高中数学必修45试题带答案高一二必备
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ是常数，0A >，0>ω，0)2πϕ<<的部分图象如图所示.为了得到函数()f x 的图象，可以将函数2sin y x =的图象（ ）A ．先向右平移6π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变 B ．先向左平移6π个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 C ．先向左平移3π个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变2．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 3．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ） A ．35B ．45-C ．23-D ．34．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（ ） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 6．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ）A ．76πB ．56π C ．2πD ．3π 7．函数()3sin 22xf x x =-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④9．:sin 31p x x +>的一个充分不必要条件是（ ） A ．02x π<<B ．203x π<<C ．32x ππ-<<D ．566x ππ<<10．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠<⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（ ） A ．6π B ．6π-C ．3π D ．3π-11．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．3π D ．18π 12．函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．()0,πB ．5,2⎫⎛⎪⎝⎭ππe C ．50,2⎫⎛ ⎪⎝⎭πe D ．5,2⎫⎛∞⎪⎝⎭π+e二、填空题13．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________． 14．以下关于函数()()21sin 324f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的结论： ①()y f x =的图象关于直线2x π=-对称； ②()f x 的最小正周期是4π；③()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数； ④()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）．15．已知函数()f x x ω=-（0>ω）的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值为______.16．已知tan22α=，则sin()2πα+=_______. 17．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 18．已知如下变换：①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变； ②将图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变； ③将图像整体向右平移3π个单位长度； ④将图像整体向右平移6π个单位长度；⑤将图像整体向左平移3π个单位长度； ⑥将图像整体向左平移6π个单位长度； 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin y x =的图象经过变换____________（填上你认为正确的一种情况即可，注意编号顺序） 19．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.20．在①()f x 的图像关于直线56x πω=对称，②()cos 3sin f x x x ωω=-，③()(0)f x f ≤恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由． 设函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的？三、解答题21．已知函数()()1sin 226f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭． （1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；26x π+6π 136πxπ()f x（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位，横坐标缩短为原来的2，再将得到的图象上所有点向右平移4π个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称轴方程． 22．已知函数21()3sin cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.23．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点()0,3，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值. 24．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．25．已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求3sin sin 3cos ααα-的值．26．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω）的图像是由3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到的.（1）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的与y 轴距离最近的对称轴方程；（2）若()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，求ω的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据函数图象求出函数()f x 的解析式，由三角函数图象的变换即可求解. 【详解】 由图可知，1741234A T πππ==-=，， 所以T π=，即2ππω=，解得2ω=.当712x π=时，73π22π,122k k Z πϕ⨯+=+∈, 所以 2,3k k Z πϕπ=+∈又2πϕ<，所以3πϕ=.所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将y x =的图象先向左平移3π个单位长度，得到)3y x π=+，.再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到())3f x x π=+. 故选：D 【点睛】易错点点睛：图象变换的两种方法的区别，由sin y x =的图象，利用图象变换作函数()()()sin 0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 2．A解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.3．B解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．4．C解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 22424g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈，解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）． 当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误； 当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误； 其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项D 错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.6．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=，所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 7．A解析：A 【分析】求得函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的奇偶性，结合2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值以及排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数()3sin 22xf x x =-，20x -≠，得2x ≠±，所以，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.()()()sin 2sin 222x xf x f x x x --==-=----，函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 选项； 又02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断． 【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ． 故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．9．A解析：A 【分析】首先求解命题p 表示的集合，再根据集合关系表示充分不必要条件，判断选项. 【详解】:sin 2sin 13p x x x π⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，即1sin 32x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得：522,636k x k k Z πππππ+<+<+∈， 得22,62k x k k Z ππππ-+<<+∈，设22,62M x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+<<+∈⎨⎬⎩⎭经分析，只有选项A 的集合是集合M 的真子集， 故选：A 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．10．A解析：A 【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-，∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以6π=ϕ满足题意； 综上可得：6π=ϕ满足题意. 故选：A.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 11．D解析：D 【分析】由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要满足题意，则332ππθ+≥，即可求出.【详解】将()f x 横坐标缩短为原来的13得到3sin(3)2y x =--，再向右平移29π个单位得到()23sin 323sin 3293g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，,18x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则332ππθ+≥，即18πθ≥，则θ的最小值为18π. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求解.12．C解析：C 【分析】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点， 可得sin ln 0x x ω-=只有一个实根，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点， 作出两个函数的图象如图所示，由sin y x ω=可得其周期2T πω=，当x e =时，ln 1y e ==sin y x ω=最高点5,12A πω⎛⎫⎪⎝⎭所以若恰有一个交点，只需要5ln 12πω>，即52e πω>， 解得：52e πω<，又因为0>ω，所以502eπω<<， 故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．2【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为可得根据函数的图象可知解得即可得解【详解】因为函数为偶函数且有且仅有3个零点所以必有一个零点为所以得所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点因为函数的解析：2 【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为0x =，可得1a =-，根据函数cos y x ω=(0)>ω的图象可知222πππωω≤<⨯，解得24ω≤<即可得解.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-为偶函数，且有且仅有3个零点， 所以必有一个零点为0x =， 所以cos00a +=，得1a =-，所以函数cos y x ω=(0)>ω的图象与直线1y =在[,]-ππ上有且仅有3个交点， 因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T πω=，所以2T T π≤<，即222πππωω≤<⨯，得24ω≤<，所以ω的最小值是2.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出a 是解题关键.14．①②③【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误【详解】对于①所以的图象关于直线对称①正确；对于②的最小正周期是②正解析：①②③ 【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误. 【详解】 对于①，212sin 232243f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()y f x =的图象关于直线2x π=-对称，①正确； 对于②，()f x 的最小正周期是2412T ππ==，②正确； 对于③，当23x ππ≤≤时，3154244x πππ≤-≤， 所以，函数()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数，③正确； 对于④，由①可知，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.15．【分析】根据函数图像的对称点得到的表达式根据在区间上单调得到的范围从而得到的范围再得到的值【详解】函数的图像关于点对称所以即得到在区间上单调所以即所以所以而所以故答案为：【点睛】本题考查根据余弦型函解析：23【分析】根据函数图像的对称点，得到ω的表达式，根据()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，得到T 的范围，从而得到ω的范围，再得到ω的值. 【详解】函数()f x x ω=-的图像关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以304πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即342k ππωπ=+，k ∈Z ，得到4233k ω=+，k ∈Z ， ()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 所以223T π≥，即43T π≥， 所以243ππω≥，所以32ω≤，而0>ω，所以0k =，23ω=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查根据余弦型函数的对称中心求参数的值，根据余弦型函数的周期求参数的值，属于中档题.16．【分析】先切化弦再诱导公式化简后运用余弦二倍角公式得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系诱导公式二倍角公式同角三角函数的基本关系本身是恒等式也可以看作是方程对于一些题可利用已知解析：19-【分析】先切化弦，再诱导公式化简后，运用余弦二倍角公式得解. 【详解】2tan|cos |,|sin |2232ααα∴=∴== 22451sin()cos cos sin 222999παααα∴+==-=-=-故答案为：19-. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式.同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的． 应用诱导公式化简求值的关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．17．①②③【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴分析单调区间利用函数的平移方式检验平移后的图象【详解】由题：令当时即函数的一条对称轴所以①正确；令当时所以是函数的一个对称中心所以②正确；当在区间解析：①②③ 【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】由题：()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，1112π=x 即函数的一条对称轴，所以①正确； 令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=， 所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，所以②正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，所以③正确；3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，所以④错误.故答案为：①②③ 【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.18．②④或③②(填一种即可)【分析】利用三角函数图象变换可以先平移后伸缩也可以先伸缩后平移即可得到结论【详解】经过变换②可得到再经过变换④可得;或者经过变换③可得到再经过变换②可得故答案为:②④或③②(解析：②④或③②(填一种即可) 【分析】利用三角函数图象变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论. 【详解】sin y x =经过变换②可得到sin 2y x =,再经过变换④可得sin(2)3y x π=-;或者sin y x =经过变换③可得到sin()3y x π=-,再经过变换②可得sin 2y x =.故答案为: ②④或③②(填一种即可). 【点睛】本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x 而言,属于中档题.19．