12.3_泊松过程及维纳过程
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续的随机过程, 称为计数过程.
记 N (t0 , t ) N (t ) N (t0 ) , 0 t0 t , 表示在时
间间隔 (t0 , t ]内出现的质点数 .
随机事件 { N (t0 , t ) k } 的概率为 Pk ( t0 , t ) P{ N ( t0 , t ) k }, k 0,1, 2,.
FTi Wi 1 ( t t i 1 ) 0, t 0.
求导可得条件概率密度函数为
e t , t 0, fTi Wi1 ( t ti 1 ) t 0. 0,
随机变量Ti ,Wi 1 的联合概率密度函数为
t e fWi1 ( t i 1 ), t 0, t i 1 0, f ( t , t i 1 ) 0, 其他.
则称增量具有平稳性. 如果增量具有平稳性, 那么增量 X(t)-X(s) 的分 布函数只依赖于时间差 t-s, 而不依赖于 t 和 s 本身. 当增量具有平稳性时, 称相应的独立增量过程 是齐次的或时齐的.
定理 设 {X(t),t0}是独立增量过程，且X(0)=0， 则CX(s, t)=DX[min(s, t)] 证明：C X ( s, t ) E[ X ( s) X (t )] X ( s) X (t )
T1
T2 W1
Tk
W2
O
W k 1 W k
Wn的分布函数 FWn ( t ) P{Wn t }
所以FWn (t ) P{Wn t }
P{ N (t ) n}
k ( t ) t e , k! k n
t 0,
FWn ( t ) 0, t 0.
相应的质点流或质点出现的随机时刻t1 , t2 ,
一般地可得到
Pk (t0 , t ) P{ N (t0 , t ) k }
[ ( t t0 )]k ( t t0 ) e , t t0 , k 0,1, . k!
增量N (t0 , t ) N (t ) N (t0 )的概率分布是参数 结论
P{N (1) N (0) 1}P{N (2) N (1) 1| N (1) N (0) 1} P{N (3) N (2) 1| N (1) N (0) 1, N (2) N (1) 1} P{N (1) N (0) 1}P{N (2) N (1) 1}P{N (3) N (2) 1} e3 3
e t , t 0, fW1 ( t ) 其他. 0,
(2)点间间距
记 Ti Wi Wi 1 , i 1,2,
则Ti 也是一个连续型随机变量, 称为相继出现的
第 i 1个质点和第i个质点的点间间距 .
T1
T2 W1
Tk
W2
O
W k 1 W k
因为T1 W1 , 所以T1服从指数分布
Pj ( t , t t ) P{ N ( t , t t ) j } o( t ) j2 j2
(4) N (0) 0.
满足条件(1)(2)(3)(4)的计数过程 { N (t ), t 0}称作
强度为的泊松过程 .
称作 强度为的泊松流 .
泊松资料
在 X (0) 0 的条件下, 独立增量过程的有限
维分布函数族可以由增量 X ( t ) X ( s ) (0 s t ) 的分布确定 . 如果对任意的实数 h 和 0 s h t h ,
X ( t h) X ( s h) 和 X ( t ) X ( s ) 具有相同的分布,
1.问题的提出
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站.
2.问题的分析与求解
将电子、顾客等看作质点,电子到达阳极、 顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.
用N (t ), t 0表示在时间间隔 (0, t ]内时间轴上 出现的质点数 . { N (t ), t 0}是一个状态取非负整数 、时间连
结论 点间间距序列{ Ti } 服从相同的指数分布 .
理论上, T1 , T2 ,,Ti , 是相互独立的随机变量 .
定理一
强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相 互独立的随机变量,且服从同一个指数分布
e t , t 0, fTi ( t ) i 2, 3, . t 0. 0,
为 ( t t0 ) 的泊松分布,且只与时间差 t t0 有关;
强度为的泊松过程是齐次的独 立增量过程.
另一种常用的定义： 定义 设随机过程{N(t), t≥0 }是只取非负整数值的 独立增量过程，且满足下列条件： (1) N(0)=0; (2)对任意0s < t ，有
k [ ( t s )] P{ N ( t ) N ( s ) k } e ( t s ) , k 0,1, k!
2
相关函数
若 是时间t的函数 ( t ), t 0, 则称泊松过 程是非齐次的 .
3.与泊松过程有关的随机变量
(1)等待时间
设质点(或事件)依次重复出现的时刻 t1 , t2 ,, tn ,
是强度为的泊松流 ,{ N ( t ), t 0}为相应泊松过程 . 记 W0 0, Wn tn , n 1,2, 则Wn是随机变量, 表示第 n 个质点(或事件第 n 次) 出现的等待时间.
