随机过程 计算与应用 维纳过程 1
应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子
维纳过程是一种随机过程，它具有均值为零、独立增量和高斯分布的特性。
这种过程可以应用于多种领域，例如金融、物理和工程等。
下面我们来看一个应用维纳过程的例子。
假设我们要预测某公司股票价格的变化。
我们可以将股票价格视为随机过程，并应用维纳过程来模拟其价格走势。
为了进行预测，我们需要先对过去的股票价格数据进行分析和建模。
假设我们已经通过历史数据建立了一个股票价格模型，该模型使用维纳过程描述股票价格的随机变化。
我们可以使用该模型来预测未来股票价格的变化。
例如，假设我们预测某一天该公司的股票价格会上涨。
我们可以使用维纳过程计算出股票价格的随机变化，从而确定股票价格的可能范围。
如果我们发现预测股票价格上涨的概率很高，那么我们可以考虑购买该公司的股票。
另外，维纳过程还可以应用于其他领域。
例如，我们可以使用维纳过程模拟气象变化，从而预测未来的天气情况。
此外，维纳过程还可以应用于信号处理、控制系统和电子通信等领域。
总之，维纳过程是一种非常有用的随机过程，可以应用于多种领域，帮助我们进行预测和决策。
- 1 -。
应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子维纳过程是一种随机过程，常常被用于模拟股票价格、货币汇率和认知行为等具有随机性的现象。
下面是一个应用维纳过程的例子：假设有一只股票的价格在未来1年内是随机波动的。
我们可以用维纳过程来模拟这个价格的变化。
首先，我们需要确定股票价格的初始值和波动率。
假设股票价格的初始值为100元，波动率为0.2。
然后，我们可以用维纳过程的公式来模拟股票价格在未来1年内的变化。
公式如下：dS = μSdt + σSdz其中，S表示股票价格，μ表示股票价格的年化收益率，σ表示股票价格的波动率，dt表示时间间隔，dz表示标准正态分布随机变量。
假设我们要模拟1个月内的股票价格变化。
我们可以将时间间隔dt设为1/12，标准正态分布随机变量dz可以用随机数生成器生成。
假设在这个月内，股票价格的年化收益率为5%。
我们可以用以下代码来模拟股票价格的变化：import numpy as npS = 100 # 初始股票价格mu = 0.05 # 年化收益率sigma = 0.2 # 波动率dt = 1/12 # 时间间隔T = 1 # 总时间N = int(T/dt) # 时间步数# 生成标准正态分布随机变量z = np.random.standard_normal(N)# 计算股票价格变化S_t = S*np.exp(np.cumsum((mu - 0.5*sigma**2)*dt + sigma*np.sqrt(dt)*z))print(S_t)运行代码，可以得到一个包含30个元素的数组，表示股票价格在未来1个月内的变化。
我们可以用这个数组来预测股票价格在未来的走势，帮助我们做出更明智的投资决策。
维纳过程还可以用于模拟其他具有随机性的现象，如货币汇率和认知行为。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据，选择合适的参数来模拟随机过程，并通过模拟结果来帮助我们做出决策。
《随机过程——计算与应用》课件维纳过程2
jmX
(tk
)T
1 uCuT 2
)
e j
n
uk mX
k 1
(tk
)1 2
n k 1
n l1
uk ul CX
(tk
,tl
)
布朗桥在统计中的应用
设X , ,X
1
n
独立同服从U[0，1]分布,对0<s<1,记
n
N (s)= I
n
(Xi s)
i 1
Fn (s)
N (s) n
n,
则有
P(lim n
Fn
(s)
s)
1
若令n (s) n(Fn (s)-s),则当n 时， {n (s)，0 s 1}的极限过程为布朗桥.
4. 几何布朗运动
设 R, 0, 定义
B e , ge
Bt , 2
t
t 0
其中Bt , 2 是( , 2 )-布朗运动,
则称随机过程Bge {e Bt,2 ,t 0}为几何布朗运动
Ba 0
b
=a,B1ab
b.
(2)计算从a到b的布朗桥的均值函数和协方差函数.
(3)验证从a到b的布朗桥也是正态过程.