②③【分析】根据三角函数的零点性质三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案【详解】①中是的两个零点即是的整数倍①错误；②中②正确；故④错误；③中③正确；所以正确命题序号是②③故答案为：解析：②③ 【分析】根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案. 【详解】①中12,x x 是()f x 的两个零点，即12x x -是2π的整数倍，①错误； ②中06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②正确；故④错误； ③中4sin 24cos 2cos 23236y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③正确； 所以正确命题序号是②③. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20．见解析【分析】任选一个条件求出的取值结合单调性分析的情况即可得解【详解】若选①令代入解得因为所以当时当时若函数在上单调则有解得所以存在正整数时使得函数在上是单调的若选②所以当时若函数在上单调则有解得解析：见解析 【分析】任选一个条件求出ϕ的取值，结合单调性分析ω的情况即可得解. 【详解】若选①，令,x k k Z ωϕπ+=∈，代入56x πω=，解得5,6k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ≤≤，所以当1k =时，6π=ϕ，()2cos()6f x x πω=+，当[0,]2x π∈时，[,]6626x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有26πωππ+≤，解得503ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选②，()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+，所以3πϕ=，当[0,]2x π∈时，[,]3323x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有23πωππ+≤，解得403ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选③，因为()(0)f x f ≤恒成立，即max ()(0)2cos 2f x f ϕ===，所以cos 1ϕ=， 因为02πϕ≤≤，所以0ϕ=，()2cos f x x ω=，当[0,]2x π∈时，[0,]2x πωω∈，若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有2πωπ≤，解得02ω<≤，所以存在正整数1ω=或2时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．【点睛】此题考查三角函数的综合应用，根据对称性单调性以及最值的关系求解参数，需要熟练掌握三角函数相关性质.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）34k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】（1）分别令x 等于0、6π、512π、23π、1112π、π，求得对应的纵坐标，确定点的坐标，列表、描点、作图即可；（2）利用放缩变换与平移变换法则可得到()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再令5462x k k Z πππ-=+∈，可得答案. 【详解】（1）由题意可得表格如下：26x π+6π 2π π32π 2π136πx6π 512π 23π 1112ππ()f x141212- 014（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位得到1sin 2126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再横坐标缩短为原来的12可得到1sin 4126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再向右平移4π个单位可得115sin 41sin 412626y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 即()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令5462x k πππ-=+，解得34k x k Z ππ=+∈，， 所以()g x 的对称轴方程是34k x ππ=+，k Z ∈． 【点睛】方法点睛：“五点法”作一个周期上的图象，主要把握三处主要位置点：1、区间端点；2、最值点；3、零点.22．（1）2π；（2）2，5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出()f x 的最小正周期；（2）利用图像变换得到()y g x =的解析式，利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时 x 的取值 【详解】（1）∵函数1cos 1()22x f x x +=++ sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数的周期为2π（2）依题意：函数()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的各点向左平移32π个单位，得到y 3sin +1= -cos 1626x x πππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到y = -cos 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭； 所以()cos 216g x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令226t x k πππ=+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈ 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =使函数()g x 取得最大值的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【注意】取得最大值的集合为7,12x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭也可以． 【点睛】 ：(1)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；(2)求y =Asin (ωx +φ)+B 的值域通常用换元法； 23．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【分析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】 （1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π， 当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件； 当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去， 所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈， 或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296， 所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）{},66πππ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦． 【分析】(1)利用题中图象可知A =，44T π=，结合周期公式求得=2ω，再由3x π=代入计算得=3πϕ即得解析式；(2)根据三角函数平移的方法求得()g x ，再利用整体代入法求单调递减区间即可；(3)先由()32fx ≥可得sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，再由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到23x π+的前提范围，结合正弦函数性质得到不等式中23x π+的范围，再计算x 范围即可.【详解】解：（1）由题中图象可知：A =，741234T πππ=-=， 2T ππω∴==，即2ω=，又由图象知，3x π=时，223k πϕππ⋅+=+，即23k πϕπ=+，k Z ∈，又02ϕπ≤<，∴=3πϕ，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，故()2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由余弦函数性质知，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，得减区间,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， ∴()g x 的单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）由题意知：()3232f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，知[]0,x π∈，2,2333x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图象性质可知，22333x πππ≤+≤或2233x πππ+=+ 即06x π≤≤或x =π，又,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得x 的取值范围为{},66x πππ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦．【点睛】 方法点睛：求三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++性质问题时，通常利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质，或者整体法求三角不等式的解.25．（1）3tan 4α=；（2）3sin 3sin 3cos 25ααα=--.【分析】（1）利用诱导公式可得出12cos sin 25αα=，根据题意可得出关于cos α、sin α的值，求出cos α、sin α的值，利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值；（2）将所求代数式变形为()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+，在分式的分子和分母中同时除以3cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】 （1）712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由诱导公式可得123sin cos cos sin 2522ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴>>，由已知可得2212cos sin 25cos sin 1cos sin 0αααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，解得4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因此，sin 3tan cos 4ααα==； （2）()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+()()332223sin tan 325sin sin tan 3tan 131cos cos cos ααααααααα===-⎛⎫-+⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：三角函数求值问题中已知tan α，求关于sin α、cos α的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入tan α的值，在关于sin α、cos α的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含tan α的代数式. 26．（1）12x π=-；（2）512ω≤<. 【分析】（1）由函数的()f x 的最小正周期求得ω，再根据图象的平移得出函数()f x 的解析式，由正弦函数的性质可得答案；（2）由图象平移得出：()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，建立不等式组，解之可得范围. 【详解】解：（1）因为()f x 的最小正周期为π，2ππω∴=，2ω∴=，()f x的图像是由3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到，()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，得()f x 的对称轴方程为212k x π5π=+，k Z ∈， 要使直线212k x π5π=+（k Z ∈）与y 轴距离最近，则须5212k ππ+最小，1k ∴=-，此时对称轴方程为12x π=-，即所求对称轴方程为12x π=-.（2）由已知得：()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()0f x =得：33x k ππωωπ+-=，k Z ∈，即33k x πππωω+-=，k Z ∈，。
人教A版必修四高一第二学期数学第一次月考试题.docx
高中数学学习材料唐玲出品云阳中学高一第二学期数学第一次月考试题（2007级）时量90分钟,满分100分一、选择题：(本大题共有6小题，每小题5分，共30分．)1．把o 495-表示成360o k θ⋅+(k ∈Z )的形式,则θ(θ>0)可以是 （ ） A ．－1350 B ．450 C ．2250 D ．13502．在直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ） A ．βπαsin )sin(=+ B ．βπαsin )sin(=- C ．βαπsin )2sin(-=- D ．βαsin )sin(=-3．如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．函数sin(2)3y x π=-的单调递减区间是 （ ）A ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．5112,2()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．22,2()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．511,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 5．为了得到函数R x x y ∈+=),32cos(π的图象，只需把函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度6．已知函数()sin ,()tan()2x f x g x x ππ+==-，则 （ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7．函数11cos ,()23y x x R π=-∈的最大值y = ，此时自变量x 的取值集合是8．不等式1)32tan(≤+πx 的解集是9．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的 距离S 厘米和时间t 秒的函数关系为：6sin(2)6S t ππ=+，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 秒． 10.函数y=)4sin(π-x 的定义域是答 题 卷一、选择题：(本大题共有6小题，每小题5分，共30分．)题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ 答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7. 8. 9. 10.三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．(8分) 已知54cos -=α，求sin ,tan αα的值。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．32．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．323．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B 6C 5D ．26．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦7．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．328．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣9．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定10．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +11．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．412．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.14．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______15．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．20．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．三、解答题21．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值.23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.2．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得55m =， ∴452555D ⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45255,EA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 3．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.4．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．C解析：C 【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos 3BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==，所以点Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ -≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+， 令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 21,O 在BM 的延长线上时,OB 21． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.9．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.10．