第三节
泊松过程及维纳过程
一、独立增量过程 二、泊松过程的数学模型
三、维纳过程的数学模型
四、小结
一、独立增量过程
给定二阶矩过程 { X (t ), t 0}, 称随机变量 X (t ) X ( s ) , 0 s t 为随机过程在区间 ( s, t ] 上的
增量 . 如果对任意选定的 正整数 n 和任意选定的
DN ( t ) Var[ N ( t )] t ,
方差函数
N (t ) E[ ]. t 泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的
质点数目的期望值.
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0. 协方差函数
RN ( s, t ) E[ N ( s ) N (t )] st mins, t, s, t 0.
e t , t 0, fT1 ( t ) fW1 ( t ) 其他. 0,
当 i 2 时, 第 i 1 个质点出现在时刻 ti 1 的条 件下, Ti 的条件分布函数 FT W ( t t i 1 ) P {Ti t Wi 1 t i 1 }
方法检验点间间距是否独立,并且服从同一个指数
分布.
三、维纳过程的数学模型
1.布朗运动简介
布朗资料
英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,观察 漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断地 进行着杂乱无章的运动, 这种现象称为布朗运动. 爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论,认 为微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互
对上式关于 ti 1 积分, 得Ti (i 2, 3,)的概率密度为
fTi (t )
0
e
t
fWi1 (ti 1 )dti 1 e
t
百度文库
0
fWi1 (ti 1 )dti 1
et , t 0, fTi ( t ) 0, t 0.
e t , t 0, fTi ( t ) i 2, 3, . t 0. 0,
对N ( t )的假设 (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性.
( 2) 对于充分小的 t , P1 ( t , t t ) P{ N ( t , t t ) 1} t o( t ),
常数 0 称为过程 N (t ) 的强度 .
( 3)对于充分小的t ,
泊松过程的数字特征
N (t ) N (t 0 ) ～π( ( t t 0 )), t t 0 0. E[ N ( t ) N ( t0 )] Var[ N ( t ) N ( t0 )] ( t t0 ).
令 t0 0 , 根据假设 N (0) 0 可得 E[ N ( t )] t , 均值函数
E 设 0 s <t， X s X t
E{[ X s X (0)][ X t X s X s]} E{[ X ( s) X (0)][ X (t ) X ( s)]} E[ X ( s)]2 E[ X ( s ) X (0)]E[ X ( t ) X ( s )] E[ X ( s )]2
E[ X ( s )]2 2 ( s ) X ( s ) X ( t ) X DX ( s ) X ( s ) X ( t )
则 C X ( s, t ) DX ( s) 同理0t s时，C X ( s, t ) DX (t )
得证。
二、泊松过程的数学模型
称{N(t), t0 }为强度为的泊松过程。
例1 设{N(t), t≥0 }为强度为的泊松过程，求
P{N (1) 1, N (2) 2, N (3) 3}.
解： P{N (1) 1, N (2) 2, N (3) 3}
P{N (1) 1}P{N (2) 2 | N (1) 1} P{N (3) 3 | N (1) 1, N (2) 2}
定理二
如果任意相继出现的两个质点的点间间距是 相互独立的 , 且服从同一个指数分布
e t , t 0, fTi ( t ) i 2, 3, t 0. 0, 则质点流构成了一强度为 的泊松过程 . 定理刻画出了泊松过程的特征.要 定理的意义
确定一个计数过程是不是泊松过程,只要用统计方
独立的分子碰撞的结果.
以 W ( t ) 表示运动中一微粒从时 刻 t 0 到时 刻 t 0 的位移的横坐标 , 且 W (0) 0 .
粒子在时段 ( s, t ] 上的位移可以看成是许多微 小位移的代数和 . 根据中心极限定理, 假设 位移 W ( t ) W ( s ) 服从正态分布.
对时间 t 求导 ,可得Wn 的概率密度函数为
n 1 ( t ) dFWn ( t ) et , t 0, fWn ( t ) ( n 1)! dt 其他. 0,
泊松流 (泊松过程)的等待时间Wn 服从 分布.
取 n 1, 得质点(或事件) 首次出现的等待时间 W1 服从指数分布 :
0 t0 t1 t2 tn , n 个增量 X ( t1 ) X ( t0 ), X ( t2 ) X ( t1 ),, X ( tn ) X ( tn1 ) 相互独立, 则称 { X ( t ), t 0} 为独立增量过程 .
特征: 在互不重叠的区间上,状态的增量是相 互独立的.
i i 1
P{ N (ti 1 t ) N (ti 1 ) 1 N (ti 1 ) i 1} P{ N ( ti 1 t ) N ( ti 1 ) 1} 1 P{ N ( ti 1 t ) N ( ti 1 ) 0} 1 P{ N ( t ) 0} 1 et , t 0,
记 N (t0 , t ) N (t ) N (t0 ) , 0 t0 t , 表示在时
间间隔 (t0 , t ]内出现的质点数 .
