大学物理 第7章 真空中的静电场 答案

第七章 真空中的静电场

7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。

解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为

)41()2

2(

420+=

a q F πε＝,252

0a

q

πε方向由q 指向-4q 。 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。（1）

求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。

解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝d ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则

2

02

0)(4)(4ξπεξ

λξπεξ

λ-=

-=

x d x d dE

则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为

)1

1(4)(400

20

x

L x x d E L

--=-=

⎰

πελξξπελ

＝

)

(40L x x L

-πελ方向沿轴正向。

（2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y

2

04r

dx

dE πελ=

θπελcos 42

0r dx

dE y =

，

θπελsin 42

0r

dx

dE x = 因θ

θθθcos ,cos ,2y

r d y

dx ytg x ===，

习题7－1图

dq

d

习题7－2 图a

x

x

dx

习题7－2 图b

代入上式，则

)cos 1(400θπελ

--

=y

＝

)11(42

2

0L

y y

+--

πελ，方向沿x 轴负向。

θθπελ

θd y

dE E y y ⎰⎰==0

00cos 4 00sin 4θπελy =

＝2204L

y y L

+πελ

7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。

解：如图，在半环上任取d l =Rd 的线元，其上所带的电荷为dq=Rd 。对称分析E y =0。

θπεθ

λsin 42

0R Rd dE x =

⎰⎰=

=πθπελ

0sin 4R dE E x

R

02πελ= 2

022R q επ=

，如图，方向沿x 轴正向。

7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。

解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，

x

E 01

2πελ=

两线间的相互作用力为

θ

θπελ

θd y dE E x x ⎰⎰-=

-=0

0sin

4x

习题7－3图

λ1 习题7－4图

⎰⎰==x dx dF F 0212πελλ⎰=l

a x dx 0

2

12πελ

λ

,ln 2021a

l

a +πελλ如图，方向沿x 轴正向。 7－5 两个点电荷所带电荷之和为Q ，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大 解：设其中一个电荷的带电量是q ，另一个即为Q －q ，若它们间的距离为r ，它们间的相互作用力为

2

04)

(r q Q q F πε-=

相互作用力最大的条件为

0422

0=-=r q

Q dq dF πε 由上式可得：Q=2q ，q=Q/2

7－6 一半径为R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为

θθπσθπσd R rRd dq sin 222==

dq 在o 点产生的电场据（7－10）式为

3

04R ydq

dE πε=

，θcos R y =

θθπεθ

πσπ

d R

R dE E cos 4sin 200303

⎰⎰== )(sin sin 200

θθεσπ

d ⎰

=20

2

02

sin 2π

θ

εσ=

4εσ

=

。如图，方向沿y 轴负向。 7－7 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。

解：如图，设作一圆平面S 1盖住半球面S 2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，

习题7－6图

E

习题7－7图