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122bb bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.15．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=， 而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,D(2,0)-， 由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M为PC中点，即有3cos sin (,)22M θθ+， 则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 2(3cos )4θ-=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494． 【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题 解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解． 【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-， 故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.19．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.20．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s 3co x x x ==， 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解. 【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒， 在POB 中，由余弦定理，得222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-∴84362PB =-=，又222PA OA ==，∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 234sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）π3；（2）27 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ，()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得： ()222a b a b -=-=2244a a b b -⋅+4123627-+=.【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦.【详解】（1）313cos 32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a a b a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b ⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】 本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。
(完整版)高中数学必修一必修二经典测试题100题
ACP B高中数学必修一必修二经典测试题100题（二）一、填空题：本题共25题1、设集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)AB =，则：a= b=2、对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的 倍3. 已知函数2log (0)()3(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1[()]4f f 的值是4. 设1,01,x y a >><<则下列关系正确的是○1a a y x -->○2 ay ax <○3yx a a <○4 y x a a log log >5. 函数()23x f x =-的零点所在区间为：6. 函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在(,)a b 上是 函数（增或减）7. 在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为8. 设点M 是Z 轴上一点，且点M 到A （1，0，2）与点B （1，－3，1）的距离相等，则点M 的坐标是9、如图所示，阴影部分的面积S 是h (0)h H ≤≤的函数，则该函数的图象是. 10. 将直线:210l x y +-=向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线l '，则直线l l '与之间的距离为11. 函数2()lg(21)5x f x x -=+++的定义域为 12. 已知0>>b a ，则3,3,4aba的大小关系是 13.函数3()3f x x x =+-的实数解落在的区间是14.已知(1,2),(3,1),A B 则线段AB 的垂直平分线的方程是 15. 下列条件中,能判断两个平面平行的是a 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;b 一个平面内的两条直线平行于另一个平面；c 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；d 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=900，P 为△ABC 所在平面外一点PA ⊥平面ABC ，则四面体P-ABC 中共有 个直角三角形。
高中数学 全册综合检测试题课时作业(含解析)新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题
全册综合检测试题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题每小题5分，共40分 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不一定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50A ．7.2,0.56 B ．7.2，0.56 C ．7,0.6 D ．7，0.6解析：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有无数条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D 错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4 C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，因为侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，因为B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，因为AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，因为E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，因为F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5，所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2， 所以|AF →|＝322＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →， 所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|， 则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ，所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值X 围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP→取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值X 围是[1,13]．二、多项选择题每小题5分，共20分9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份某某通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2017年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月，波动性更大解析：2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1DEM 的体积的最大值为212D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 因为DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，根据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52， 因为EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确； 因为M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C A 1DE 的体积是三棱锥M A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C A 1DE 的体积VC A 1DE ＝VA 1DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时VA 1DEC 取到最大值26，所以三棱锥M A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1DEM 体积的最大值为212，故C 正确； 考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1CD ，因为平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ， 故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ， 则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°，A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又因为A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ， 故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 矛盾，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题每小题5分，共20分13．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为 3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为900.解析：由题图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710. 解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有10种情况．若选出的2名学生恰有1名女生，有6种情况，若选出的2名学生都是女生，有1种情况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：因为OC →＝2OA →＋OB →， 所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M EFGH 的体积为23.解析：因为底面EFGH 的对角线EG 与FH 互相垂直， 所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2，又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半， 即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M EFGH 的体积：V M EFGH ＝13×S EFGH ×h ＝13×2×1＝23.四、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)某市举办法律知识问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表．组号 分组 回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5第2组 [28,38) 18 a第3组 [38,48) 270.9 第4组 [48,58) x0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a，x的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10，第1组的频率为0.010×10＝0.1，所以n＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2，人数为100×0.2＝20，所以a＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25，人数为100×0.25＝25，所以x＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，设抽取的6人中，第2组的2人为a1，a2，第3组的3人为b1，b2，b3，第4组的1人为c，则从6人中任意抽取2人所有可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c)，(b2，b3)，(b2，c)，(b3，c)，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，共9种．故P(A)＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．事件“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值X 围．解：(1)因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，因为C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4，所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )]＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A )＝4sin(A ＋π6)，因为A ∈(0，π6)，所以A ＋π6∈(π6，π3)，所以sin(A ＋π6)∈(12，32)，所以3a ＋b 的取值X 围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314， 故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD，如图，易知AC∩BD＝H，BH＝DH，又BG＝PG，故GH∥PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN，如图，依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又因为PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN，如图，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝3，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝DNAD ＝33，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB ∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求三棱锥PABC的体积；(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO，如图．因为△PAD为正三角形，所以PO⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥PABC的高．因为△PAD为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，所以PO＝3，所以V三棱锥PABC＝S△ABC·PO＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD.证明：如图，分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB，所以AB∥FD，AB＝FD，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD. 因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，所以平面BEF∥平面PAD.因为BE⊂平面BEF，所以BE∥平面PAD.。
江苏高一高中数学专题试卷带答案解析
江苏高一高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.（本小题满分13分）某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计m ∈[6,8]．另外，年销售x 件B 产品时需上交0．05x 2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）写出该厂分别投资生产A 、B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．2.（本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0．02元，但实际出厂单价不能低于51元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ （Ⅱ）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）3.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？4.（2015年苏州18）根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P (元)与时间t (天 )的关系满足下图，日销量Q (件)与时间t (天)之间的关系是．（1）写出该产品每件销售价格P 与时间t 的函数关系式； （2）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(日销量金额＝每件产品销售价格×日销量)5.某厂生产某种产品（百台），总成本为（万元），其中固定成本为2万元， 每生产1百台，成本增加1万元，销售收入（万元），假定该产品产销平衡。
高中数学必修二答案(共7篇)
