第三章 刚体力学习题答案

第三章 刚体力学习题答案 3-1 如图3-1示,一轻杆长度为2l ,两端各固定一小球,A 球质

量为2m ,B 球质量为m ,杆可绕过中心的水平轴O 在铅垂面内自由转动,求杆与竖直方向成θ角时的角加速度.

解：系统受外力有三个，即A ，B 受到的重力和轴的支撑作用力，轴的作用力对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用. 以顺时针方向作为运动的正方向，则A 球受力矩为正，B 球受力矩为负，两个重力的力臂相等为sin d l θ=，故合力矩为

2sin sin sin M mgl mgl mgl θθθ=-=

系统的转动惯量为两个小球（可视为质点）的转动惯量之和

22223J ml ml ml =+=

应用转动定律 M J β=

有：2

sin 3mgl ml θβ= 解得 sin 3g l

θ

β=

3-2 计算题3-2图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均

匀分布的圆柱体,其质量为M ,半径为r ,在绳与轮边缘的摩擦力作用下旋转,忽略桌面与物体间的摩擦,设1m ＝50kg,2m ＝200kg,M ＝15kg,r ＝0.1m.

图3-1

图3-2

解: 分别以1m ,2m 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对 1m ,2m 运用牛顿定律，有

a m T g m 222=- ① a m T 11= ②

对滑轮运用转动定律，有

β)

2

1

(212Mr r T r T =- ③

又， βr a = ④ 联立以上4个方程，得

2212s m 6.72

15

20058

.92002

-⋅=+

+⨯=

+

+=

M m m g m a

3-3 飞轮质量为60kg,半径为0.25m,当转速为1000r/min 时,要在5s 内令其制动,求制动

力F ,设闸瓦与飞轮间摩擦系数μ＝,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算,闸杆尺寸如图所示.

解：以飞轮为研究对象，飞轮的转动惯量21

2

J mR =

，制动前角速度为1000260ωπ=⨯

rad/s ，制动时角加速度为t

ω

β-=- 制动时闸瓦对飞轮的压力为N F ，闸瓦与飞轮间的摩擦力f N F F μ=，运用转动定律，得

图3-3

21

2

f F R J mR ββ-== 则 2N mR F t

ω

μ=

以闸杆为研究对象，在制动力F 和飞轮对闸瓦的压力N F -的力矩作用下闸杆保持平衡，两力矩的作用力臂分别为(0.500.75)l =+m 和1l ＝0-50m ，则有

10N Fl F l -=

110.50600.252100015720.500.7520.4560

N l l mR F F l l t ωπμ⨯⨯⨯=

==⨯=+⨯⨯⨯N

3-4 设有一均匀圆盘,质量为m ,半径为R ,可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转

动. 圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ,若用外力推动它使其角速度达到0ω时,撤去外力,求：

(1) 此后圆盘还能继续转动多少时间 (2) 上述过程中摩擦力矩所做的功.

解：（1）撤去外力后，盘在摩擦力矩f M 作用下停止转动- 设盘质量密度为2

m

R σπ=，则有

20

2

23R

f M

g r dr mgR μπσμ==

⎰ 根据转动定律 21,2f M J mR J

α-=

=

43g R

μα-= 0

34R t g

ωωα

μ-=

=

（2）根据动能定理有 摩擦力的功2220011

024

f W J mR ωω=-=-

3-5 如题3-6图所示,一匀质细杆质量为m ,长为l ,可绕过

一端O 的水平轴自由转动,杆于水平位置由静止开始摆下．求：

(1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过θ角时的角速度.

解: (1)由转动定律，有

β)3

1

(212ml mg

= ∴ l

g

23=β

(2)由机械能守恒定律，有

22)3

1

(21sin 2ωθml l mg =

∴ l

g θ

ωsin 3=

3-6 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴O O '转动．设大小圆柱体的半径分别为R 和r ,质量分别为M 和m ．绕在两柱体上的细绳分别与物体1m 和2m 相连,1m 和2m 则挂在圆柱体的两侧,如3-8图所示．设R ＝0.20m, r ＝0.10m,m ＝4 kg,M ＝10 kg,1m ＝2m ＝2 kg,且开始时1m ,2m 离地均为h ＝2m ．求：

(1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力．

图3-6

解: 设1a ,2a 和β分别为1m ,2m 和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．

(a)图 (b)图

(1) 1m ,2m 和柱体的运动方程如下：

2222a m g m T =- ① 1111a m T g m =- ②

βI r T R T ='

-'21 ③

式中 ββR a r a T T T T ==='='122211,,, 而 222

1

21mr MR I += 由上式求得

2

22222

2212

1s rad 13.68.910.0220.0210.0421

20.010212

1.02

2.0-⋅=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯=

++-=

g

r m R m I rm Rm β

(2)由①式

8.208.9213.610.02222=⨯+⨯⨯=+=g m r m T βN

由②式

1.1713.6.

2.028.92111=⨯⨯-⨯=-=βR m g m T N