12.3_泊松过程及维纳过程
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泊松过程
dPk 1 ( t ) 已得 Pk 1 ( t ) Pk ( t ) dt
t d [ e Pk 1 ( t )] t 两边同乘 e 得， e t Pk ( t ) dt
k d [ e t Pk 1 ( t )] [ ( t s )] 即 e s dt k!
对t s, n m：
4. P{N t n | N s m} e ( t s ) [ (t s )]n m ( n m)!
n s m 5. P{N s m | N t n} ( ) (1 s ) n m t m t
例 : 顾客依泊松过程到达某商店,速率为 4人/小时。已知商店上午9:00开门. (1)求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时 已到5位顾客的概率? (2)求第2位顾客在10点前到达的概率? (3)求第一位顾客在9:30前到达且第二位 顾客在10:00前到达的概率?
第三章：泊松过程
1.生成函数与泊松分布
分布律为：
或母函数
浙大数学随机过程
1
生成函数唯一地决定各阶矩 （可能为 ） （可能为 ）
例如：
定理：如果X 和Y 都是取值非负整数值的随机变量， 那么当X 与Y 独立时，对0 s 1都有： X Y ( s ) X ( s )Y ( s ). 这里 X Y ， X ，Y 分别是X Y ，X ，Y 的生成函数.
泊松过程也可用另一形式定义： 称 N (t ), t 0是参数为的泊松过程,若满足： 1. N (0) 0 2. 独立增量 3. 对任意的t s 0, N (t ) N (s) ~ t s
证 : P{N (t h ) N (t ) 1} he h(1 h o( h )) h o( h )
随机过程第三章-泊松过程
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
第二章泊松过程
2
泊松过程定义1： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1、X(0)=0； 2、X(t)是独立增量过程； 3、在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布， 即对任意s,t≥0，有
P { X ( t s ) X ( s ) n } e
18
例题 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度
1 ( t) ( 1 cos t) 的非齐次泊 2
松过程（ω ≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。
例题
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加， 8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
n [ m ( t s ) m ( t )] X X exp{ [ m ( t s ) m ( t )]}, n 0 X X n !
或
n [ m ( t )] P { X ( t ) n } X exp{ m ( t )}, X n !
17
到达时间的条件分布
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者 说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有
P { W s |X ( t ) 1 } ? 1
分布函数
s 0 0, s F 0 s t W 1(s) t , 1| X(t) 1 , s t
泊松过程poisson
分析、推荐系统等。
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松过程poisson课件
则T 旳概率分布为 分布:
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
fT
(t )
e t
(t )k 1
, (k 1)!
t
0
0 ,
t0
故仪器在时刻 t0 正常工作旳概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间旳条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，拟定这一事件到 达时间W1旳分布 ——均匀分布
6.2 泊松过程旳基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX ( ) E[e jX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程旳数字特征
均值函数
mX (t) E[ X (t)] t
D[S (t)]
tE[
X
2 1
]
t(
2
2
)
泊松脉冲列
[定义] 称泊松过程 { X(t) , t 0 } 旳导数过程为泊松脉冲列，
记为 { Z(t) , t 0 } ，即
Z (t) d X (t) dt
X(t) u(t ti )
i
Z(t) (t ti )
i
t0 t1 t2
ti
t
t0 t1 t2
事件A发生旳次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
泊松过程
第二讲 泊松过程1．随机过程和有限维分布族现实世界中的随机过程例子：液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数；到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。
特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。
定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族}),({T t t X ∈为随机过程。
注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →⨯Ωω:),(。
固定ω，即考虑某个事件相应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。
映射的值域空间E 称为状态空间。
例 随机游动(离散时间，离散状态)质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。
如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。
这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。
如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。
两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01nn kk S S X==+∑习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。
提示 利用∑==nk kn XS 1，其中k X 是时刻k 的移动方式。
习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2,2()0,21n k n k n k n n C q p n k iP S k n k i +-+⎧+===⎨+=-⎩。
例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态)在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程，其指标集}{+∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。
例 布朗运动（连续时间，连续状态）直线上质点的位移是连续的。
在时刻t 的位置为t X 。
第五节 泊松过程
第五节 泊松过程
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
第3章 泊松过程
CHAPTER 3 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
2010年数学建模培训资料(Poisson过程与其应用)
n ( 3 4 ) P{N (4) N (0) n} e 34 n! 其均值为 E[ N (t )] t 3 4 12
即到12：00为止，离去的人平均是12名。 而有9个人接受过服务的概率是 P{N (4) 9} e 12 (12)
9
9!