高中数学必修二答案(共7篇)高中数学必修二答案（一）: 高一数学必修一必修二课后习题答案习题1-11.右2.14/33.768习题1-21.第一象限不一定可能超过360度2.⑴305 度42分第四象限⑵35度8分第一象限⑶249度30分第三象限⑷123度3.⑴-660度；-300度；60度⑵-45度；-405度；315度⑶-136度42分；223度18分；-496度42分⑷-585度；-225度；135度希望对你有些帮助不把分赏给我你就对不起我了哦,我找了很久的高中数学必修二答案（二）: 高中数学必修二关于直线的倾斜角斜率直线l的方程为y=xtanα+2,则（A）α一定是直线的倾斜角（B）α一定不是直线的倾斜角（C）π－α一定是直线的倾斜角（D）α不一定是直线的倾斜角D倾斜角要求在[0,π)高中数学必修二答案（三）: 高中数学必修二习题《两点间的距离》、《点到直线的距离》、《两条平行直线间的距离》,就是它们求与直线L:5x-12y+6=0平行且与L的距离为2的直线的方程.求求大家了,有答有赏!5x-12y+4=0 5x-12y+8=0高中数学必修二答案（四）: 高中数学必修二的内容【高中数学必修二答案】高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,；当时,；当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.（3）直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：（）直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：（A,B不全为0）注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（三）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：,直线过定点；（ⅱ）过两条直线,的交点的直线系方程为（为参数）,其中直线不在直线系中.（6）两直线平行与垂直当,时,；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （7）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解；方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点,则（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程（1）标准方程,圆心,半径为r；（2）一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点；当时,方程不表示任何图形.（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r；若利用一般方程,需要求出D,E,F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：（1）设直线,圆,圆心到l的距离为,则有；；（2）过圆外一点的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条；当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当时,两圆内含；当时,为同心圆.注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形.（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形.（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形.（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形.（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径.2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度.3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线）（3）柱体、锥体、台体的体积公式（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β＝a.符号语言：公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 异面直线性质：既不平行,又不相交.③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④ 异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是（0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a‖α（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α‖β相交——有一条公共直线.α∩β＝b5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）,（2）如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行）,（3）垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角）,就说这两个平面垂直. （2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.9、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为. ②平面的垂线与平面所成的角：规定为.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三计算”.在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线. （3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角高中数学必修二答案（五）: 求学海导航高一数学必修2答案全部谁有高一必修2数学的学海导航练习册的答案..即高中新课标同步攻略...首都师范大学出版社出的【高中数学必修二答案】我有,给个邮箱地址,发给你ps 实物我还要用,没有扫描仪,只能用相机拍下来o(∩_∩)o~高中数学必修二答案（六）: 高中数学必修1第二章函数末的复习题二A组的答案亲,我们没有答案的,你有什么问题直接发,我们才能给你解答高中数学必修二答案（七）: 人教A版高中数学必修二习题4.1 A组 T6 B组人教A版高中数学必修二习题4.1 A组6、△ABC的顶点B、C的坐标分别是(-3,-1),(2,1),顶点A在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程.设顶点A为(x,y),重心G为(E,F),所以：E=(-3+2+x)/3=(x-1)/3,得：x=3E+1F=(-1+1+y)/3,得：Y=3F把X,Y代入圆中：(3E+1+2)^+(3F-4)^2=4所以△ABC的重心G的轨迹方程为 (3X+3)^2+(3Y-4)^2=4B组2、长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹方程.令AB中点为M根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在直角三角形OAB中,OM=AB/2=a根据圆的定义,M的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆 (除去与坐标轴的4个交点）轨迹方程为x^2+y^2=a^2（x≠0,±a)高中数学必修二教案高中数学必修二电子书。
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人教A版高中数学必修四测试题及答案全套人教A版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.在0°～360°的范围内，与-510°终边相同的角是()A。
330° B。
210° C。
150° D。
30°2.若sinα = 3/3，π/2 < α < π，则sin(α+π/2) = ()A。
-6/3 B。
-1/2 C。
16/2 D。
33.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A。
2 B。
2sin1 C。
2sin1 D。
sin24.函数f(x) = sin(x-π/4)的图象的一条对称轴是()A。
x = π/4 B。
x = π/2 C。
x = -π/4 D。
x = -π/25.化简1+2sin(π-2)·cos(π-2)得()A。
sin2+cos2 B。
cos2-sin2 C。
sin2-cos2 D。
±cos2-sin26.函数f(x) = tan(x+π/4)的单调增区间为()A。
(kπ-π/2.kπ+π/2)，k∈Z B。
(kπ。
(k+1)π)，k∈ZC。
(kπ-4π/4.kπ+4π/4)，k∈Z D。
(kπ-3π/4.kπ+3π/4)，k∈Z7.已知sin(π/4+α) = 1/√2，则sin(π/4-α)的值为()A。
1/3 B。
-1/3 C。
1/2 D。
-1/28.设α是第三象限的角，且|cosα| = α/2，则α的终边所在的象限是()A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限9.函数y = cos2x+sinx在[-π/6.π/6]的最大值与最小值之和为()A。
3/4 B。
2 C。
1/3 D。
4/310.将函数y = sin(x-π/3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移一个单位，得到的图象对应的解析式为()A。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确； 对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。
高中数学必修四各章节练习题(附带答案解析)
1．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．270°D ．－270°解析：分针旋转形成的角是负角，每60分钟转动一周，所以一节课45分钟分针旋转形成的角是－360°×4560＝－270°.答案：D2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；280°角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．答案：B3．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角． 解析：∵角α与角－α的终边关于x 轴对称， 又∵角α的终边在第四象限，∴角－α终边在第一象限，又角－α与180°－α的终边关于原点对称，∴角180°－α的终边在第三象限． 答案：三4．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是________，是第________象限角．解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角． 答案：80° 一5．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中， (1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72. 又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3， ∴满足条件的角共有8个．1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项． 答案：C2．2 100°化成弧度是( ) A.35π3 B ．10π C.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________． 解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π. 答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z . ∴当k ＝0时，θ4＝2π5； 当k ＝1时，θ4＝9π10； 当k ＝2时，θ4＝7π5； 当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9， ∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同， ∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立， ∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2， 其中不正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D2．若点P 的坐标是(sin2，cos2)，则点P 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D3．sin420°＝________.答案：324．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角． 解析：要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案：一或二 5．求下列各式的值．(1)sin1 470°；(2)cos 9π4；(3)tan(－116π)． 解：(1)sin1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin30°＝12. (2)cos 9π4＝cos(2π＋π4)＝cos π4＝22. (3)tan(－11π6)＝tan(－2π＋π6)＝tan π6＝33.1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B2．已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( ) A ．MP 与AT 的方向相同 B ．|MP |＝|AT | C ．MP >0，AT <0D ．MP <0，AT >0 解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin 11π6<0，AT ＝tan 11π6<0.答案：A3．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案：－124．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________．解析：利用三角函数线，如下图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cos x ，即MN ≥OM ，则π4≤x ≤54π，(在[0,2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }． 答案：{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }5．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合．解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于cos π3＝12，cos 5π3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z . 所以α组成的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D.213解析：因为α是第二象限角，所以cos α<0， 故cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213.答案：A2．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为( ) A.38 B ．±38 C.34D ．±34解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38，故选A.答案：A3．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－(－45)2＝－35. 答案：－354．已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2α的值为________． 解析：原式＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋4tan α－9tan 2α＋1 ＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.答案：21105．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.解：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α(－cos α)1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.1．cos(－20π3)等于( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：cos(－20π3)＝cos 20π3 ＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝－12. 答案：C2．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋3 解析：sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60° ＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32. 答案：B3．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝________.解析：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)] ＝sin(45°＋α)＝513. 答案：5134．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________. 解析：由于tan(π－α)＝－tan α＝－34， 则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈(0，π2)，所以sin α>0. 所以sin α＝35. 答案：355．化简tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)(－sin θ)＝(－tan θ)(－sin θ)cos θcos θsin θ＝tan θ.1．已知sin40°＝a ，则cos130°等于( ) A ．a B ．－a C.1－a 2D ．－1－a 2解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a .答案：B2．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( ) A.223 B ．－232 C.13D ．－13解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2， ∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)] ＝－sin(α－π4)＝－13. 答案：D3．已知sin(π6－θ)＝13，则cos(π3＋θ)等于________． 解析：cos(π3＋θ)＝cos[π2－(π6－θ)] ＝sin(π6－θ)＝13. 答案：134．已知cos α＝15，且α为第四象限角，那么cos(α＋π2)等于________． 解析：∵α为第四象限角且cos α＝15， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－25 6. ∴cos(α＋π2)＝－sin α＝25 6. 答案：2655．化简1＋2sin (π2－2)·cos (π2＋2).解：原式＝1＋2cos2·(－sin2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|. 