第二章控制系统的数学模型

duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
线性微分方程的特性
假设线性系统的微分方程如下：
a0
d n y(t) dt n
a1
d n1 y(t) dt n1
an1
dy(t) dt
an
y(t)
f (t)
叠加性 当 f (t) f1(t) 时，上述方程的解为 g1(t) ；而当 f (t) f2 (t) 时，上述方程的解为 g2 (t) ，则当 f (t) f1(t) f2 (t) 时，上述方程的解为g1(t) g2 (t)
性质 性质1 传递函数是复变量 s 的有理真分式函
数，m n ，且具有复变量函数的所有性质
性质2 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与 外部输入形式（如幅值、大小等）无关
性质3 传递函数虽然只与线性系统的结构和参数有关，但 它不提供任何关于该系统的具体物理结构
性质4 当一个线性系统的传递函数未知，而又无法从理论 上对其进行推导时，可以给系统加上已知的输入信号，根 据其输出响应来研究系统的传递函数
列写系统数学模型的步骤可归纳如下：
• 分析系统及元部件的工作原理，从中确定 系统的输入量和输出量；
• 根据所分析系统（或元部件）在工作过程 中所遵循的物理、化学或其它相关规律， 写出它们各自的微分方程；
• 根据所确定的系统输入量和输出量，消去 中间变量，写出仅包含输入、输出变量的 微分方程式即为所求的数学模型
如下图所示为由 RC 组成的四端无源网络。试列写 以 ui (t) 为输入量，uo (t) 为输出量的网络微分方程。
解： 设回路电流为 i1 和 i2 。根据克希霍夫定律可
得如下方程：
ui (t) R1i1 uc1
uo (t) uc2
其中：
uc1
1 C1
(i1 i2 )dt
uc2
1 C2
特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固定的 时间间隔
实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型 一般均包含有延迟环节
结构图的基本组成
方框（环节）（Block Diagram）
表示输入到输出单向传输间的函数关系，方框中写入元 部件或系统的传递函数。显然，方框的输出等于方框的 输入与传递函数的乘积，即C(s) G(s)R(s) ，如下图所示
引出点（或测量点）（Branch Point）
引出点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引 出的信号，在数值和性质方面完全相同（如下图所 示）
结构图的基本连接方式
串联连接
特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量
简化结果：简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数
的乘积，即：G(s)
n
Gi
(s)，n为相串联的环节数
• 对于混合节点而言，可以通过增加一个具有单位增益的 支路把它作为阱节点来处理
• 对于一个给定的系统，节点变量的设定是任意的，因此， 信号流图不是唯一的
举例
利用梅逊增益公式求如下图所示系统的 闭环传递函数
该系统共有3个前向通路，分别为：
1 2 3 4 5 6 通道增益 p1 G1G2G3G4G5, 1 1
f (x10 , x20
xn0 )
n i 1
f (x10 , x20 xi
xn0 ) (xi
xi0 )
传递函数
定义 在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与其输 入的拉氏变换的比值
计算 方法
设线性定常系统由下述 n 阶线性常微分方程描述：
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
1 G4 H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4G2G7 H1H 2
阱节点（Sink Node）
在阱节点上，只有输入的支路而没有输出的支路。阱节点 一般代表系统的输出变量，故也被称为输出节点，如示意
图中的 x6 节点即为阱节点
混合节点（Mixed Node）
在混合节点上，既有输入支路又有输出支路，如示意图中
的 x2 , x3, x4 , x5 等节点就是混合节点
前向通路(Forward Pass)
2 3 4 5 6 2 回路增益 L4 G2G3G4G5H 2
系统只有一对互不接触回路，其不接触回路增益 为：
L1L2 G4G2G7 H1H 2
故根据Mason公式，可得系统的闭环传递函数为：
G(s)
C(s) R(s)
1
(P11
P2 2
P33 )
G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H 2 )
振荡环节
G(s)
n2
1
S 2 2n S n 2 T 2S 2 2TS 1
式中：
为阻尼比 (0
1) ；n
为固有频率
T
1
n
；
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交
