 4 5 6 通道增益 p2 G1G6G4G5 , 2 1 1 2 3 6 通道增益 p3 G1G2G7 , 3 1 G4H1
该系统共有4个单独回路，分别为：
4 5 4 回路增益 L1 G4H1
2 3 6 2 回路增益 L2 G2G7H2
2 4 5 6 2 回路增益 L3 G6G4G5H2