例5： 设病人以每分钟2人的速率到达某诊所,病人流 为泊松流,求在2分钟内到达的病人不超过3人的概率?
(4 12) 412 P{N (12) N (0) n} e n!
n
均值
E[ N (12) N (0)] 4 12 48
为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程 来反映呢?其根据是稀有事件原理.我们在概率论的 学习中已经知道,贝努里试验中,每次试验成功的概率
很小而试验的次数很多时,二项分布会逼近泊松分布. 这一想法很自然地推广到随机过程,比如上面提到的
过程.
泊松过程也可以用另一种形式的定义:即若计数
过程{N(t) ,t≥0} 满足下面三个条件: (1) N(0)=0. (2) 它是独立增量过程; (3) 对任意的t>t0≥0,增量
可以证明这两个定义等价.
由泊松分布知
特别地,令t0 =0,由于假设N(0)=0,故可推知
泊松过程的均值函数和方差函数分别为
泊松过程及其应用
一、独立增量过程
二、泊松过程
三、维纳过程
随机过程的定义
X (t , ) 是随机变量，我们 对每一个参数 t T ， 称随机变量族 X t X (t, ) 为一随机过程，其中称 为指标集
独立增量过程.
一、 独立增量过程(independent increment process)
将增量 它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
即到12：00为止，离去的人平均是12名。 而有9个人接受过服务的概率是 P{N (4) 9} e 12 (12)
9
9!
例5： 设病人以每分钟2人的速率到达某诊所,病人流 为泊松流,求在2分钟内到达的病人不超过3人的概率?
(4 12) 412 P{N (12) N (0) n} e n!
n
均值
E[ N (12) N (0)] 4 12 48
为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程 来反映呢?其根据是稀有事件原理.我们在概率论的 学习中已经知道,贝努里试验中,每次试验成功的概率
很小而试验的次数很多时,二项分布会逼近泊松分布. 这一想法很自然地推广到随机过程,比如上面提到的
过程.
泊松过程也可以用另一种形式的定义:即若计数
过程{N(t) ,t≥0} 满足下面三个条件: (1) N(0)=0. (2) 它是独立增量过程; (3) 对任意的t>t0≥0,增量
可以证明这两个定义等价.
由泊松分布知
特别地,令t0 =0,由于假设N(0)=0,故可推知
泊松过程的均值函数和方差函数分别为
泊松过程及其应用
一、独立增量过程
二、泊松过程
三、维纳过程
随机过程的定义
X (t , ) 是随机变量，我们 对每一个参数 t T ， 称随机变量族 X t X (t, ) 为一随机过程，其中称 为指标集
独立增量过程.
一、 独立增量过程(independent increment process)
将增量 它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
泊松过程
Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
泊松过程及维纳过程
k
P {N (t,t t)j}P {N (t0,t)kj}
j 0 k
Pj(t,tt)Pkj(t0,t)
j0
因为 k2 当 时 ,
k
P j(t,t t)P k j(t0 ,t)P j(t,t t) o ( t),
j 2
j 2
k
所 P k (t以 0 ,t t) P j(t,t t)P k j(t0 ,t)
增 N(t量 0,t)N(t)N(t0)的概率分布是
为(t t0)的泊松,分 且布 只与时t 间 t0有 差关 ;强 度为 的泊松过程是立 齐增 次量 的.过 独程
泊松过程的数字特征
N ( t ) N ( t 0 ) ～ π ( ( t t 0 )t ) t 0 ,0 .
E [ N ( t ) N ( t 0 ) V ] [ N ( t ) N ( a t 0 ) ( t ] r t 0 )
令t 0,取极限得微分方程
dP0d (tt0,t)P0(t0,t).
因 N (t为 0 ,t0 ) 0 , 所 P 0 (t0 以 ,t0 ) 1 .
利用初值条件求解微分方程可得
P 0 (t0 ,t) e (t t0 ), t t0 .
再P 计 k (t0 ,t)k ,算 1 .