换，其输出时会出现振荡
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数属于该
环节
纯时间延迟环节 G(s) es
式中： 为延迟时间；
1 2 4 5 6 通道增益 p2 G1G6G4G5 , 2 1 1 2 3 6 通道增益 p3 G1G2G7 , 3 1 G4H1
该系统共有4个单独回路，分别为：
4 5 4 回路增益 L1 G4H1
2 3 6 2 回路增益 L2 G2G7H2
2 4 5 6 2 回路增益 L3 G6G4G5H2
an1
dc(t ) dt
an c(t )
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr (t ) dt
bmr(t)
令L[c(t)] C(s)，L[r(t)] R(s)，并且假设各阶系数在 t 0时
的初值为零，可得系统 的传递函数为：
G(s) b0s m b1s m1 bm1s bm a0s n a1s n1 an1s an
引出点前移
引出点后移
比较点的移动
比较点前移
比较点后移
信号流图的基本术语
信号流图示意图如下图所示：
节点（Node）
代表方程式中的变量，以小圆圈表示（如示意图中
的1，2， ，6均为节点）
支路（Branch）
表示信号流图中单方向的一条通路，它连接了输入输出两 个变量，其上标以输入和输出之间的增益，所以支路相当
信号线(Signal line)
信号线为带有箭头的直线，箭头表示信号的流向， 在直线旁标记信号的时间函数或象函数（如下图 所示）
比较点（或综合点）（Summing Point）
比较点表示两个或两个以上的输入信号进行加减运 算。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略 不写（如下图所示）。需要注意的是进行相加或相 减的量，必须具有相同的量刚
p2 a12a24a45a56
③ x1 x2 x5 x6
p3 a12a25a56
回路（Loop）
信号的起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次 的通路。回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 La 表 示。如示意图中的系统一共有如下几条回路：
① x2 x3 x2 ② x2 x4 x3 x2 ③ x3 x4 x3 ④ x2 x5 x3 x2 ⑤ x2 x4 x5 x3 x2 ⑥ x3 x4 x5 x3 ⑦ x4 x4
型； • 根据所建立的数学模型写出微分方程； • 求解微分方程，得出输出变量的表达式； • 对所求得的解进行检验； • 根据检验的结果，必要的时候进行重新分析；
建立控制系统数学模型的方法有以下两种：
• 分析法 • 实验法
所建立的数学模型有如下几种表现形式：
• 时域表示法 • 复域表示法 • 频域表示法
于乘法器，如示意图中的 x1 x2, x2 x3, , x5 a56 等均为 支路，而数字 a12 , a23, , a56 等为相应支路的增益
源节点(Source Node)
在源节点上，只有信号输出的支路而没有信号输入的支路。 源节点一般代表系统的输入变量，故也被称为输入节点， 如示意图中的 x1 节点即为源节点
信号流图的性质
• 信号流图适用于线性系统
• 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，它起到乘 法器的作用，信号只能沿支路上的箭头单向传递，当信 号从一个节点传递到另一个节点时，将被乘以支路增益 变成另一个信号
• 节点标志系统的变量，一般节点自左向右顺序设置，每 个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和， 而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示
性质5 传递函数与微分方程之间存在着如下的关系：如果
s 将用 来 d 置换，则可将传递函数替换成微分方程 dt
性质6 传递函数 G(s) 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响 应 g(t)
举例 根据前面介绍的 RC 网络所得到的微分方程：
R1 R2 C1C 2
d 2u0 (t) dt 2
(R1C1
R1C2
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 引言 §2.2 运动对象的微分方程 §2.3 线性微分方程的求解 §2.4 控制系统的复域数学模型 §2.5 控制系统的结构图 §2.6 信号流图和梅逊公式 §2.7 数学模型的实验测定
动力系统的分析可归结为如下几步：
• 定义系统及其相关的组成部分； • 对系统作必要的假设，建立该系统的数学模
R2C2 )
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
在初值为零的条件下，对上述方程两边取拉氏变换可得：
[R1R2C1C2s2 (R1C1 R1C2 R2C2 )s 1]Uo (s) Ui (s)
系统的传递函数为：
G(s) Uo(s)