又∵sin2>cos2，∴原式＝sin2－cos2.1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除选项A ，C ；又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，排除选项B.答案：D2．方程x ＋sin x ＝0的根有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x ，在同一直角坐标系中画出 f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图知f (x )和g (x )的图象仅有一个交点，则方程x ＋sin x ＝0仅有一个根．答案：B3．用“五点法”画y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是________．答案：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)4．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：由2cos x －2≥0得cos x ≥22， 借助y ＝cos x 的图象可得cos x ≥22的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z 5．在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图． 解：(1)按五个关键点列表xπ2π3π22πy －1 －2 －1 0 －1(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：1．函数y ＝2cos(π3－ωx )的最小正周期是4π，则ω等于( ) A ．2 B.12 C ．±2D ．±12解析：4π＝2π|ω|，∴ω＝±12. 答案：D2．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2 011)＝( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f (3)D ．f (4) 解析：f (2 011)＝f (402×5＋1)＝f (1)． 答案：A3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝________. 解析：由于周期T ＝2πω，所以2πω＝π，解得ω＝2. 答案：24．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝________.解析：由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1. 答案：－15．若函数f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求 f (－176π)的值．证明：∵f (x )的周期为π2，且为奇函数， ∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6) ＝f (π6)．而f (π6)＝f (π2－π3)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－1， ∴f (－17π6)＝－1.1．函数y ＝sin(2x ＋52π)的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8D ．x ＝54π解析：y ＝sin(2x ＋52 π)＝cos2x ，令2x ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k2 π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π2.答案：A2．函数y ＝2sin(2x －π4)的一个单调递减区间是( ) A ．[3π8，7π8] B ．[－π8，3π8] C ．[3π4，5π4]D ．[－π4，π4]解析：令z ＝2x －π4，函数y ＝sin z 的单调递减区间是[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )．由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，3π8≤x ≤7π8. 答案：A3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°解析：∵sin168°＝sin(180°－168°)＝sin12°，cos10°＝sin80°， ∴sin11°<sin12°<sin80°. ∴sin11°<sin168°<cos10°. 答案：C4．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上单调递增，则ω的取值范围是________．解析：令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω，则[－π2ω，π2ω]是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[－π3，π4]⊆[－π2ω，π2ω]，则⎩⎪⎨⎪⎧π4≤π2ω，－π3≥－π2ω.⇒ω≤32.答案：[0，32]5．求函数y ＝1－2cos 2x ＋5sin x 的最大值和最小值． 解：y ＝1－2cos 2x ＋5sin x ＝2sin 2x ＋5sin x －1 ＝2(sin x ＋54)2－338.∵sin x ∈[－1,1]，而y 在[－1,1]上是增函数， ∴当sin x ＝－1时，函数取得最小值－4； 当sin x ＝1时，函数取得最大值6.1．y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案：A2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12 令k ＝－2得x ＝－π4.故选C. 答案：C3．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是________．解析：由π3－x 2≠k π＋π2，得x ≠－2k π－π3，k ∈Z ，故函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是________． 解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π3的值域．解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．1．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin[2(x －π8＋π8)]＝sin2x ，为奇函数，故选A.答案：A2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 解析：由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→x →x ＋φy＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．答案：B3．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是(－π6，0)，(π12，2)，(π3，0)，(712 π，－2)，(5π6，0)，则ω＝________.解析：周期T ＝5π6－(－π6)＝π. ∴2πω＝π，ω＝2. 答案：24．把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象对应的一个解析式为________．解析：把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π4.答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π45．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图．(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：2x ＋π4 0 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin(2x ＋π4)＋1的整个图象．1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2D ．π，－2解析：在y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，T ＝2πω，A 叫振幅(A >0)，故y ＝2sin(x 2＋π5)的周期T ＝2π12＝4π，振幅为2，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝2 sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3. ∴f (x )＝2sin(13x ＋π3)．由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是[6k π－52π，6k π＋π2](k ∈Z )． 取k ＝0，得[－52π，π2]是f (x )的一个增区间． ∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 答案：A3．函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为________． 解析：∵y ＝5sin(2x ＋π3)的最小正周期为π， ∴函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为π2. 答案：π24．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________． 解析：∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)． ∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)．∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )．即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )． 答案：θ＝k π5＋π10，k ∈Z5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图，试求这个函数的解析式．解：方法一：易知A ＝22，T4＝6－2＝4. ∴T ＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8. 又∵图象过点(2,22)． ∴22sin(π8×2＋φ)＝2 2. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π4. 于是y ＝22sin(π8x ＋π4)．方法二：易知A ＝22，由图可知，第二、第三两关键点的横坐标分别为2和6.∵⎩⎨⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π8，φ＝π4.∴y ＝22sin(π8x ＋π4)．1．已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：由题意可得频率f ＝1T ＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.答案：C2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin(100πt －π3)解析：由图象得周期T ＝2(1150＋1300)＝150，最大值为300，图象经过点(1150，0)，则ω＝2πT ＝100π，A ＝300，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝300sin(100π×1150＋φ)． ∴sin(2π3＋φ)＝0.取φ＝π3， ∴I ＝300sin(100πt ＋π3)． 答案：C 3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．答案：0.84．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.由于|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6.答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋65.如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m? 解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6(k ∈Z )，∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3(k ∈Z )，∴3k ＋1<t <3k ＋2(k ∈Z )．令k ＝0得1<t <2. 因此，共有1 min P 点距地面超过70 m.单元综合测试一时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．－4 3 B ．±43 C. 3D ．43解析：因为tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60° ＝3，故a ＝－4 3. 答案：A2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3D.3 解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝－ 3. 答案：C3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6) B ．y ＝sin(x 2＋π6) C ．y ＝sin(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π3)解析：∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x ＝π3对称， ∴f (π3)＝±1，故只有C 符合． 答案：C4．若2k π＋π<θ<2k π＋5π4(k ∈Z )，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．sin θ<cos θ<tan θB ．cos θ<tan θ<sin θC ．cos θ<sin θ<tan θD ．sin θ<tan θ<cos θ解析：设π<α<54π，则有sin θ＝sin α， cos θ＝cos α，tan θ＝tan α， ∵tan α>0，而sin α<0，cos α<0，∴B 、D 排除，又∵cos α<－22<sin α，即cos α<sin α，排除A.选C. 答案：C5．已知A 是三角形的内角，且sin A ＋cos A ＝52，则tan A 等于( )A ．4＋15B ．4－15C ．4±15D ．以上均不正确解析：因为sin A ＋cos A ＝52，所以2sin A cos A ＝14>0.所以A 为锐角．又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1－14＝34，所以sin A －cos A ＝±32.从而可求出sin A ，cos A 的值，从而求出tan A ＝4±15.答案：C6．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A ．[0，π3] B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]解析：由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π 可得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )．∵x ∈[0，π]，∴单调递增区间为[π3，5π6]． 答案：C7．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度 解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6， ∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度． 答案：C8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12 解析：由图形可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )， 取k ＝1，即得选项D. 答案：D9．设a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为( )A ．2a ＋1B ．2a －1C ．－2a －1D ．a 2解析：f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1 ＝1－sin 2x ＋2a sin x －1 ＝－(sin x －a )2＋a 2，∵0≤x ≤2π，∴－1≤sin x ≤1，又a >1，∴f (x )max ＝－(1－a )2＋a 2＝2a －1. 答案：B 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2π B ．x ＝π2 C ．x ＝1D ．x ＝2解析：函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T ＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．答案：C11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：摩天轮转轴离地面高160－⎝ ⎛⎭⎪⎫1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．答案：B12．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3解析：方法一：函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin[ω(x －4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2的图象．∵两图象重合，∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω>0，∴当k ＝1时，ω的最小值是32.方法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，ω＝32k ，ω的最小值为32. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：圆心角α＝l r ＝128＝32， 扇形面积S ＝12lr ＝12×12×8＝48.答案：32 4814．方程sin x ＝lg x 的解的个数为________．解析：画出函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象(图略)，结合图象易知这两个函数的图象有3个交点．答案：315．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 013)＝－1，则f (2 014)＝________.解析：f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝－1，f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：116．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1有以下结论：①函数f (x )的值域是[0,2]；②点⎝⎛⎭⎪⎫－512π，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；③直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．