也可以用过程的n维特征函数
n
t1 ,
,tn
(u1,
u2
,...,
un
)
E[e
j Btakbuk k 1
]
注意到：正态过程X的特征函数为
t1 ,
,tn
(u1,
u2
,...,
un
)
(
e (s t )E[e 2Ws ]E[e (Wt Ws ) ]
=e e e (s t )
维纳过程_精品文档
维纳过程什么是维纳过程？维纳过程（Wiener process），又称布朗运动（Brownian motion），是一种随机过程，常用来描述粒子在流体介质中的随机运动。
维纳过程最早由数学家尼尔斯·维纳（Norbert Wiener）于20世纪20年代提出，并广泛应用于物理、金融等领域的建模和预测。
维纳过程在数学上具有许多有趣的特性，例如连续性、无界性和马尔可夫性等。
它是一种满足齐次增量和高斯分布的过程，也就是说，在维纳过程中，任意两个时刻之间的增量是独立同分布的高斯随机变量。
维纳过程的定义维纳过程可以用数学形式进行定义。
设维纳过程{W(t), t >= 0}满足以下条件：1.初始点：W(0) = 0；2.齐次增量：对于任意的s < t，W(t) - W(s)是一个均值为0、方差为t-s的高斯随机变量；3.独立增量：对于任意的s < t < u < v，W(t) - W(s)和W(v) - W(u)是独立的。
维纳过程可以看作是一个随机游走，在任意一小段时间内，粒子的位置发生微小的随机扰动，随着时间的推移，这些微小扰动累积起来，形成了维纳过程。
维纳过程的性质维纳过程具有一些重要的性质，这些性质使得它在建模和预测中具有广泛的应用。
连续性维纳过程是连续的，即其路径是连续函数。
这意味着在任意时刻上，维纳过程的取值都是确定的，不存在跳跃现象。
无界性维纳过程是无界的，即它可以在任意区间内无限增长或无限减小。
这是因为维纳过程的增量是高斯分布的，高斯分布的尾端是无界的。
马尔可夫性维纳过程具有马尔可夫性，即给定当前时刻的状态，未来的发展与过去的历史无关。
这意味着维纳过程的未来状态只与当前状态相关，与之前的状态无关。
维纳过程的应用维纳过程在许多领域有着重要的应用，以下是几个典型的应用案例：物理学中的应用在物理学中，维纳过程可用于描述微粒在液体或气体中的随机扩散运动。
维纳过程的连续性和无界性使得它可以模拟各种扩散现象，例如热传导、粒子的布朗运动等。
维纳过程
维纳过程（Brown 运动） 一.维纳过程的一维数学模型及定义 花粉微粒的一维随机游动 定义: 如果随机过程 {W(t) ,t ≥0} 满足下列条件： 1 ) W 0 0 ;
2 ) EW t 0 ;
3 ) 具有平稳独立增量; 4 ) t 0 ,W t ~ N 0, 2 t ,
0
称随机过程 {W(t) ,t ≥0}是参数为2的维纳过程
几 种 重 要 的 随 机 过 程
注：1）维纳过程为平稳独立增量过程 2）平稳独立增量的有限维概率分布由其一维分布 确定，故维纳过程是正态过程。 二、维纳过程的概率分布及数字特征 一维概率分布
f (t,x )
1
2t
2 2 su 2 suv tv2 2
几 种 重 要 的 随 机 过 程
n 维概率分布
f t1 , t 2 ,...,t n ; x1 , x2 ,...,xn
1
2
n/ 2
C
1 2
1 1 exp x C x 2
1 t1 , t 2 ,...,t n ; u1 , u2 ,...,un exp uCu 2
1 2 tu2 2
e
x2 2 2 t
0 t , x R t , u源自 e0 t , u R
W t W s ~ N 0, 2 t s
几 种 重 要 的 随 机 过 程
C s , t 2 mins , t
注意: 协方差矩阵C 的表示。
几 种 重 要 的 随 机 过 程
三、维纳过程的性质 性质1： 维纳过程 { X( t ) ,t ≥0}为平稳独立增量过程
应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子
维纳过程是一种随机过程，被广泛应用于金融、工程、物理学等领域。
维纳过程的主
要特点是其连续性和无限可分性。
维纳过程的应用非常多，下面我们介绍几个常见的例
子。
1. 金融领域中的维纳过程
金融领域中的维纳过程被广泛用于投资组合的风险管理。
在金融市场中，股票和股指
价格的波动通常被认为是随机的和连续的，因此可以使用维纳过程模型来描述。
维纳过程
也可以用于衡量基金的风险，帮助投资者制定更好的投资策略。
2. 工程领域中的维纳过程
维纳过程也被应用于工程领域，其中一个例子是通信系统。
在通信系统中，数据传输
的信噪比是非常重要的，如果数据传输受到噪声的干扰，信噪比会下降。
使用维纳过程可
以帮助工程师建立数学模型，以预测信噪比的变化，从而优化通信系统的性能。