P { N ( t 0 , t t ) k } P { N ( t 0 , t ) N ( t , t t ) k }
et, t0,
fT1(t)fW1(t) 0,
其.他
i当 2时 ,第 i1个质点出ti现 1的在 条 件,下 Ti的条件分布函数
F T it i 1 ( tt i 1 ) P { T i tt i 1 t i 1 }
P { N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 1 N ( t i 1 ) i 1 }
P {N (t,t t)j}P {N (t0,t)kj}
j 0 k
Pj(t,tt)Pkj(t0,t)
j0
因为 k2 当 时 ,
k
P j(t,t t)P k j(t0 ,t)P j(t,t t) o ( t),
j 2
j 2
k
所 P k (t以 0 ,t t) P j(t,t t)P k j(t0 ,t)
增 N(t量 0,t)N(t)N(t0)的概率分布是
为(t t0)的泊松,分 且布 只与时t 间 t0有 差关 ;强 度为 的泊松过程是立 齐增 次量 的.过 独程
泊松过程的数字特征
N ( t ) N ( t 0 ) ～ π ( ( t t 0 )t ) t 0 ,0 .
E [ N ( t ) N ( t 0 ) V ] [ N ( t ) N ( a t 0 ) ( t ] r t 0 )
令t 0,取极限得微分方程
dP0d (tt0,t)P0(t0,t).
因 N (t为 0 ,t0 ) 0 , 所 P 0 (t0 以 ,t0 ) 1 .
利用初值条件求解微分方程可得
P 0 (t0 ,t) e (t t0 ), t t0 .
再P 计 k (t0 ,t)k ,算 1 .
P { N ( t 0 , t t ) k } P { N ( t 0 , t ) N ( t , t t ) k }
et, t0,
fT1(t)fW1(t) 0,
其.他
i当 2时 ,第 i1个质点出ti现 1的在 条 件,下 Ti的条件分布函数
F T it i 1 ( tt i 1 ) P { T i tt i 1 t i 1 }
P { N ( t i 1 t ) N ( t i 1 ) 1 N ( t i 1 ) i 1 }
.泊松过程与维纳过程
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随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 随机事件的来到数都可以得到一个计数过程 而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程 简单计数过程. 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程 计数过程的一个典型的样本函数如图(P342) 计数过程的一个典型的样本函数如图
第三节 泊松过程与 维纳过程
一、独立增量过程 独立增量过程 二、泊松过程 泊松过程 三、维纳过程 维纳过程
第六章
一统天下工作室
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泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程, 泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程 它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位, 它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位 它们都属于所谓的独立增量过程. 它们都属于所谓的独立增量过程 独立增量过程(independent increment process) 一、 独立增量过程 给定二阶矩过程 { X(t),t≥0 } 我们称随机变量 X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量 如果对 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的 任意选定的正整数 和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, 和任意选定的 n个增量 1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 个增量X(t 个增量 相互 独立,则称 为独立增量过程. 独立 则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程 为独立增量过程 直观地说,它具有 在互不重叠的区间上,状态 它具有“ 直观地说 它具有“在互不重叠的区间上 状态 的增量是相互独立的”这一特征. 的增量是相互独立的”这一特征
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随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 随机事件的来到数都可以得到一个计数过程 而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程 简单计数过程. 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程 计数过程的一个典型的样本函数如图(P342) 计数过程的一个典型的样本函数如图
第三节 泊松过程与 维纳过程
一、独立增量过程 独立增量过程 二、泊松过程 泊松过程 三、维纳过程 维纳过程
第六章
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泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程, 泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程 它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位, 它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位 它们都属于所谓的独立增量过程. 它们都属于所谓的独立增量过程 独立增量过程(independent increment process) 一、 独立增量过程 给定二阶矩过程 { X(t),t≥0 } 我们称随机变量 X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量 如果对 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的 任意选定的正整数 和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, 和任意选定的 n个增量 1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 个增量X(t 个增量 相互 独立,则称 为独立增量过程. 独立 则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程 为独立增量过程 直观地说,它具有 在互不重叠的区间上,状态 它具有“ 直观地说 它具有“在互不重叠的区间上 状态 的增量是相互独立的”这一特征. 的增量是相互独立的”这一特征
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泊松过程与维拉过程
常数 0 称为过程 N ( t ) 的强度.
( 3)对于充分小的t ,
P j ( t , t t ) P { N ( t , t t ) j2 j2
(4) N (0) 0.
j } o( t )
泊松资料
满足条件(1)(2)(3)(4)的计数过程{ N ( t ), t 0}称 作 强度为的泊松过程 .