其中，所有正确结论的序号是________．解析：①∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1≤2；②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π3＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝1≠0，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0不是函数f (x )图象的一个对称中心；③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＋1＝cosπ＋1＝0，函数取得最小值，∴直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数解析式为g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＋1＝cos2x ＋1，此函数是偶函数．综上所述，①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知sin θ＝45，π2<θ<π， (1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.18．(12分)(1)已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值；(2)已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值． 解：(1)cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)． ∵α为第三象限角，∴75°＋α为第三或第四象限角，又cos(75°＋α)＝13>0， ∴75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α) ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13. (2)由已知得cos(θ－9π)＝－35， ∴cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35， ∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π，∴sin θ＝－45， ∴tan θ＝－43，∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos(2x －π4)，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为增函数，在区间[π8，π2]上为减函数，又f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝2cos(π－π4)＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.20．(12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)把f 1(x )的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x )的图象，求f 2(x )取得最大值时x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6] ＝－2cos(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时， y max ＝2.此时x 的取值为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)－1.(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α2－π12)的值； (2)若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域．解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f (α2－π12)＝2sin[2×(α2－π12)＋π6]－1 ＝2sin α－1＝2×(－32)－1＝－3－1. (2)令t ＝2x ＋π6，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，而y ＝sin t 在[－π6，π2]上单调递增， 在[π2，5π6]上单调递减， 且sin(－π6)＝－12，sin 5π6＝12，所以函数y ＝sin t 在[－π6，5π6]上的最大值为1， 最小值为－12，即－12≤sin(2x ＋π6)≤1， 所以f (x )的值域是[－2,1]．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3， ∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3， 又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3， ∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，若sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解， 则s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m的取值范围是[3＋1,3)．1.如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．答案：C2．下列说法中正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向且|a |＝|b |，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确．答案：C3．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心， ∴OA ＝BO ，即|OA →|＝|BO →|，|AC →|＝|BD →|. 答案：OA →与BO →，AC →与BD →4.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形． (1)与向量ED →相等的向量为______；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________． 解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中， ∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →. (2)由(1)知ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 答案：(1)AB →、DC →(2)65．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB →，BC →，CA →. (2)求|CA →|. 解：(1)如图所示． (2)|AB →|＝100 m ， |BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°， 则△ABC 为正三角形． 故|CA →|＝100 m.1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形解析：由AC →＝AB →＋AD →知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形．答案：D2．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA →D.AB →＋BC →＝AC →解析：对于C ，∵AB →与BA →是相反向量， ∴AB →＋BA →＝0. 答案：C3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO → )＋(OM →＋MB → )＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →4．若a ＝“向北走8 km ”，b ＝“向东走8 km ”，则|a ＋b |＝________；a ＋b 的方向是________．解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．答案：8 2 km 东北方向5．在水流速度为4 3 km/h 的河中，要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船在静水中的航行速度的大小和方向．解：设AB →表示水流的速度，AC →表示船的实际航行速度，如图，作出AB →，AC →，连接BC ，作AD 綊BC ，连接DC ，则AD →为所求船的静水航速，且AD →＋AB →＝AC →.∵|AB →|＝43，|AC →|＝12， tan ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠ACB ＝30°＝∠CAD ， |AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°.∴船在静水中的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流速度成120°角．1．下列等式： ①0－a ＝－a ②－(－a )＝a ③a ＋(－a )＝0 ④a ＋0＝a ⑤a －b ＝a ＋(－b ) ⑥a ＋(－a )＝0正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确． 答案：C2．设AB →，BC →，AC →是三个非零向量，且AB →＋BC →＝AC →，则( ) A ．线段AB ，BC ，AC 一定构成一个三角形 B ．线段AB ，BC 一定共线 C ．线段AB ，BC 一定平行D ．线段AB ，BC ，AC 构成三角形或共线解析：由于三角形法则对于共线时也成立，因此线段AB ，BC ，AC 可以构成三角形，也可以共线，但线段AB ，BC 不可能平行．答案：D3．若向量a 与b 共线，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________. 解析：∵a 与b 共线， ∴两向量同向或反向． 又|a |＝|b |＝1，∴|a －b |＝0或2. 答案：0或24．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________. (2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________. 答案：(1)AD → (2)PQ →5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BE →，CE →.解：∵四边形ACDE 为平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a . ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b .1．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12CD →，则此四边形是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．梯形D ．矩形解析：由AB →＝－12CD →可得，在四边形ABCD 中有AB ∥CD ，但|AB |≠|CD |，故为梯形．答案：C2．已知非零向量a ，b 满足a ＝λb ，b ＝λa (λ∈R )，则λ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．0D ．0解析：∵a ＝λb ，b ＝λa ，∴a ＝λ2a ，∴λ±1.答案：B3．化简：2(a －2b )＋3(13a ＋b )＝________. 答案：3a －b4．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 解析：∵b 与a 方向相反，∴设a ＝λb (λ<0) ∴|a |＝|λ||b |，∴5＝|λ|×7，∴|λ|＝57， ∴λ＝±57，又λ<0，∴λ＝－57. 答案：－57 5.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：在四边形ANMD 中，有 MN →＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－AD →－12(12AB →)＋12AB →＝－AD →＋14AB →＝14a －b . 在四边形ABCD 中，有BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB → ＝AD →－12AB →＝b －12a .1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．答案：C2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，以b 与c 作为基底，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b . 答案：A。
高中数学必修一和必修二第一二章综合试题人教A版含答案
高一数学第二次月考模拟试题〔必修一+二第一二章〕时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每题5分，共60分)1．设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，那么集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．以下函数为奇函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝2x3．函数y ＝＋2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)4．梯形1111A B C D 〔如图〕是一程度放置的平面图形ABCD 的直观图〔斜二测〕，假设11A D ∥/y 轴，11A B ∥/x 轴，1111223A B C D ==， 111A D =，那么平面图形ABCD 的面积是〔 〕A.5B.10C.5．圆锥的外表积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面绽开图扇形的圆心角为〔 〕A.120︒B.150︒C.180︒D.240︒ 6．f (x 3－1)＝x ＋1，那么f (7)的值，为()111－1 ＋1 C．3 D．27．23＝a，25＝b，那么2等于( )A．a2－b B．2a－b8．函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的值域是( )A．[0,12] B．[－，12] C．[－，12] D．[，12]9．以下四个图象中，表示函数f(x)＝x－的图象的是( )10．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上( )A．没有零点 B．有一个零点 C．有两个零点 D．有多数个零点11．给出以下四个命题：①假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③假如两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面相互垂直. 其中真命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．112．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，假设f(x)>f(2－x)，那么x的取值范围是( )A．x>1 B．x<1 C．0<x<2 D．1<x<2二、填空题(每题5分，共20分)13．集合A＝{<－1或2≤x<3}，B＝{－2≤x<4}，那么A∪B＝.14．函数y＝的定义域为．15．据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域S(2)刚好间t(年)可近似看作指数函数关系，近两年污染区域由0.16 2降至0.04 2，那么污染区域降至0.01 2还须要年．16．空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，PR=3、AC= 4、BD=那么AC及BD所成角的度数是.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分) 17．(10分)集合A＝{1≤x<4}，B＝{－a<0}，(1)当a＝3时，求A∩B；(2)假设A⊆B，务实数a的取值范围．18．(12分)(1)计算：＋(5)0＋；(2)解方程：3(6x－9)＝3.19．(12分)推断函数f(x)＝＋x3＋的奇偶性．20．如图，在长方体—A1B1C1D1中，＝2，1＝＝1，E为D1C1的中点，连结，，和．(1)求证：平面⊥平面；(2)求二面角E－－C的正切值.21．(12分)正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：〔1〕O C 1∥面11AB D ；〔2〕1A C ⊥面11AB D ．22．( 12分)函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝1， (1)求f (x )，g (x )；D 1ODBAC 1B 1A1C(2)推断函数h (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)证明函数S(x)＝(x)＋g()在(0，＋∞)上是增函数．高一数学期末考试模拟试题〔答案〕一、选择题(每题5分，共60分)1．解析：U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}，∴∁U (A ∩B )＝{3,5,8}，有3个元素，应选A.答案：A2．解析：A 为偶函数，C 、D 均为非奇非偶函数．答案：B 3．解析：要使函数有意义，自变量x 的取值须满意 ，解得x >－3且x ≠0.答案：D4． 解析：梯形1111A B C D 上底长为2，下底长为3腰梯形11A D 长为1，腰11A D及下底11C D 的夹角为45 ，所以梯形1111A B C D 的高为2，所以梯形1111A B C D 的面积为1+=224（23） ，依据S =4直观平面 可知，平面图形ABCD 的面积为5.答案：A5．解析：由22r r 3r l πππ+=知道2l r =所以圆锥的侧面绽开图扇形圆心角度数为136********r l ⨯︒=⨯︒=︒，应选C 答案：C6．解析：令x 3－1＝7，得x ＝2，∴f (7)＝3.答案：C 7．解析：2＝29－25＝223－25＝2a －b .答案：B8．解析：画出函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的图象，由图象得值域是[－，12]．答案：B9．解析：函数y ＝x ，y ＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以函数f (x )＝x －在(0，＋∞)上为增函数，故满意条件的图象为A.答案：A 10．解析：∵y ＝－x 2＋8x －16＝－(x －4)2，∴函数在[3,5]上只有一个零点4.答案：B11．解析：因为①②④正确，应选B ．12．解析：由题目的条件可得，解得1<x <2，故答案应为D.答案：D二、填空题(每题5分，共20分) 13．答案：{<4}14．解析：依据对数函数的性质可得2(3－4x )≥0＝21，解得3－4x ≥1，得x ≤，所以定义域为(－∞，]．答案：(－∞，]15．解析：设S ＝，那么由题意可得a 2＝，从而a ＝，于是S ＝()t，设从0.04 2降至0.01 2还须要t 年，那么()t＝，即t ＝2.答案：2 16、解析：如图，取AD中点Q，连PQ，RQ，那么5PQ=，2RQ=，而PR=3，所以222+=，所以PQR为直角三角形，90PQ RQ PR∠=︒，即PQ及RQ成90︒的PQR角，所以AC及BD所成角的度数是90︒.