专题四三角函数与解三角形

专题四 三角函数与解三角形

第十二讲 解三角形

2019年

1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．

（1）求A ；

（2）若22a b c +=，求sin C ．

2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===，则ABC △的面积为__________.

3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2

A C

a b A +=． （1）求B ；

（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．

4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与

CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB

AC

的值是 .

5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b 2，cos B =

2

3

，求c 的值； （2）若

sin cos 2A B a b =，求sin()2

B π

+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，

若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.

7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2

B =- ． （Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -

C ) 的值.

8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，

3sin 4sin c B a C =.

（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫

+

⎪⎝

⎭

的值. 2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos

2=C 1=BC ，5=AC ，则=AB

A ．

B

C

D ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积

为222

4

a b c +-，则C =

A ．

2

π

B ．

3

π C ．

4

π D ．

6

π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三

角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A = 4

．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠=o ，则AC =

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =

，BC 边上的高等于1

3

BC ,则cos A =

A B C ．- D ．-

6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12

，1AB =，BC =

AC =

A ．5 B

C ．2

D ．1

7．(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --

1

2

+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是

A ．8)(>+c b bc B

．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若

22()6c a b =-+，3

C π

=

，则ABC ∆的面积是

A ．3

B ．

239 C ．2

3

3 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o

，30o

，

此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于

A

．1)m B

．1)m

C ．1)m

D ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2

23cos A +

cos20A =，7a =，6c =，则b =

A ．10

B ．9

C ．8

D ．5

11．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +

1

sin cos 2

c B A b =，且a b >，则B ∠=

A ．6π

B ．3

π

C ．23π D

．56π

12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4

AB BC ABC π

∠==

=则sin BAC ∠=