三、维纳过程的数学模型
1.布朗运动简介
布朗资料
英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,观察 漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断地 进行着杂乱无章的运动,这种现象称为布朗运动. 爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论,认为 微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互独 立的分子碰撞的结果.
因此 , 当 0 s t 时 , 有
C X ( s, t ) E[Y ( s )Y ( t )]
E {[Y ( s ) Y (0)][(Y ( t ) Y ( s )) Y ( s )]}
Hale Waihona Puke E {[Y ( s ) Y (0)][(Y ( t ) Y ( s )) Y ( s )]}
独立增量过程的协方差函数 CX(s, t).
设 X (0) 0 , 方差函数 DX ( t ) 已知. 记 Y (t ) X (t ) X (t ) . 当 X ( t ) 具有独立增量时, Y ( t ) 也具有独立增量 ;
Y (0) 0, E[Y (t )] 0, DY (t ) E[Y 2 (t )] DX (t ).
结论
点间间距序列{ Ti } 服从相同的指数分布 . 理论上, T1 , T2 ,,Ti , 是相互独立的随机变量 .
第二章泊松过程随机过程ppt课件
命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}=et P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有
事件}(由独立增量)= et (由平稳增量)
所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2
证明： (1)对 y1 y2 yn，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times)
假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个
2．泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件
(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
泊松过程
在实际中，一般的马尔可夫序列 是对连续的马尔可夫过程进行抽 样得到的，例如，在对运动目标 （导弹，飞机）的轨迹测量中， 信号的模型常采用以下的一阶差 分方程，即
高斯-马尔可夫序列
W ( n)
∑
A
X ( n)
X ( n + 1)
延迟
X ( n + 1) = AX ( n) + W ( n)
A为常数
高 斯
取任意两个时刻tn和tn-1,对上式两边进行tn-1到tn的积分，则
[e −αt X (t )]ttn−1 = β ∫ e −αtW (τ)d τ n
tn −1 tn
e −αtn X (tn ) = e −αtn −1 X (tn −1 ) + β ∫ e −ατW (τ)d τ
tn −1
tn
X (tn ) = eα( tn −tn −1 ) X (tn −1 ) + β ∫ e −α( tn −τ )W (τ)d τ
n−s n− s n − s i −1 = E A [ X ( s ) − mX ( s ) ] + ∑ A W (n − i ) − ∑ Ai −1mW (n − i ) [ X ( s ) − mX ( s ) ] i =1 i =1
24
泊松过程的定义 泊松过程的定义 定义1 称增量(计数)过程{ 【定义1】：称增量(计数)过程{X(t)，t ≥0 } ， 泊松过程，如果X(t)满足 是泊松过程，如果 满足 (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程 是独立增量过程; 是独立增量过程 (3)在任一长度为 的区间中，事件 发生的次 在任一长度为t的区间中 在任一长度为 的区间中，事件A发生的次 的泊松分布， 数服从参数λt> 0的泊松分布，即对任意 的泊松分布 即对任意s, t ≥ 0，有 ， n − λ t (λ t ) P { X (t + s ) − X ( s ) = n} = e , n! n = 0,1, 2, L
高斯-马尔可夫序列
W ( n)
∑
A
X ( n)
X ( n + 1)
延迟
X ( n + 1) = AX ( n) + W ( n)
A为常数
高 斯
取任意两个时刻tn和tn-1,对上式两边进行tn-1到tn的积分，则
[e −αt X (t )]ttn−1 = β ∫ e −αtW (τ)d τ n
tn −1 tn
e −αtn X (tn ) = e −αtn −1 X (tn −1 ) + β ∫ e −ατW (τ)d τ
tn −1
tn
