弯曲内力

CB段 B RB
Pa l x M x RB (l x) l a x l
3、作剪力图和弯矩图 P b a A C l
Q
Pb l
Pb Q1 x l Pa B Q2 x l Pb M 1 x x l Pa l x M 2 ( x) l
内力
2 —2 2P -Pa
FS M
2、截面左侧梁段
向上的外力→正剪力→正弯矩
顺时针外力偶→正弯矩
截面右侧梁段
向上的外力→负剪力→正弯矩
顺时针外力偶→负弯矩
例 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
A l x B
解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力 列剪力方程和弯矩方程： M(x) B Q x qx 0 x l x Q(x) 2
dQ x qx dx
dM x Qx dx
d 2 M x q x 2 dx
几何意义 （1）梁的某区段内q=0
Q
＋
x
－
M
（2）梁的某区段内 q=负常量
（3）梁的某区段内 q=正常量
Q
Q x
x
（4）方向向上的集 中力P作用处
P
（5）方向向下的集 中力P作用处
20
Q（kN） 10
＋
5 B F ＋ D C 1m E
－
－
x
A
5
0.5m
EB段 Q为左上右下斜直线，M图为下凸二次抛物线 ME= 20kN· m MB=ME － QB左lEB / 2=20－20×2/2=0 BF段 Q为左下右上斜直线，M图为上凸二次抛物线 MB= 0 MF=MB － QB右lBF / 2=0－5×0.5/2=－1.25kN· m
解: 1、求支反力
M
A
0
M e RA l 0
RA
Me l

RB
Me l

2、 列剪力方程和弯矩方程 a A C x RA l
b
B
Me
RB
剪力方程无需分段： Qx R 0 x l A l M(x) M(x) A B x Q(x) RA Q(x) RB 弯矩方程——两段： Me 0 x a AC段： M x RA x x
2
3、作剪力图和弯矩图 q
A Q ql 2
l
ql Q x qx 2 B
qlx qx2 M x 2 2
Qmax
ql 2
ql2 8 M
l/2
M max
ql 2 8
例 图示简支梁受集中荷载P作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
a
P C
l
b
A RA
x
B RB
解：1、求支反力 Pb RA l
dM x Q x dx
b a a
Qb Qa q x dx
b a
M b M a Q x dx
b a
或 Qa Qb q x dx
b a
或
M a M b Q x dx
b a
III、M、Q和q之间关系的应用
例 利用M、Q和q之间的关系作图示外伸梁的Q图 和M图
RB RA P
RA 3P()
y
P a 1A2 1 2 RA
Me =3Pa
3 4 3 4 B a x RB
2a M1
截面1—1 P 1 C1 1 Q1
Y 0
M C1 0
0 Y
Q1 P
截面2—2 P C2 2 M 2 RA 2 Q
2
M1 P a 0 M1 Pa ( 顺 ) Q2 RA P 0
M max
M max

1 x 1 2 2 ql 2 l 2 M 1 2 1 1 1 x 1 1 max ql qlx 2 8 2 ql 8 2 l 8 2 1 2 qx 2

M max
2
0<x<l/4
截面4—4
M4
Q4
4C4
4
RB
M 3 Pa ( 逆 ) Q4 RB 2P
M 4 2Pa (逆 )
M 4 RB a 0
P
RA=3P 1 2 A1 2 1—1 -P -Pa
Me =3Pa RB=-2P 3 4 B 3 4 x 3 —3 2P Pa 4 —4 2P -2Pa
（1）受力图
ql/2 q ql/2
（2）弯矩图
Mmax－
－
Mmax－
－
x l
x
＋
Mmax＋
M max M max


