第三章 泊松过程与更新过程

f Tn ( t ) e t ( t ) n 1 , ( n 1)! t0
Tn 的特征函数：
Tn 的数字特征：
n T ( ) ( i ) n
n
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E [T n ] n 2 D [ T ] n n
第3章 泊松过程与更新过程 [例]已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 N(t) 是具有参数 的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，求仪 器在时刻 t0 正常工作的概率． [解] 仪器发生第k振动的时刻Tk 就是故障时刻T， 则 Tk的概率分布为 分布: k 1 ( t ) e t , t 0
P{ N (t h ) N (t ) 1} h o ( h ) P{ N (t h ) N (t ) 2} o ( h )
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第3章 泊松过程与更新过程
泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令N(t)表示电话 交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{N(t), t 0} 是一个 泊松过程． 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t)为时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{X(t), t 0} 是一个泊松过 程． 考虑机器在(t, t+h]内发生故障这一事件。若机器发生故障，立 即修理后继续工作，则在(t, t+h]内机器发生故障而停止工作的 事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述．
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= ，则n充分大p充分 大小时有 k e P( X k ) 理学院 施三支k !
第3章 泊松过程与更新过程
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而取 各个值的概率为
P{ X k }
k
k!
e , k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
k n
C
s s 1 t t 理学院
k
nk
参数为 n 和 s/t 的
施三支 二项分布
第3章 泊松过程与更新过程 [例] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n) 事 件A发生的时间Tk 的条件概率密度函数．
P{s Tk s h N (t ) n} P{s Tk s h, N (t ) n}
P{ N (t ) n} P{s Tk s h, N (t ) N ( s h) n k} P{N (t ) n} P{s Tk s h} P{N (t ) N ( s h) n k} P{N (t ) n}
k 1
fTk N (t ) ( s n)
f T ( 1 ) ( t1 ) 1 e
k
1 t1
( 1 t1 ) k 1 , ( k 1)!
f T ( 2 ) (t 2 ) 2 e 2t2 .
1
P{T
(1) k
T
(2) 1
}

0


1
k
t1
( k 1)!
t1 e
k 1 1t1
2 e
0 理学院 n施三支

k 1
第3章 泊松过程与更新过程
到达时间的条件分布1
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间T1的分布 ——均匀分布
P{T1 s, N (t ) 1} P{T1 s N (t ) 1} P{ N (t ) 1} P{ N ( s ) 1, N (t ) N ( s ) 0} P{ N (t ) 1}
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()．
E(X ) ,
D(X )
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第3章 泊松过程与更新过程
3.1 泊松过程的定义
[定义] 称{ N (t), t 0 } 为计数过程，若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N (t)满足下列条件： (1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值; (3) 若 s < t ，N (s) N (t) ; (4) 当s < t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t] 中“事件A” 发生的次数．
2t 2
1 dt1dt 2 2 1
目录

k
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第3章 泊松过程与更新过程
3.3 非齐次泊松过程
[定义] 称计数过程{ N (t) , t 0 }为具有跳跃强度函数 (t) 的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： (1) N(0) = 0 ;
n
Tn X i
i 1
(n 1)
t
Tn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Xn —— 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔
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第3章 泊松过程与更新过程
时间间隔 Xn
[定理] 设 {N (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Xn , n 1 } 是对应的时间间隔序列，则随机变量Xn (n=1,2,…)是独立同 分布的均值为1/ 的指数分布． Xn 的分布函数： Xn 的概率密度函数： Xn 的特征函数： Xn 的数字特征：
P( X 1) p, P( X 0) 1 p q
E ( X ) p, D ( X ) pq
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 次数，则 X ~ B (n, p)
n p k q nk P( X k ) k
E ( X ) np , D ( X ) npq
t ( ) E[e
i N ( t )
]e
t ( e i 1)
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第3章 泊松过程与更新过程
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
N (t ) E[ N (t )] t
D N (t ) t
R N ( s , t ) E[ N ( s ) N (t )] s ( t 1) , ( s t )
第3章 泊松过程与更新过程
第3章
泊松过程与更新过程
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第3章 泊松过程与更新过程
内容提要
泊松过程的定义 到达时间间隔与等待时间的分布 非齐次泊松过程 复合泊松过程 更新过程简介
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第3章 泊松过程与更新过程
引
言
[(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值 0 和 1，其概率 分布为：
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第3章 泊松过程与更新过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ N (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过 程，若它满足下列条件： (1) N (0) = 0 ; (2) N(t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
C N ( s, t ) RN ( s, t ) N ( s ) N (t ) min( s, t ) s , ( s t )
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第3章 泊松过程与更新过程
(2) 时间间隔与等待时间
设 {N (t), t 0 }是泊松过程，令N (t)表示 t 时刻事件A 发生的次数， X1 0 T1 X2 T2 X3 T3 Xn Tn-1 Tn
( t ) n t e , P{ N (t s ) N ( s ) n} n!
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n 0, 1,
第3章 泊松过程与更新过程
泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程{ N(t) , t 0 }为具有参数 >0 的泊松 过程，若它满足下列条件： (1) N (0) = 0 ; (2) N (t) 是独立、平稳增量过程; (3) N (t) 满足下列两式：
第3章 泊松过程与更新过程 [例] 设{N1(t), t 0 }和{N2(t), t 0 }是两个相互独立的泊松过 程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为 1和
2．记Tk(1)为过程N1(t)的第k次事件到达时间， T1(2)为过
程N2(t)的第1次事件到达时间，求 P{Tk(1)<T1(2)}，即第一 个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1 次事件发生 的概率．
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第3章 泊松过程与更新过程 [例] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s < t，对于 0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率．
P{ N ( s ) k N (t ) n} P{ N ( s ) k , N (t ) n}
第3章 泊松过程与更新过程
到达时间的条件分布2
[定理] 设 {N (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A 发生n次，则这n次到达时间T1< T2< …< Tn与相应于n 个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有 顺序统计量 相同的分布：
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n N (t ) n ) t 其它 0,
f Tk (t ) 0 , ( k 1 )! t 0
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
P P (Tk t 0 )


t0
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e t
( t ) k 1 dt ( k 1)!
e t0 ( t0 ) n n!
P [ X (t 0 ) k ]
P{ N (t ) n} P{N ( s ) k , N (t ) N ( s ) n k} P{N (t ) n} (s ) k e s [ (t s )]n k e (t s ) k nk k! (n k )! ! ( ) n s t s n t (t ) e k!(n k )! tn n!
n! s (k 1)!(n k )! t k fT P{s Tk s h N (t ) n} lim h0 h
s 1 t
nk
Beta分布
k
(s) P{N (t ) N (s) n k} P{N (t ) n}
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分布函数：
s0 0, FT1 N ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
P{ N ( s ) 1} P{N (t ) N ( s ) 0} 分布密度： 1 / t , 0 s t P{ N (t ) 1} f T1 N ( t ) 1 ( s ) 其它 0, s (t s ) se e s 理学院 施三支 t te t
FX n (t ) P{ X n t} 1 e t
f X n (t ) e t
X ( )
n
i
D[ X n ] 1 2
E[ X n ] 1 ,
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第3章 泊松过程与更新过程
等待时间（到达时间）Tn
[定理] 设 {N(t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n1} 是对应的等待时间序列，则随机变量Tn 服从参数为n与 的 分布，其概率密度为
目录
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第3章 泊松过程与更新过程
3.2 到达时间间隔与等待时间的分布
泊松过程:
( t ) n t P{ N (t s ) N ( s ) n} e , n!
n 0, 1,2,
( t ) n t P{ N (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!