X (tn ) = eα( tn −tn −1 ) X (tn −1 ) + β ∫ e −α( tn −τ )W (τ)d τ
n−s n− s n − s i −1 = E A [ X ( s ) − mX ( s ) ] + ∑ A W (n − i ) − ∑ Ai −1mW (n − i ) [ X ( s ) − mX ( s ) ] i =1 i =1
24
泊松过程的定义 泊松过程的定义 定义1 称增量(计数)过程{ 【定义1】：称增量(计数)过程{X(t)，t ≥0 } ， 泊松过程，如果X(t)满足 是泊松过程，如果 满足 (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程 是独立增量过程; 是独立增量过程 (3)在任一长度为 的区间中，事件 发生的次 在任一长度为t的区间中 在任一长度为 的区间中，事件A发生的次 的泊松分布， 数服从参数λt> 0的泊松分布，即对任意 的泊松分布 即对任意s, t ≥ 0，有 ， n − λ t (λ t ) P { X (t + s ) − X ( s ) = n} = e , n! n = 0,1, 2, L
第三章泊松过程
2 X ( t ) D( X ( t )) t
一、数字特征
RX ( s , t ) E ( X ( s ) X ( t )) s( t 1)
一般泊松过程的有 B X ( s , t ) min( s , t ) 。 有特征函数定义，可得泊松过程的特征函数为
B X ( s , t ) RX ( s , t ) m x ( s )m X ( t ) s
通常，称Wn 为第 n 次事件 A 出现的时刻或第 n 次 Tn 是第 n 个时间间隔，它们都是随 事件 A 的等待时间， 机变量。
定 理 3.2
设 { X (t ), t 0} 是 具 有 参 数 的 泊 松 过 程 ，
Tn (n 1) 是对应的时间间隔序列，则随机变量 Tn (n 1, 2,)
P{ X ( t h) X ( t ) 1} P{ X ( h) X (0) 1}
( h ) eh h ( h)n / n ! 1! n 0
h 1 h o( h ) h o ( h )
P{ X ( t h) X (t ) 2} P{ X ( h) X (0) 2}
于是
Pn ( t h) Pn ( t ) o( h ) Pn ( t ) Pn1 ( t ) h h 令 h 0 取极限得
Pn(t ) Pn (t ) Pn1 (t )
所以
t e Pn (t ) Pn (t ) e Pn1 (t ) t
即
FTn (t ) P{Tn t } 1 e
（由 P0 (0) 1,ln P0 (0) 0 ）
得
一、数字特征
RX ( s , t ) E ( X ( s ) X ( t )) s( t 1)
一般泊松过程的有 B X ( s , t ) min( s , t ) 。 有特征函数定义，可得泊松过程的特征函数为
B X ( s , t ) RX ( s , t ) m x ( s )m X ( t ) s
通常，称Wn 为第 n 次事件 A 出现的时刻或第 n 次 Tn 是第 n 个时间间隔，它们都是随 事件 A 的等待时间， 机变量。
定 理 3.2
设 { X (t ), t 0} 是 具 有 参 数 的 泊 松 过 程 ，
Tn (n 1) 是对应的时间间隔序列，则随机变量 Tn (n 1, 2,)
P{ X ( t h) X ( t ) 1} P{ X ( h) X (0) 1}
( h ) eh h ( h)n / n ! 1! n 0
h 1 h o( h ) h o ( h )
P{ X ( t h) X (t ) 2} P{ X ( h) X (0) 2}
于是
Pn ( t h) Pn ( t ) o( h ) Pn ( t ) Pn1 ( t ) h h 令 h 0 取极限得
Pn(t ) Pn (t ) Pn1 (t )
所以
t e Pn (t ) Pn (t ) e Pn1 (t ) t
即
FTn (t ) P{Tn t } 1 e
（由 P0 (0) 1,ln P0 (0) 0 ）
得
泊松过程及维纳过程39页PPT
泊松过程及维纳过程
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢你的阅读
Байду номын сангаас❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢你的阅读
Байду номын сангаас❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
3 泊松过程
X (t1 ) Y1 X (t2 ) Y1 Y2 X (tn ) Y1 Y2 Yn
10
则X X t1 , X t 2 ,, X t n 的特征函数为：
g X 1 ,, n ; t1 , t2 ,, tn E e Ee i Y Y nY i Y i Y E e E e E e Y1 , Y2 ,, Yn独立
这时称过程 { X ( t ), t T }具马尔可夫性或无后效 性.
并称此过程为马尔可夫过程.
