浅谈数学之美

浅谈数学之美

【摘要】

数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。“那里有数学，哪里就有美”，数学美不是什么虚无缥缈、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。数学美的内容是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等，都是数学美的具体内容。本文主要围绕数学美的三个特征：简洁性、和谐性和奇异性进行阐述。

【关键词】数学，数学美，美学特征

数学美的表现形式是多种多样的，从外在形象上看：她有体系之美、概念之美、公式之美；从思维方式上看：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上看：她有对称之美、和谐之美、奇异之美等。此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。但这些都离不开数学美的三大特征，即：简洁性、和谐性和奇异性。

1简洁性是数学美的首要特点

爱因斯坦说：“美，本质上终究是简单性”，“只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美”。简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁性。数学中的基本概念、理论和公式所呈现的简单性就是一种实实在在的简洁美。

数学家莫德尔说过：“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了”。

数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜：

钱币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元……就可简单的构成任何数目的款项；

圆的周长公式：C=2πR，就是“简洁美”的典范，它概括了所有圆形的共同特性；

把一亿写成l08，把千万分之一写成10-7；

二进制在计算机领域的应用……

化繁为简，化难为易，力求简洁、直观。数学不仅仅是在运算上要求这样，论证说明也更是如此。显然，数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之一。

1.1简洁性之一：符号美

实现数学的简洁性的重要手段是使用了数学符号。符号对于数学的发展来讲是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的。几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存的，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。

然而，数学符号的产生、使用和流传却经历了一个十分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美。

如用π表示圆周率，用e 表示欧拉常数，用2、3等表示无限不循环的数，

当然数学中还有许多符号，这些符号均有其独特含义，使用它们不仅方便而且简洁，比如“！”表示阶乘，“Π”表示求积，“Σ”表示求和，“∫”表示求积分。

此外，图形符号：点、线、面、体的产生正是人们对客观事物的抽象和概括。

1.2简洁性之二：抽象美

数学的简洁性在很大的程度上源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。

抽象包含两层意思：（1）不容易想象的；（2）无法体验到的。

前者，是用数学去“证明”某些难以理解的事实；后者，说明数学本身具有的特征与魅力。

比如，下图中有一个大的半圆，在其直径上又并列着三个小半圆，请问大的半圆周长与三个小半圆周长之和谁大？

初看，似难判断，具体一推算便十分清楚了。设大圆直径为d ，三个小半圆

直径分别为1d 、2d 和3d ，因d d d d =++321，所以d d d d ππππ2

1212121321=++，

即大半圆的周长为三个小半圆的周长之和（其实, 不论有多少个小半圆, 都有相同的结论）。

此外，有些数字看来也许并不起眼，然而它表示的数据之大几乎让人感到吃惊!

据《梦溪笔谈》记载，唐代高僧曾计算过围棋中不同布局的总局数：棋盘有横、竖直线各19条，它们的交点有361个，每点处可放白子、也可放黑子、还可空着不放子，这样每点处均有三种不同布局，则所有可能布局有172361103≈(种)。这些总布局若让每秒可做10亿次运算的大型高速计算机去运作（姑且认为它每秒钟可完成10亿个布局），三台计算机每年可完成1710种布局，那么它们完成全部布局约须15510年，这个数比太阳系的寿命200亿年要大得多。

把一张厚度为0.1mm 的纸，对折30次后，其厚度为m mm 107374

1.0230=⨯，这比珠穆朗玛峰的高度8848m 要高得多。

另外，多米诺骨牌，苍蝇的繁殖，象棋棋盘摆麦子等问题无不反映了数学中的抽象美。

1.3简洁性之三：统一美

统一性是指部分与部分、部分与整体、整体与整体之间的和谐、协调。表现为各种数学结构的协调一致，各种数学方法的融会贯通，各种数学分支之间的互相渗透和促进等等。

笛卡儿通过解析几何把几何学、代数学、逻辑学统一起来了。

高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴契夫斯基几何和黎曼几何统一起来了。

克莱因用变换群的观点统一了十九世纪发展起来的各种几何学。

平面几何中的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理都可统一于圆幂定理中；三角形、平行四边形、梯形面积公式可统一于公式：()h b a S +=

21；柱、锥、台、球的体积公式可统一于“万能体积公式”：()

'0461S S S h V ++=；整数和分数统一为有理数，有理数和无理数统一在实数内，而复数又包含着实数与

虚数；全部二次曲线——椭圆、抛物线、双曲线都统一在圆锥里，即它们都可以通过不同平面去截圆锥面而得到，这就是一种统一美。

从上面可以看到，统一不仅是数学美的重要特征，同时它也是数学本质的一种反映。

2和谐性是数学美的追求准则

在数学中，毕达哥拉斯首先提出“美是和谐与比例”，“世界是严整的宇宙”，“整个天体就是和谐与数”。美与和谐是他们追求数学美的准则，也是他们建立数学理论的依据。

2.1和谐性之一：和谐美

和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。

数学的严谨自然流露出它的和谐，为了追求严谨、追求和谐，数学家们一直在努力，以消除其中的不和谐东西。

比如，1、2、3、4、5、6、7这几个数字，代表不同的音阶，就能谱出优美动人和谐的曲调，让世人在音乐中陶醉。

欧拉公式：1-=πi e ，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间绝妙有趣的联系，包容得如此协调有序。

与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是θθθi e i =+sin cos ……⑴。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数：三角函数与指数函数紧密地结合起来了，由他们的结合能派生出许多美的、有用的结论来。由公式⑴得：2sin , 2cos θθθθθθi e

i e i e

i e --=-+=。由这两个公式，可把三角函数的定义

域扩展到复数域上去。

几何中的和谐美也到处可见，简单的点、线段、三角形、矩形、正方形，就能构造出美丽的图案，平面的，立体的，让人美不胜收。 著名的黄金分割比21

5-=λ=0.61803398…是和谐美的典型。当矩形的宽与

长之比是黄金分割比时，图形最和谐悦目，在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比；维纳斯的身材比是黄金分割比；报幕员在舞台上的最佳位置是舞