3. 物理学中的维纳过程
物理学中的维纳过程被广泛用于描述分子的扩散。
分子在一个体系中随机移动和碰撞，这种运动可以用维纳过程来描述。
维纳过程也可以用于描述量子系统中的热力学行为，例
如电子在理论上满足维纳过程模型的布朗运动模型，从而可以对系统进行模拟和计算。
4. 金融衍生品定价领域的维纳过程
在金融衍生品与定价领域，维纳过程是基于随机漫步的原理，被用来建模标的资产价
格的变化过程。
例如，欧式看涨期权的价格可以被认为是在未来某个时间的标的资产价格
的确定性部分和波动性部分。
其中，确定性部分可以用基础资产的价值加上无风险利率的
折现值表示，而波动性部分则可以用维纳过程来表示。
随机过程在金融中的应用7金融市场中的维纳过程及小事件概率
设Wk 的方差为Vk ，即 Vk E0[Wk2 ]
n
n
累积误差的方差 V E0[ Wk2 ] Vk
k 1
k 1
且 Wk 之间不相关，以及干扰项的期望是0。
首页
默顿方法
假设1
V A1 0
A1 独立于 n
注 此假设对证券价格的可变性附加了一个下限，即当
间隔被分成越来越小的子间隔，累积误差的方差V
它可写成
Ek 1[Sk Sk 1] A(Ik 1, h)
如果 A(•) 是 h 的光滑函数，它在h 0 的泰勒展开式为
A(Ik1, h) A(Ik1,0) a(Ik1 k1 ) 是在 h 0 时 A(I k1, h) 对h 求的一阶导数。
R(I k1, h) 是泰勒展开式的余项。
是正的。也就是越来越频繁的观察证券价格不会消
除所有的风险，即资产价格具有不确定性。
假设2 V A2
A2 独立于 n
注
首页
这个假设对累积误差的方差附加了一个上限。 当时间段被分成越来越小的间隔，更频繁的交 易是允许的。这样的交易对系统不会带来非限 制的不稳定性。
假设3
Vk Vmax
A3,0
A3
首页
Ek 1[•]
表示在间隔 k 1结束时的可得信息
的期望条件，反映在给出信息集 情况下市场参与者的预期。
I
k
1
则 Wk
革新项具 有特征
是[Sk Sk1]中的一部分，称为“革新
项”
1、在间隔 k 1结束时未知，而在间隔 k
结束时可观察到。即知道信息 Ik ，就能
说出其确切值，且 Ek [Wk ] Wk
W1 Wk1 Wk1
首页
随机过程
又设任意t1 , t2 T RXX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] (自)相关函数 C XX (t1 , t2 ) Cov[ X (t1 ), X (t2 )] E [ X (t1 ) X (t1 )][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
T 为参数集，对固定的e和t , X (e, t )称为过程的状态； X (e, t )所有可能的值的全体称为状态空间；
4
今后将X (e, t )简记为X (t )
例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：
则 X (t ), t , 是一随机过程。
cos t 当出现H X (t ) 当出现T t
FX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 , tn )
ti T 称为 X (t ), t T 的n维分布函数族
一般地，FX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 , tn ), n 1, 2, ti T 称为随机过程 X (t ), t T 的有限维分布函数族 它完全确定了随机过程的统计特性
2 X t RX t , t
各数字特征之间的关系如下：
C X t1 , t2 RX t1 , t2 X t1 X t2
2 X
t C X t , t RX t , t t
2 X
15
e ( X (e, t ) t (, )),
即( X (t ), t (, ))பைடு நூலகம்—随机过程
3
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
应用维纳过程的例子
应用维纳过程的例子
维纳过程是一种随机过程，其轨迹呈现连续、无间断的特征。
它在物理、金融等领域中得到广泛的应用。
其中一个经典的例子就是布朗运动，也称布朗运动。
在布朗运动中，物体的运动是由无数微小的、无规律的碰撞所引起的，这些碰撞是由于分子之间的热运动而产生的。
这种运动在金融市场中也有类似的应用，如股票价格的波动就可以看作是一种布朗运动。
另一个应用维纳过程的例子是股票价格的预测。
在金融市场中，股票价格的波动性非常强，预测股票价格的变化是一个非常具有挑战性的问题。