随机事件 { N (t0 , t ) k } 的概率为 Pk ( t0 , t ) P{ N ( t0 , t ) k }, k 0,1, 2,.
FTi Wi 1 ( t t i 1 ) 0, t 0.
求导可得条件概率密度函数为
e t , t 0, fTi Wi1 ( t ti 1 ) t 0. 0,
随机变量Ti ,Wi 1 的联合概率密度函数为
t e fWi1 ( t i 1 ), t 0, t i 1 0, f ( t , t i 1 ) 0, 其他.
则称增量具有平稳性. 如果增量具有平稳性, 那么增量 X(t)-X(s) 的分 布函数只依赖于时间差 t-s, 而不依赖于 t 和 s 本身. 当增量具有平稳性时, 称相应的独立增量过程 是齐次的或时齐的.
定理 设 {X(t),t0}是独立增量过程，且X(0)=0， 则CX(s, t)=DX[min(s, t)] 证明：C X ( s, t ) E[ X ( s) X (t )] X ( s) X (t )
T1
T2 W1
Tk
W2
O
W k 1 W k
Wn的分布函数 FWn ( t ) P{Wn t }
所以FWn (t ) P{Wn t }
P{ N (t ) n}
k ( t ) t e , k! k n
t 0,
FWn ( t ) 0, t 0.
相应的质点流或质点出现的随机时刻t1 , t2 ,
一般地可得到
Pk (t0 , t ) P{ N (t0 , t ) k }
[ ( t t0 )]k ( t t0 ) e , t t0 , k 0,1, . k!
增量N (t0 , t ) N (t ) N (t0 )的概率分布是参数 结论
P{N (1) N (0) 1}P{N (2) N (1) 1| N (1) N (0) 1} P{N (3) N (2) 1| N (1) N (0) 1, N (2) N (1) 1} P{N (1) N (0) 1}P{N (2) N (1) 1}P{N (3) N (2) 1} e3 3
e t , t 0, fW1 ( t ) 其他. 0,
(2)点间间距
记 Ti Wi Wi 1 , i 1,2,
则Ti 也是一个连续型随机变量, 称为相继出现的
第 i 1个质点和第i个质点的点间间距 .
T1
T2 W1
Tk
W2
O
W k 1 W k
因为T1 W1 , 所以T1服从指数分布
Pj ( t , t t ) P{ N ( t , t t ) j } o( t ) j2 j2
(4) N (0) 0.
满足条件(1)(2)(3)(4)的计数过程 { N (t ), t 0}称作
强度为的泊松过程 .
称作 强度为的泊松流 .
泊松资料
在 X (0) 0 的条件下, 独立增量过程的有限
维分布函数族可以由增量 X ( t ) X ( s ) (0 s t ) 的分布确定 . 如果对任意的实数 h 和 0 s h t h ,
X ( t h) X ( s h) 和 X ( t ) X ( s ) 具有相同的分布,
1.问题的提出
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站.
2.问题的分析与求解
将电子、顾客等看作质点,电子到达阳极、 顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.
用N (t ), t 0表示在时间间隔 (0, t ]内时间轴上 出现的质点数 . { N (t ), t 0}是一个状态取非负整数 、时间连
结论 点间间距序列{ Ti } 服从相同的指数分布 .
理论上, T1 , T2 ,,Ti , 是相互独立的随机变量 .
定理一
强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相 互独立的随机变量,且服从同一个指数分布
e t , t 0, fTi ( t ) i 2, 3, . t 0. 0,
为 ( t t0 ) 的泊松分布,且只与时间差 t t0 有关;
强度为的泊松过程是齐次的独 立增量过程.
另一种常用的定义： 定义 设随机过程{N(t), t≥0 }是只取非负整数值的 独立增量过程，且满足下列条件： (1) N(0)=0; (2)对任意0s < t ，有
k [ ( t s )] P{ N ( t ) N ( s ) k } e ( t s ) , k 0,1, k!
2
相关函数
若 是时间t的函数 ( t ), t 0, 则称泊松过 程是非齐次的 .
3.与泊松过程有关的随机变量
(1)等待时间
设质点(或事件)依次重复出现的时刻 t1 , t2 ,, tn ,
是强度为的泊松流 ,{ N ( t ), t 0}为相应泊松过程 . 记 W0 0, Wn tn , n 1,2, 则Wn是随机变量, 表示第 n 个质点(或事件第 n 次) 出现的等待时间.