答案：90︒三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)集合A＝{1≤x<4}，B＝{－a<0}，(1)当a＝3时，求A∩B；(2)假设A⊆B，务实数a的取值范围．解：(1)当a＝3时，B＝{－3<0}＝{<3}，那么有A∩B＝{1≤x<3}．(2)B＝{－a<0}＝{<a}，当A⊆B时，有a≥4，即实数a的取值范围是[4，＋∞)．18．(12分)(1)计算：＋(5)0＋；(2)解方程：3(6x－9)＝3.解：(1)原式＝＋(5)0＋[()3]－＝＋1＋＝4.(2)由方程3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.经检验，x＝2是原方程的解．19．(12分)推断函数f(x)＝＋x3＋的奇偶性．解：由－1≠0，得x≠0，∴函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＋(－x)3＋＝－x3＋＝－x3＋＝－－x3－＝－f(x)．∴f (x )为奇函数．20．(12分) 如图，在长方体—A 1B 1C 1D 1中，＝2，1＝＝1，E 为D 1C 1的中点，连结，，和．(1)求证：平面⊥平面； (2)求二面角E －－C 的正切值.证明：(1)在长方体－A 1B 1C 1D 1中，＝2，1＝＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△1E 为等腰直角三角形，∠D 1＝45°．同理∠C 1＝45°．∴︒=∠90DEC ，即⊥．在长方体－1111D C B A 中，⊥平面11DCC D ，又⊂平面11DCC D ， ∴⊥．又C BC EC = ，∴⊥平面．∵平面过，∴平面⊥平面． (2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作⊥于O ．在长方体－1111D C B A 中，∵面⊥面11DCC D ，∴⊥面．过O 在平面中作⊥于F ，连结，∴⊥．∠为二面角E －－C 的平面角．利用平面几何学问可得＝51， (第20题)又＝1，所以，∠＝5．21.(12分)正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：〔１〕O C 1∥面11AB D ；〔2 〕1AC ⊥面11AB D ． 证明：〔1〕连结11A C ，设11111AC B D O =连结1AO ，1111ABCD A B C D -是正方体D 1ODB AC 1B 1A 1C11A ACC ∴是平行四边形11A C AC ∴且 11A C AC =又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴1C O面11AB D〔2〕1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A C B D ⊥， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11A C AB ⊥， 又1111D B AB B =∴1A C ⊥面11AB D22．(12分)函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝1，(1)求f (x )，g (x )；(2)推断函数h (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)证明函数S (x )＝(x )＋g ()在(0，＋∞)上是增函数． 解：(1)设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝(k 2≠0)．∵f (1)＝1，g (1)＝1，∴k 1＝1，k 2＝1.∴f (x )＝x ，g (x )＝. (2)由(1)得h (x )＝x ＋，那么函数h (x )的定义域是 (－∞，0)∪(0，＋∞)，h (－x )＝－x ＋＝－(x ＋)＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数．(3)证明：由(1)得S (x )＝x 2x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 那么S (x 1)－S (x 2)＝(＋2)－(＋2)＝－＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)．∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2>0. ∴S(x1)－S(x2)<0.∴S(x1)<S(x2)．∴函数S(x)＝(x)＋g()在(0，＋∞)上是增函数．。
【整合&免费】高中人教版数学 Ⅰ 课本练习必修1 2 3 4 5 答案
4、程序：
INPUT “Please input a year：；y ” b=y MOD 4 c=y MOD 100 d=y MOD 400 IF b=0 AND c<>0 THEN PRINT “Leap year.” ELSE IF d=0 THEN PRINT “Leap year.” ELSE PRINT “Not leap year.” END IF END IF END
2
第三步，得到圆的面积 S . 2、算法步骤：第一步，给定一个大于 1 的正整数 n . 第二步，令 i 1 . 第三步，用 i 除 n ，等到余数 r . 第四步，判断“ r 0 ”是否成立. 若是，则 i 是 n 的因数；否则， i 不是 n 的因数. 第五步，使 i 的值增加 1，仍用 i 表示. 第六步，判断“ i n ”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三 步. 练习（P19）
-
7 左
整合
第一章 算法初步 1．1 算法与程序框图 练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数 r . 第二步，计算以 r 为半径的圆的面积 S r .
INPUT “a，b，c=” ；a，b，c p=(a+b+c)/2 s=SQR(p*(p－a) *(p－b) *(p－c)) PRINT “s=” ；s END
程序： 4、
INPUT “a，b，c=” ；a，b，c sum=10.4*a+15.6*b+25.2*c PRINT “sum =” ；sum END
高三理科党整合， 仅供高三复习全部书参考，以及高一二订正，不建议直接抄袭。 只要努力 一切来得及 在高考吧 里 零基础 学生 逆袭高考 仅一年时间 考上一本 重点 的例子不少。 课本 是一切知识的基础， 万变不离其宗! 望广大学子加油 考上自己理想的大学!
高中数学必修二 必刷卷04下学期期中仿真必刷模拟卷(含答案)
2020-2021学年高一下学期数学期中仿真必刷模拟卷【人教A版2019】期中检测卷04姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线a在平面α外，则（）A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点【答案】D【分析】由直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交得答案．【解答】解：空间中直线与平面的位置关系有两种，即直线在平面外和直线在平面内，而直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交，可知，若直线a在平面α外，则直线a与平面α至多有一个公共点，故选：D．【知识点】平面的基本性质及推论2.在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意先求出，，再求出．【解答】解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．【知识点】向量加减混合运算3.设E为△ABC所在平面内一点，若＝2，则（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣【答案】A【分析】直接利用向量的线性运算的应用和减法求出结果．【解答】解：E为△ABC所在平面内一点，若＝2，根据向量的线性运算：，则．故选：A．【知识点】向量数乘和线性运算4.复数z满足z（1+i）＝1﹣ai，且z在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，+∞）【答案】C【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【解答】解：由z（1+i）＝1﹣ai，得z＝，∵z在复平面内对应的点在第四象限，∴，解得﹣1＜a＜1．∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．故选：C．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义5.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为B1C1的中点，过点D作平面a使a⊥BM，则平面a截正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先作出平面α，进而求出截面的面积．【解答】解：作出截面CDEF，点E，F分别为AA1，BB1中点，四边形CDEF的面积为＝．故选：C．【知识点】平面的基本性质及推论6.已知z＝x+yi，x，y∈R，i是虚数单位．若复数+i是实数，则|z|的最小值为（）A．0B．C．5D．【答案】D【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x＝y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵复数+i＝＝＝是实数，∴＝0，得到x＝y+2．∴|z|＝＝＝，当且仅当y＝﹣1，x＝1取等号．∴|z|的最小值为．故选：D．【知识点】复数的模7.已知平面向量，，满足||＝2|﹣|＝2|﹣|＝2||＝2，则•的取值范围是（）A．[1，2]B．C．D．【答案】C【分析】建立平面坐标系，得出三向量的终点满足的条件，用参数表示出，根据三角恒等变换化简即可求出最小值．【解答】解：设＝，＝，＝，则由题意可知P A＝2，AB＝1，PC＝1，BC＝1，以P A为x轴，以P A的中垂线为y轴建立平面直角坐标系O﹣xy，则B点在圆A：（x﹣1）2+y2＝1上，C点在圆P：（x+1）2+y2＝1上，设B（1+cosα，sinα），C（﹣1+cosβ，sinβ），则＝＝（2+cosα，sinα），＝＝（cosβ，sinβ），∴＝2cosβ+cosαcosβ+sinαsinβ，∵BC＝1，∴||＝1，∴+﹣2＝1，即（1+cosα）2+sin2α+（﹣1+cosβ）2+sin2β﹣2（1+cosα）（﹣1+cosβ）﹣2sinαsinβ＝1，整理可得：cosαcosβ+sinαsinβ＝+2cosα﹣2cosβ，∴＝+2cosα，∵|BC|＝1，∴以B为圆心，以1为半径的圆B与圆P有公共点，故1≤|PB|≤2，即1≤（2+cosα）2+sin2α≤2，∴﹣2≤2cosα≤﹣，∴≤≤1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算8.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AA1的上的一点，且A1E＝2EA＝2，M为侧面ABB1A1上的动点．若C1M∥面ECD1，动点M形成的图形为线段PQ，则三棱锥B1﹣PQC1的外接球的表面积是（）A．27πB．11πC．14πD．17π【答案】D【分析】若C1M∥面ECD1，则P、Q分别满足B1Q＝2QB＝2，B1P＝2P A1＝2；然后证明C1Q∥D1E，PQ∥D1C，根据面面平行的判定定理可推出平面C1PQ∥平面ECD1，故C1M∥面ECD1；于是以B1为顶点，B1P、B1Q、B1C1分别为长、宽、高构造一个长方体，求得该长方体的体对角线即可得三棱锥B1﹣PQC1外接球的直径，再由球的表面积公式即可得解．【解答】解：若C1M∥面ECD1，则P、Q分别满足B1Q＝2QB＝2，B1P＝2P A1＝2．理由如下：连接C1Q、C1P，∵A1E＝2EA＝2，B1Q＝2QB＝2，∴C1D1∥EQ，C1D1＝EQ，∴四边形C1D1EQ为平行四边形，∴C1Q∥D1E．∵B1Q＝2QB＝2，B1P＝2P A1＝2∴PQ∥A1B∥D1C．又C1Q∩PQ＝Q，D1E∩D1C＝D1，C1Q、PQ⊂平面C1PQ，D1E、D1C⊂平面ECD1，∴平面C1PQ∥平面ECD1，∵C1M⊂平面C1PQ，∴C1M∥面ECD1．以B1为顶点，B1P＝2、B1Q＝2、B1C1＝3分别为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的体对角线为三棱锥B1﹣PQC1外接球的直径，∴2R＝，其中R为外接球的半径，∴R＝，∴外接球的表面积S＝4πR2＝17π．故选：D．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（）A．是单位向量B．C．D．【答案】ABD【分析】根据条件可求出，从而判断选项A正确；可得出，从而判断选项B正确；对两边平方即可得出，从而判断选项C错误；根据前面，可以得出，从而判断选项D正确．【解答】解：A．∵，∴由得，，∴是单位向量，该选项正确；B．∵，∴，该选项正确；C.，∴由得，，即，∴，该选项错误；D．∵，由上面得，，∴，该选项正确．故选：ABD．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的性质及其运算10.四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2AD＝2DC，，则下列表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根据图象以及三角形法则分别求出对应选项的向量，即可判断选项是否正确．【解答】解：由已知四边形ABCD如图所示：由图可得：＝++＝﹣++＝+，所以A错误，＝＝（+）＝+）＝+＝＝+＝，B正确，＝＝﹣＝，C错误，＝＝＝﹣，D正确，故选：BD．【知识点】平面向量的基本定理11.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝1，E为AB中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝．则（）A．平面PED⊥平面EBCDB．二面角P﹣DC﹣B的大小为C．PC⊥EDD．PC与平面PED所成角的正切值为【答案】AB【分析】根据PC的长证明PE⊥平面BCDE，分别计算线线角、线面角、面面角的大小即可作出判断．【解答】解：∵AB∥CD，BC⊥AB，CD＝BC＝AB＝BE，∴四边形BCDE是正方形，∴DE⊥AE，DE⊥BE，故翻折后DE⊥PE，∵PE＝AE＝1，EC＝＝，PC＝，∴PE2+EC2＝PC2，故PE⊥EC，又DE∩EC＝E，∴PE⊥平面BCDE，又PE⊂平面PDE，∴平面PED⊥平面BCDE，故A正确，由PE⊥平面BCDE可得PE⊥CD，又CD⊥DE，PE∩DE＝E，∴CD⊥平面PDE，故CD⊥PD，∴∠PDE为二面角P﹣DC﹣B的平面角，∵PE＝DE＝1，PE⊥DE，∴∠PDE＝，故B正确；∵DE∥BC，∴∠PCB为异面直线PC与DE所成的角，∵DE⊥PE，DE⊥BE，PE∩BE＝E，∴DE⊥平面PBE，∴DE⊥PB，又DE∥BC，∴BC⊥PB，∴∠PCB＜，故C错误；由CD⊥平面PDE可得∠CPD为PC与平面PDE所成角，∴tan∠CPD＝＝＝，故D错误．故选：AB．【知识点】二面角的平面角及求法、平面与平面垂直、直线与平面所成的角12.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝a，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到△BEF的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】ABC【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D．【解答】解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，所以A正确；对于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为V三棱锥A﹣BEF＝•EF•AB•BB1•sin45°＝×××a×a×a＝a3，三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的，正确；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：ABC．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知平面向量，，其中，，，则＝；若t为实数，则的最小值为．【分析】根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；根据进行数量积的运算即可求出，然后配方即可求出答案．【解答】解：∵，∴＝；＝，∴t＝﹣1时，取最小值．故答案为：．【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角14.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9．若＝m+（﹣m）（m为常数），则CD的长度是．【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求得B与C的坐标，再把的坐标用m表示．由AP＝9列式求得m值，然后分类求得D的坐标，则CD的长度可求．【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则B（4，0），C（0，3），由＝m+（﹣m），得，整理得：＝﹣2m（4，0）+（2m﹣3）（0，3）＝（﹣8m，6m﹣9）．由AP＝9，得64m2+（6m﹣9）2＝81，解得m＝或m＝0．当m＝0时，，此时C与D重合，|CD|＝0；当m＝时，直线P A的方程为y＝x，直线BC的方程为，联立两直线方程可得x＝m，y＝3﹣2m．即D（，），∴|CD|＝．∴CD的长度是0或．故答案为：0或．【知识点】向量的概念与向量的模15.已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足|z﹣1|＝x，那么z在复平面上对应的点（x，y）的轨迹方程为﹣；|z|min＝．【分析】把z＝x+yi（x，y∈R）代入|z﹣1|＝x，整理后可得z在复平面上对应的点（x，y）的轨迹方程，画出图形，数形结合可得|z|min．【解答】解：∵z＝x+yi（x，y∈R）且|z﹣1|＝x，∴|（x﹣1）+yi|＝x，即，整理得y2＝2x﹣1．图象如图，∴|z|min＝．故答案为：y2＝2x﹣1；．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．【分析】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，在棱长为1的正四面体S﹣ABC 中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，求出AD＝SD＝，OD＝＝，SO＝＝，该六面体的体积V＝2V S﹣ABC；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，由此能求出该球体积的最大值．【解答】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体S﹣ABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则AD＝SD＝＝，OD＝＝，SO＝＝，∴该六面体的体积：V＝2V S﹣ABC＝2×＝．当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，∵SO×OD＝SD×OE，∴球半径R＝OE＝＝＝，∴该球体积的最大值为：V球＝＝．故答案为：，．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量＝（2sin A，1），＝（sin A+cos A，﹣3），⊥，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，＞0，求b+c的取值范围．