维纳过程可以帮助我们预测股票价格的变化。
通过对股票价格的历史数据进行分析，我们可以建立一个随机过程模型，来预测未来的股票价格走势。
维纳过程还可以用于噪声信号的分析。
在信号处理中，噪声信号是一种随机信号，通常是由各种环境因素所引起的。
通过对噪声信号的分析，我们可以了解信号中包含的信息量，从而为后续的信号处理提供帮助。
维纳过程还可以应用于粒子跟踪。
在生物学等领域中，粒子跟踪是一种常用的技术。
通过对粒子的运动轨迹进行分析，我们可以了解粒子的运动规律及其与环境之间的相互作用。
总而言之，维纳过程在各个领域中都有着广泛的应用。
通过对维纳过程的研究及应用，我们可以更好地了解随机过程的特征及其对我们生活和工作的影响。
维纳随机过程范文
维纳随机过程范文维纳随机过程（Wiener process）又称布朗运动（Brownian motion），是一种随机过程，最早由罗伯特·维纳（Robert Wiener）在1923年引入，用来描述随机运动的数学模型。
维纳随机过程被广泛应用于金融、物理学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。
1.W(0)=0，即在t=0时刻，随机过程的取值为0；2. 对于任意的t1<t2<...<tn，随机变量W(t2)-W(t1)，W(t3)-W(t2)，...，W(tn)-W(tn-1)是相互独立的；3.对于任意的t1<t2，随机变量W(t2)-W(t1)服从均值为0，方差为(t2-t1)的正态分布。
1. 增量独立性：对于任意的s<t1<t2<...<tn，W(t1+s)-W(s)，W(t2+s)-W(t1+s)，...，W(tn+s)-W(tn-1+s)是相互独立的；2. 高斯性：对于任意的t1<t2<...<tn，W(t1)，W(t2)，...，W(tn)是服从正态分布的随机变量；3.零均值：对于任意的t，E[W(t)]=0，即维纳随机过程的期望值为0。
维纳随机过程在金融领域的应用非常广泛，特别是在金融风险管理和衍生产品定价中起到重要作用。
它被用来模拟股票价格、汇率、利率等金融指标的随机波动。
维纳随机过程假设价格的波动是由无数个微小的随机因素叠加产生的，这些随机因素的大小和方向是随机的，并且无法预测。
维纳随机过程的一个重要特征是随机性，这使得它成为金融市场的波动和不确定性的有效描述工具。
在金融风险管理中，通过模拟维纳随机过程来计算股票、指数、期货等的价值变动，可以帮助投资者评估风险水平并制定相应的风险管理策略。
在衍生产品定价中，维纳随机过程被用来计算期权、期货、利率互换等衍生产品的价格。
维纳随机过程还被应用于金融工程学中的套利交易和对冲策略的设计。
随机过程第26-27讲 第六章 高斯(Gauss)过程
第六章 高斯（Gauss ）过程（六）维纳过程（布朗运动）1． 维纳过程的定义设质点每经过t ∆时间，随机地以概率2/1=p 向右移动0>∆x 距离，以概率2/1=q 向左移动0>∆x 距离，且每次移动是相互独立的。
记：−=次质点向左移动第次质点向右移动第i i X i ,1,1若)(t X 表示在t 时刻质点所处的位置，则有：)()(][21tt XX X x t X ∆+++∆=L显然有：1}{}{,0}{2===i i i X E X D X E故有：∆∆==t t t t X D t X E 2)()}({,0)}({假设t c x ∆=∆，其中c 为常数，它由物理意义确定。
0>令∆0→t ，即研究连续的游动，则有：0)}({=t X Et c t t t c t t x t X D t t t 220200lim )(lim )}({lim = ∆∆=∆∆=→∆→∆→∆ 另一方面，任取两个时刻210t t <<，令：∆= ∆=t t n t t n 2211,则有：)()(1211n X X X x t X +++∆=L)()(2212n X X X x t X +++∆=L)()()(21112n n X X x t X t X ++∆=−+L由于(与)121n X X X +++L )(211n n X X +++L )(是相互独立的，因此与相互独立。
即随机过程)(1t X )()12t X −(t X t X 是一独立增量过程。
由此)(t X 可以看作由许多微小的相互独立的随机变量)(1−)(−i t i X t X 组成之和。