例
随机过程 { X ( t ), t T }为独立增量过程，且 X (0)=0
证明：X (t )为马尔科夫过程 证明： t1 t2 tn1 tn , ti T ,
P{ X (tn ) xn | X (t1 ) x1 ,..., X (tn1 ) xn1 }
1
2
3
§2.4 随机过程的几种基本类型
• 正交增量过程
• 独立增量过程
• 马尔可夫过程
• 正态过程
• 维纳过程 • 平稳过程
4
正交增量过程
若 Xt , t T 为零均值二阶矩过程，且对任意的 t1<t2≤t3<t4∈T,有 t1 t2 t3 E[ X(t2)－X(t1)] [X(t4)－X(t3)]=0
例 设随机过程 X t , a t b 为独立增量过程，Xa 0, mX t 、 DX t 为已知，求自相关函数 RX s,t .
解： 设 a s t b,
BX s, t cov X s , X t
a
s
15
马尔科夫过程
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泊松过程的数字特征
N (t ) N (t 0 ) ～π( ( t t 0 )), t t 0 0. E[ N ( t ) N ( t0 )] Var[ N ( t ) N ( t0 )] ( t t0 ).
令 t0 0 , 根据假设 N (0) 0 可得 E[ N ( t )] t , 均值函数
e t , t 0, fT1 ( t ) fW1 ( t ) 其他. 0,
当 i 2 时, 第 i 1 个质点出现在时刻 ti 1 的条 件下, Ti 的条件分布函数 FT W ( t t i 1 ) P {Ti t Wi 1 t i 1 }
1.问题的提出
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站.
2.问题的分析与求解
将电子、顾客等看作质点,电子到达阳极、 顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.
用N (t ), t 0表示在时间间隔 (0, t ]内时间轴上 出现的质点数 . { N (t ), t 0}是一个状态取非负整数 、时间连
FTi Wi 1 ( t t i 1 ) 0, t 0.
求导可得条件概率密度函数为
e t , t 0, fTi Wi1 ( t ti 1 ) t 0. 0,
随机变量Ti ,Wi 1 的联合概率密度函数为
t e fWi1 ( t i 1 ), t 0, t i 1 0, f ( t , t i 1 ) 0, 其他.
对N ( t )的假设 (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性.
( 2) 对于充分小的 t , P1 ( t , t t ) P{ N ( t , t t ) 1} t o( t ),
常数 0 称为过程 N (t ) 的强度 .
( 3)对于充分小的t ,
独立的分子碰撞的结果.
以 W ( t ) 表示运动中一微粒从时 刻 t 0 到时 刻 t 0 的位移的横坐标 , 且 W (0) 0 .
粒子在时段 ( s, t ] 上的位移可以看成是许多微 小位移的代数和 . 根据中心极限定理, 假设 位移 W ( t ) W ( s ) 服从正态分布.
2
相关函数
若 是时间t的函数 ( t ), t 0, 则称泊松过 程是非齐次的 .
3.与泊松过程有关的随机变量
(1)等待时间
设质点(或事件)依次重复出现的时刻 t1 , t2 ,, tn ,
是强度为的泊松流 ,{ N ( t ), t 0}为相应泊松过程 . 记 W0 0, Wn tn , n 1,2, 则Wn是随机变量, 表示第 n 个质点(或事件第 n 次) 出现的等待时间.
方法检验点间间距是否独立,并且服从同一个指数
分布.
三、维纳过程的数学模型
1.布朗运动简介
布朗资料
英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,观察 漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断地 进行着杂乱无章的运动, 这种现象称为布朗运动. 爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论,认 为微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互
结论 点间间距序列{ Ti } 服从相同的指数分布 .
理论上, T1 , T2 ,,Ti , 是相互独立的随机变量 .
定理一
强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相 互独立的随机变量,且服从同一个指数分布
e t , t 0, fTi ( t ) i 2, 3, . t 0. 0,
对上式关于 ti 1 积分, 得Ti (i 2, 3,)的概率密度为
fTi (t )
0
e
t
fWi1 (ti 1 )dti 1 e
t
0
fWi1 (ti 1 )dti 1
et , t 0, fTi ( t ) 0, t 0.
e t , t 0, fTi ( t ) i 2, 3, . t 0. 0,
为 ( t t0 ) 的泊松分布,且只与时间差 t t0 有关;
强度为的泊松过程是齐次的独 立增量过程.
另一种常用的定义： 定义 设随机过程{N(t), t≥0 }是只取非负整数值的 独立增量过程，且满足下列条件： (1) N(0)=0; (2)对任意0s < t ，有
k [ ( t s )] P{ N ( t ) N ( s ) k } e ( t s ) , k 0,1, k!