【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出；（2）根据即可得出，然后根据正弦定理即可得出，从而可得出，从而可得出b+c的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴＝＝，∴，∵0＜A＜π，∴，∴，解得；（2）由，得∠B为钝角，∴，由正弦定理，得，∴b＝sin B，，∴＝，又，∴，∴b+c的取值范围为．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算18.如图，在△OAB中，点P为直线AB上的一个动点，且满足＝，Q是OB中点．（Ⅰ）若O（0，0），A（1，3），B（，0），且＝，求的坐标和模？（Ⅱ）若AQ与OP的交点为M，又＝t，求实数t的值．【分析】（Ⅰ）根据题意，＝，代入可求，然后结合向量模长的坐标表示可求，（II）由，然后结合向量的线性表示可转化为＝，再结合＝t＝t（），结合平面向量基本定理可求．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，Q是OB中点，即OQ＝，又ON＝，且A（1，3），B（），若O（0，0），A（1，3），B（，0），且＝，可知＝（），＝（），∴＝＝（1，﹣1），且||＝＝，（II）因为，所以＝，可以化简为：＝，又＝t＝t（），不妨再设，即＝，所以＝（1﹣μ）+①，由Q是OB的中点，所以，即＝（1﹣μ）+②，由①②，可得1﹣μ＝，，联立得t＝．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理19.已知复数z1＝+（a2﹣1）i，z2＝2+2（a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若虚数z1是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，求实数m值．【分析】（1）由复数对应的点在第一象限得到实部大于0，虚部大于0，解不等式组即可；（Ⅱ）利用z1是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，得到另一个根是复数z1的共轭复数，利用根与系数的关系得到a和m．【解答】解：（Ⅰ由已知得到z1﹣z2＝﹣2+（a2﹣2a﹣3）i，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，解得，所以；（Ⅱ）因为虚数z1是实系数一元二次方程4x2﹣4x+m＝0的根，所以1是方程的另一个根，所以＝1，所以a＝0，所以，，所以，所以m＝5．【知识点】复数的运算20.已知复数z满足z＝（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4．（1）求复数z的共轭复数；（2）若ω＝z+ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则，求出复数z，再求z的共轭复数；（2）求出复数ω、z对应的向量、，利用|ω|≤||列出不等式求出a的取值范围．【解答】解：（1）复数z＝（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4＝﹣1+i+3i+3﹣4＝﹣2+4i，∴复数z的共轭复数为＝﹣2﹣4i；（2）∵ω＝z+ai＝﹣2+（4+a）i，∴复数ω对应向量为＝（﹣2，4+a）；此时||＝＝，又∵复数z对应的向量＝（﹣2，4），∴||＝2；∴|ω|≤||，∴≤2，即a（a+8）≤0，解得实数a的取值范围是﹣8≤a≤0．【知识点】复数的模21.如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB＝AE＝BC＝AD＝1，BC∥AD，AE⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，N为DE的中点．（1）求证：NC∥平面EAB；（2）求二面角A﹣CN﹣D的余弦值．【分析】（1）取AE中点F，连接FN，BF，证明四边形BCNF为平行四边形，即可证得NC∥BF，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可．【解答】解：（1）证明：取AE中点F，连接FN，BF，易知，又，故，∴四边形BCNF为平行四边形，∴NC∥BF，又∵NC⊄平面ABE，BF⊂平面ABE，∴NC∥平面EAB；（2）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），E（0，0，1），N（0，1，），∴，设平面ACN的法向量为，则，则可取，设平面CND的法向量为，则，则可取，∴，易知二面角A﹣CN﹣D为钝角，故二面角A﹣CN﹣D的余弦值为．【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面平行22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝2，PD⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为45°，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．（Ⅰ）求证：EF⊥DC；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣E所成角的余弦值为，求的值．【分析】（Ⅰ）推导出AD∥BC，AD∥平面PBC，从而AD∥EF，推导出AD⊥DC，由此能证明EF⊥DC．（Ⅱ）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，∵AD⊂平面ADFE，平面ADFE∩平面PBC＝EF，∴AD∥EF，∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，∴EF⊥DC．（Ⅱ）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，平面ADP的法向量＝（0，1，0），A（2，0，0），D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），令＝λ，则，∴E（），＝（），＝（），设平面ADE的法向量为＝（x，y，z），则，即，取z＝λ，得＝（0，，λ），∴二面角P﹣AD﹣E所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，解得，∴＝．【知识点】二面角的平面角及求法、空间中直线与直线之间的位置关系。
人教版高中数学必修二(全)教材配套章末检测题 附答案解析
人教版高一数学必修二教材配套检测题目录第一章空间几何体教材配套检测题 (2)第一章空间几何体章末检测题参考答案 (5)第二章点、直线、平面之间的位置关系教材配套检测题 (6)第二章点、直线、平面之间的位置关系章末检测题参考答案 (9)第三章直线与方程教材配套检测题 (11)第三章直线与方程检章末测题参考答案 (13)第四章圆与方程教材配套检测题 (16)第四章圆与方程章末检测题参考答案 (18)人教版高一数学必修二第一章 空间几何体 教材配套检测题一、选择题1. 下列命题中正确的是.A 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 .B 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台2. 如下图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的截面图形可能是.A （1）（2） .B （1）（3） .C （1）（4） .D （1）（5） 3. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么 这个几何体的体积为1.6A .B 12.C 13.D 14. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比为.A 3π .B 4π .C 2π .D π 5. 如下图所示的正方体中，M 、N 分别是1AA 、1CC 的中点，作四边形1D MBN ，则四边形1D MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是AC MN 1A （1）（2）（3）（5）AB CD6. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，4AD =，13AA =，分别过BC 、11A D 的两个平 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111AEA DFD V V -=，11112EBE A FCF D V V -=，11113B E B C F C V V -=. 若123::1:4:1V V V =，则截面11A EFD 的面积为 .A .B .C .D 二、填空题7. 从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E 、F 、G ，过此三点作长方体的截面，那么截 去的几何体是 。
高中必修数学试题及答案
高中必修数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，以下哪个选项是f(x)的零点？A. x = -1B. x = 1C. x = -5/2D. x = 5/2答案：C2. 以下哪个不等式是正确的？A. √2 < 1.5B. √2 > 1.5C. √2 = 1.5D. √2 ≥ 1.5答案：B3. 圆的方程为x^2 + y^2 = 4，点P(2,2)与圆的位置关系是？A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 不确定答案：C4. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，向量a与向量b的夹角A. cosθ > 0B. cosθ < 0C. cosθ = 0D. cosθ不存在答案：B5. 函数y = sin(x)在区间[0, 2π]上的最大值是：A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案：B6. 函数y = 2^x的反函数是：A. y = log2(x)B. y = 2^(-x)C. y = log(x)D. y = log10(x)答案：A7. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，那么第10项a10的值是：A. 19B. 20C. 21D. 228. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，A∩B的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B9. 已知复数z = 3 + 4i，那么|z|的值是：A. 5B. √7C. √13D. √21答案：C10. 抛物线y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, -1)D. (-2, 1)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。
答案：3x^2 - 6x12. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是：答案：x^2 + y^2 = 2513. 已知数列{an}满足a1 = 2，an + 1 = an + 2n，求a3的值。
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数学必修4、5综合测试
1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于（ ）
Ａ．99
Ｂ．100
Ｃ．96
Ｄ．101
2.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．
21 B ．2
3 C.1 D.3 3.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51
a
的值为（ ）
A ．99
B ．49
C ．102
D ． 101 4.已知0x >，函数4
y x x
=
+的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 5.在等比数列中，112a =，12q =，132
n a =，则项数n 为（ ） A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6.不等式2
0(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）
A. 0,0a <∆<
B. 0,0a <∆≤
C. 0,0a >∆≥
D. 0,0a >∆>
7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
,则3z x y =+的最大值为（ ）
A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8
8.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒
===,则此三角形解的情况是（ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（ ）
2A.
3 2B.-3 1C.-3 1D.-4
10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83
11．a =(cos2x,sinx),b =(1,2sinx-1)，x ∈(,)2ππ ,若a ⋅b =25，则tan(x+4
π
)等于（ ）
A ．
13 B ．27 C ．17 D ．23
12．在边长为2的正三角形ABC 中，设c AB =, a BC =,
=,则⋅+⋅+⋅等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．－3
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.不等式
21
131
x x ->+的解集是 ． 14.已知数列｛a n
｝的前n 项和2
n
S n n =+，那么它的通项公式为a n
=_____ 15．已知向量a 、b 均为单位向量，且a ⊥b ．若（2a +3b ）⊥（k a -4b ）,则k 的值为_____.
16．已知函数f(x)=cos
25x +sin 25
x
(x ∈R)，给出以下命题： ①函数f(x)的最大值是2;②周期是52
π
；③函数f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离
是52π； ④对任意x ∈R ，均有f(5π-x)=f(x)成立；⑤点(
15,08
π
)是函数f(x)图象的一个对称中心.
其中正确命题的序号是______.
三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分) 已知等比数列{}n a 中，4
5
,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和。
18.(12分)已知A 、B 、C 是△ABC 的内角，向量),sin ,(cos ),3,1(A A =-=且1m n ⋅=。
（1）求角A 的大小；（2）若
3sin cos 2sin 12
2-=-+B
B B
，求tanC 。
19. (12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b
是方程2
20x -+=的两个根，且2cos()1A B +=。
求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。
21.（12分）如图，货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为︒152的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为︒122．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为︒32．求此时货轮与灯塔之间的距离．
22.（ 12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。
该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图。
（1）求n a ；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
A
参考答案
一．选择题。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C
D
B
C
A
C
B
D
A
C
D
二．填空题。
13．1
{2}3
x x -<< 14．n a =2n 15.6 16. ③⑤
三．解答题。
17.解：设公比为q ， 由已知得 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+45105
131211q a q a q a a 即⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+
45)1(①
10)1(2
3121 q q a q a ②
②÷①得 2
1
,813
==
q q 即 ， 将21=q 代入①得 81=a ，
1)2
1(833
14=⨯==∴q a a ，
2312
11)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-⨯=--=q q a s
18.解：(1)因为),sin ,(cos ),3,1(A A =-=且1m n ⋅=
所以
＝1所以2sin(A-6π)=1，sin(A-6π)=12
因为A ∈(0,π),所以A-
6π∈(-6π,56π),所以A-6π=6π,故A ＝3
π
(2)3sin cos 2sin 122-=-+B
B B ⇒222(cos sin )3cos sin B B B B +=--⇒
cos sin 3cos sin B B B B +=-- ⇒cosB+sinB=-3cosB+3sinB ⇒4cosB=2sinB ⇒tanB=2
tanC=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)
=tan tan 1tan tan A B A B +-
=-
19． 解：（1）()[]()2
1
cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120°
（2）由题设：2
a b ab ⎧+=⎪
⎨
=⎪⎩
︒-+=∙-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB
()()
1023
22
2
22=-=-+=++=ab b a ab b a
10=∴AB
20．（1）依题意，可知方程2520ax x +-=的两个实数根为
1
2
和2， 由韦达定理得：
12+2=5
a
- 解得：a =－2 （2）1{3}2
x x -<<
21．在△ABC 中，∠B ＝152o －122o ＝30o ，∠C ＝180o －152o ＋32o ＝60o ，
∠A ＝180o －30o －60o ＝90o ，
BC ＝
235
， ∴AC ＝235sin30o ＝4
35
．
答：船与灯塔间的距离为4
35
n mile ．
22．解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：
12(1)2n a a n n =+-=
（2）设纯收入与年数n 的关系为f(n),则：
2(1)
()21[22]2520252
n n f n n n n n -=-+
⋅-=--
由f(n)>0得n 2
-20n+25<0 解得10n 10-<<+ 又因为n N ∈,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 （3）年平均收入为
n )
n (f =20-25(n )202510n
+≤-⨯= 当且仅当n=5时，年平均收益最大.
所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。