第三节
泊松过程及维纳过程
一、独立增量过程 二、泊松过程的数学模型
三、维纳过程的数学模型
四、小结
一、独立增量过程
给定二阶矩过程 { X (t ), t 0}, 称随机变量 X (t ) X ( s ) , 0 s t 为随机过程在区间 ( s, t ] 上的
增量 . 如果对任意选定的 正整数 n 和任意选定的
DN ( t ) Var[ N ( t )] t ,
方差函数
N (t ) E[ ]. t 泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的
质点数目的期望值.
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0. 协方差函数
RN ( s, t ) E[ N ( s ) N (t )] st mins, t, s, t 0.
e t , t 0, fT1 ( t ) fW1 ( t ) 其他. 0,
当 i 2 时, 第 i 1 个质点出现在时刻 ti 1 的条 件下, Ti 的条件分布函数 FT W ( t t i 1 ) P {Ti t Wi 1 t i 1 }
方法检验点间间距是否独立,并且服从同一个指数
分布.
三、维纳过程的数学模型
1.布朗运动简介
布朗资料
英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,观察 漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断地 进行着杂乱无章的运动, 这种现象称为布朗运动. 爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论,认 为微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互
对上式关于 ti 1 积分, 得Ti (i 2, 3,)的概率密度为
fTi (t )
0
e
t
fWi1 (ti 1 )dti 1 e
t
百度文库
0
fWi1 (ti 1 )dti 1
et , t 0, fTi ( t ) 0, t 0.
e t , t 0, fTi ( t ) i 2, 3, . t 0. 0,
对N ( t )的假设 (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性.
( 2) 对于充分小的 t , P1 ( t , t t ) P{ N ( t , t t ) 1} t o( t ),
常数 0 称为过程 N (t ) 的强度 .
( 3)对于充分小的t ,
泊松过程的数字特征
N (t ) N (t 0 ) ～π( ( t t 0 )), t t 0 0. E[ N ( t ) N ( t0 )] Var[ N ( t ) N ( t0 )] ( t t0 ).
令 t0 0 , 根据假设 N (0) 0 可得 E[ N ( t )] t , 均值函数
E 设 0 s <t， X s X t
E{[ X s X (0)][ X t X s X s]} E{[ X ( s) X (0)][ X (t ) X ( s)]} E[ X ( s)]2 E[ X ( s ) X (0)]E[ X ( t ) X ( s )] E[ X ( s )]2
E[ X ( s )]2 2 ( s ) X ( s ) X ( t ) X DX ( s ) X ( s ) X ( t )
则 C X ( s, t ) DX ( s) 同理0t s时，C X ( s, t ) DX (t )
得证。
二、泊松过程的数学模型
称{N(t), t0 }为强度为的泊松过程。
例1 设{N(t), t≥0 }为强度为的泊松过程，求
P{N (1) 1, N (2) 2, N (3) 3}.
解： P{N (1) 1, N (2) 2, N (3) 3}
P{N (1) 1}P{N (2) 2 | N (1) 1} P{N (3) 3 | N (1) 1, N (2) 2}
定理二
如果任意相继出现的两个质点的点间间距是 相互独立的 , 且服从同一个指数分布
e t , t 0, fTi ( t ) i 2, 3, t 0. 0, 则质点流构成了一强度为 的泊松过程 . 定理刻画出了泊松过程的特征.要 定理的意义
确定一个计数过程是不是泊松过程,只要用统计方
独立的分子碰撞的结果.
以 W ( t ) 表示运动中一微粒从时 刻 t 0 到时 刻 t 0 的位移的横坐标 , 且 W (0) 0 .
粒子在时段 ( s, t ] 上的位移可以看成是许多微 小位移的代数和 . 根据中心极限定理, 假设 位移 W ( t ) W ( s ) 服从正态分布.
对时间 t 求导 ,可得Wn 的概率密度函数为
n 1 ( t ) dFWn ( t ) et , t 0, fWn ( t ) ( n 1)! dt 其他. 0,
泊松流 (泊松过程)的等待时间Wn 服从 分布.
取 n 1, 得质点(或事件) 首次出现的等待时间 W1 服从指数分布 :
0 t0 t1 t2 tn , n 个增量 X ( t1 ) X ( t0 ), X ( t2 ) X ( t1 ),, X ( tn ) X ( tn1 ) 相互独立, 则称 { X ( t ), t 0} 为独立增量过程 .
特征: 在互不重叠的区间上,状态的增量是相 互独立的.
i i 1
P{ N (ti 1 t ) N (ti 1 ) 1 N (ti 1 ) i 1} P{ N ( ti 1 t ) N ( ti 1 ) 1} 1 P{ N ( ti 1 t ) N ( ti 1 ) 0} 1 P{ N ( t ) 0} 1 et , t 0,