1 2 qx 2


M max ql 2


1 x 1 2 2 l 2

2
1 2 1 ql qlx 8 2

M max ql2
1 1 x 1 1 8 2 l 8 2
CB段： M x RA x M e
l
Me l
l x
a x l
3、作剪力图和弯矩图
A a C l Me l x Meb l x b B
Q
Q x
Me l
M
b>a时 M max
M eb l 发生在C截面右侧
Mea l
思考：对称性与反对称性 RA P A
x
Pab l
Pb l
x
M
a
P C l
b
A
Q
Pb l
B
b>a时 Pb Qmax l 发生在AC段
Pb l
x
Pab l
x
M max
Pab l
M
发生在集中荷 载作用处
a b l / 2时，M max
Pl 为极大值。 4
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C RA RB l
ξ = x/l
题 5-8（b）提示
P
（6）逆时针的集中 力偶Me作用处
（7）顺时针的集中 力偶Me作用处
Me
Me
Me
Me
Me
Me
II、积分关系
Qa
Ma q
q Fra Baidu bibliotek dx
b a
Q x dx
b
Mb
a
a
b
Qa Qb
b
Qb
dQx qx dx
dQ x q x dx
b b a a
dM x Qxdx
A
RA
P q
简支梁
P P
外伸梁
§5-2 梁的内力——剪力和弯矩
a m P B RB
A RA
x
m
l
Pl a RA l Pa RB l
剪力Q—切向应力的合力，弯矩M—法向应力的合力偶矩 y Y 0 Q RA P RB m M Pl a C A x x mQ l RA P M 0 M RA x RB l x Pa x C Q m Pl a C x B M m RB l
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 q
A RA x B
ql 解：1、求支反力 RA RB 2 2、列剪力方程和弯矩方程 q M(x) Q x R qx ql qx A A 2 x qlx x Q ( x ) R
A
l
RB
qx M x RA x qx 2 2 2
l/2 Q P/2 C l/2
RB B
x P/2 x M Pl/4
RA
A
Me C l/2 l/2
Me l
RB B
Q
x
Me/2 M x
Me/2
结论： • 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
§5-4
弯矩、剪力和荷载集度之间的关系及其应用
20
Q（kN） 10
＋
5 B F ＋ D C 1m E
－ －
x
A
5
0.5m
20
FD段 Q为左下右上斜直线，M图为上凸二次抛物线 MF= －1.25kN· m MD=0
Q（kN） 10
＋
B F ＋ D
x
A
C
1m
E
－
－
5
0.5m
20 1.25
－ ＋
x
15 M（kN· m）
20
20
题 5-8（a）提示
Me=5kN· m A RA 2m 5m C RB q=10kN/m B
P=5kN
D q=10kN/m
1m
解 （1）求支反力
MB 0 MA 0
RA 10kN RB 15kN
Me=5kN· m A C
q=10kN/m
B
P=5kN
D
RA
2m
5m
RB
q=10kN/m
1m
（2）分段作Q图 AC段 q=0，Q图为水平直线。 QA右=RA=10kN CB段 q=－10kN/m，Q图为左上右下斜直线。 QC=10kN QB左= QC+qlCB=10－10×3=－20kN BD段 q=＋10kN/m，Q图为左下右上斜直线。 QD=P=5kN QB右= QD－qlBD=5－10×1=－5kN



x qx 0 x l M x qx 2 2
2、 作剪力图和弯矩图 A
ql
Qx qx
B Q
qx2 M x 2
l
ql2 2
ql2 8
x
Qmax ql
M max ql 2 2
x 注意：
l/2
M 弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在 弯曲时梁的受拉侧)。
Y 0 Qx Qx dQx qx dx 0
I、微分关系
M x dM x M x Qx dx
dx qx dx 0 2 dM x Qx dx
MC 0
dQ x qx dx
Me=5kN· m A C
q=10kN/m
E
P=5kN
B F
D
RA
2m
5m
RB
q=10kN/m
1m
Q（kN） 10
＋ － －
5
＋
x
1m
5
0.5m
20
Q（kN） 10
＋
5 B F ＋ D C 1m E
－
－
x
A
5
0.5m
（3）分段作M图 AC段 Q=正常量，M图为左上右下斜直线 MA=0 MC左=MA+QlAC=0+10×2=20kN· m CE段 Q为左上右下斜直线，M图为下凸二次抛物线 MC右= MC左－Me=20－5=15kN· m ME=MC右+QClCE / 2=15+10×1/2=20kN· m
MC2 0
Q2 RA P 2P
M2 P a 0
M 2 Pa ( 顺 )
y P
a 1A2 1 2 RA
Me =3Pa
3 4 3 4 B a x RB
2a
截面3—3 P
M3 3 C3 RA 3Q
3
Q3 RA P 0 Q3 RA P 2P M3 P 2a RA a 0
内力
2 —2 2P -Pa
Q M
1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或 右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。
剪力值= 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和 弯矩值= 截面左侧（或右侧）所有外力对该截 面形心的力矩代数和
P
RA=3P 1 2 A1 2 1—1 -P -Pa
Me =3Pa RB=-2P 3 4 B 3 4 x 3 —3 2P Pa 4 —4 2P -2Pa
η=Mmax /ql2
0 < ξ < 1/ 4
1/8
1 1 8 2
若ξ >ξ*（x >ξ*l）， 则η- >η* M > ql2 ；
max
η* O ξ*
1 2 2
1/4
若ξ< ξ*（x >ξ*l）， 2 + 则η >η* M max> ql 。
第五章
弯 曲 内 力
§5 － 1
平面弯曲的概念 横截面的对称轴和 梁的轴线组成梁的 纵向对称平面
梁的几何特点 横截面有一对称轴
梁的受力特点
所有的横向力和外 力偶都作用在梁的 纵向对称平面内
P2
Me P1 q B RB
梁的变形特点
（1）各横截面绕垂 直于杆轴线的轴作相 对转动； （2）杆轴线弯曲成 在纵向对称平面内的 一条平面曲线—平面 弯曲。
剪力和弯矩的正负号规则：
Q Q Q
Q
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4 横截面上的剪力和弯矩。
y P
a 1A2 1 2 RA
Me =3Pa
3 4 3 4 B a x RB
2a
解：先求支反力
MA 0
Y 0
RB 2a 3Pa P a 0 RB 2P()
Pa RB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
P
C
l
b
A RA AC段 A RA
x x
B RB
M(x) Q(x)
Pa a x l l
Pb 0 x a Qx l
Pb M x x0 x a l
M(x) Q(x)
Q x RB