DN ( t ) Var[ N ( t )] t ,
方差函数
N (t ) E[ ]. t 泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的
质点数目的期望值.
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0. 协方差函数
RN ( s, t ) E[ N ( s ) N (t )] st mins, t, s, t 0.
称{N(t), t0 }为强度为的泊松过程。
例1 设{N(t), t≥0 }为强度为的泊松过程，求
P{N (1) 1, N (2) 2, N (3) 3}.
解： P{N (1) N (1) 1}P{N (2) 2 | N (1) 1} P{N (3) 3 | N (1) 1, N (2) 2}
对时间 t 求导 ,可得Wn 的概率密度函数为
n 1 ( t ) dFWn ( t ) et , t 0, fWn ( t ) ( n 1)! dt 其他. 0,
泊松流 (泊松过程)的等待时间Wn 服从 分布.
取 n 1, 得质点(或事件) 首次出现的等待时间 W1 服从指数分布 :
E 设 0 s <t， X s X t
E{[ X s X (0)][ X t X s X s]} E{[ X ( s) X (0)][ X (t ) X ( s)]} E[ X ( s)]2 E[ X ( s ) X (0)]E[ X ( t ) X ( s )] E[ X ( s )]2
第三节
泊松过程及维纳过程
一、独立增量过程 二、泊松过程的数学模型
三、维纳过程的数学模型
四、小结
一、独立增量过程
给定二阶矩过程 { X (t ), t 0}, 称随机变量 X (t ) X ( s ) , 0 s t 为随机过程在区间 ( s, t ] 上的
增量 . 如果对任意选定的 正整数 n 和任意选定的
e t , t 0, fW1 ( t ) 其他. 0,
(2)点间间距
记 Ti Wi Wi 1 , i 1,2,
则Ti 也是一个连续型随机变量, 称为相继出现的
第 i 1个质点和第i个质点的点间间距 .
T1
T2 W1
Tk
W2
O
W k 1 W k
因为T1 W1 , 所以T1服从指数分布
P{N (1) N (0) 1}P{N (2) N (1) 1| N (1) N (0) 1} P{N (3) N (2) 1| N (1) N (0) 1, N (2) N (1) 1} P{N (1) N (0) 1}P{N (2) N (1) 1}P{N (3) N (2) 1} e3 3
定理二
如果任意相继出现的两个质点的点间间距是 相互独立的 , 且服从同一个指数分布
e t , t 0, fTi ( t ) i 2, 3, t 0. 0, 则质点流构成了一强度为 的泊松过程 . 定理刻画出了泊松过程的特征.要 定理的意义
确定一个计数过程是不是泊松过程,只要用统计方
续的随机过程, 称为计数过程.
记 N (t0 , t ) N (t ) N (t0 ) , 0 t0 t , 表示在时
间间隔 (t0 , t ]内出现的质点数 .
随机事件 { N (t0 , t ) k } 的概率为 Pk ( t0 , t ) P{ N ( t0 , t ) k }, k 0,1, 2,.
则称增量具有平稳性. 如果增量具有平稳性, 那么增量 X(t)-X(s) 的分 布函数只依赖于时间差 t-s, 而不依赖于 t 和 s 本身. 当增量具有平稳性时, 称相应的独立增量过程 是齐次的或时齐的.
定理 设 {X(t),t0}是独立增量过程，且X(0)=0， 则CX(s, t)=DX[min(s, t)] 证明：C X ( s, t ) E[ X ( s) X (t )] X ( s) X (t )
T1
T2 W1
Tk
W2
O
W k 1 W k
Wn的分布函数 FWn ( t ) P{Wn t }
所以FWn (t ) P{Wn t }
P{ N (t ) n}
k ( t ) t e , k! k n
t 0,
FWn ( t ) 0, t 0.
0 t0 t1 t2 tn , n 个增量 X ( t1 ) X ( t0 ), X ( t2 ) X ( t1 ),, X ( tn ) X ( tn1 ) 相互独立, 则称 { X ( t ), t 0} 为独立增量过程 .
特征: 在互不重叠的区间上,状态的增量是相 互独立的.
E[ X ( s )]2 2 ( s ) X ( s ) X ( t ) X DX ( s ) X ( s ) X ( t )
则 C X ( s, t ) DX ( s) 同理0t s时，C X ( s, t ) DX (t )