由中心极限定理，当∆0→t 时，我们有：)(0200lim x x t c xX P t t i i t Φ=≤−∆∑ ∆=→∆ 即有：∫∞−→∆−=Φ=≤xt du u x x t c t X P }2exp{21)()(lim 220π故当∆0→t 时，)(t X 趋向于正态分布，即0→∆t 时，),0(~)(2t c N t X 由此，我们引入维纳过程（Wienner Process ）的定义：定义：若一随机过程{}0);(≥t t W 满足： （1）)(t W 是独立增量过程；（2）∀； ),0(~)()(,0,2t c N s W t s W t s −+>（3）)(t W 是关于t 的连续函数；则称{}0);(≥t t W 是布朗运动或维纳过程（Wienner Process ）。
标准维纳过程
标准维纳过程维纳过程是一种在物理学和数学中常见的随机过程，它以奥地利数学家维纳的名字命名。
在标准维纳过程中，粒子在时间上的漫步是连续的，并且其轨迹是连续的。
这种过程在许多领域都有着广泛的应用，比如金融领域的股票价格波动、物理领域的扩散现象等。
本文将对标准维纳过程进行详细的介绍，包括其定义、性质和应用。
首先，我们来看一下标准维纳过程的定义。
标准维纳过程是一种连续时间随机过程，通常记作W(t)，其中t为时间。
它具有以下性质，1）W(0) = 0，即在时间0时，粒子的位置为0；2）W(t)的增量是正态分布的，即对于任意s < t，W(t) W(s)服从均值为0，方差为t-s的正态分布。
这些性质使得标准维纳过程成为了一种非常重要的随机过程，它在描述许多自然现象和人类活动中起着至关重要的作用。
其次，我们来讨论一下标准维纳过程的性质。
标准维纳过程具有许多重要的性质，比如无记忆性、马尔可夫性和高斯性。
其中，无记忆性是指在任意时刻t，W(t) W(s)的分布与W(s) W(r)的分布相同，只与时间间隔t-s有关，而与起始时间r 无关。
马尔可夫性是指在给定过去的情况下，未来的行为与过去的行为是独立的。
高斯性则是指W(t) W(s)的分布是正态分布，这使得标准维纳过程在数学推导和实际应用中都有着很大的便利性。
最后，我们来谈一谈标准维纳过程的应用。
标准维纳过程在金融领域、物理领域和工程领域都有着广泛的应用。
在金融领域，股票价格的波动往往可以用标准维纳过程来描述，这对于风险管理和期权定价有着重要的意义。
在物理领域，扩散现象和布朗运动都可以用标准维纳过程来描述，这对于研究微观粒子的运动规律有着重要的意义。
在工程领域，标准维纳过程可以用来描述噪声的特性，这对于通信系统和控制系统的设计和优化有着重要的意义。
综上所述，标准维纳过程是一种重要的随机过程，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
通过对标准维纳过程的深入研究和应用，我们可以更好地理解自然现象和人类活动中的随机现象，为科学研究和工程实践提供重要的理论基础和实用价值。
维纳过程
1 2 t1
e
u2 2t 1
du
RX (t 1 , t 2 ) E[ X (t 1 )X (t 2 )] E[ X 2(t )] t
② 、当t1>t2,并将X(t1)写成：
X (t 1 ) X (t 2 ) X (t 1 ) X (t 2 ), R X (t 1 , t 2 ) E[ X (t 1 )X (t 2 )] E[( X (t 2 ) X (t 1 ) X (t 2 ))X (t 2 )] E[ X 2(t 2 )] E[( X (t 1 ) X (t 2 ))( X (t 2 ) X (t 0 ))] E[ X 2(t 2 )] t 2
二、维纳过程的定义
1. 如独立增量过程X(t)，其增量的概率分布服从 高斯分布， 即：
P { X(t 2 ) X(t 1) } 1 2 (t 2 t1
u2 2 ( t 2 t1 )
e2
则称X(t)为维纳过程。 2. 对于所有的样本函数几乎处处连续的齐次独立增量（或齐 次独立增量过程 X (t , ) ，几乎都有对所有的 在时间轴 上连续），称为维纳过程。
过程的增量服从高斯分布的证明
令 (t 2 t1 )/ n, t 2 t1 由于：
X (t 2 ) X (t 1 ) [ X (t 2 ) X (t 2 )] [ X (t 2 ) X (t 2 2 )] ... [ X (t 2 (n 1) ) X (t 1 )] Yi
f f b( x1 , t 1 ) f ( x1 , t 1 ) 0 2 x1 2 x1 t 1 f 1 2 [ ( x2 , t 2 ) f ] [b( x2 , t 2 ) f ] 0 2 t 2 x2 2 x2
随机过程中的维纳过程及其应用
随机过程中的维纳过程及其应用随机过程是指在一定时间内，由于涉及到不确定性因素，而存在着随机变化的现象。
维纳过程是随机过程中的一种，它是由维纳-伊钦霍金方程推导而来的，能够描述一些随机现象，如分子热运动、股票价格随机波动等。
本文将介绍维纳过程及其应用。
一、维纳过程的定义维纳过程是一种与时间有关的连续随机过程。
它由两个部分组成：马尔科夫过程和高斯白噪声。
其中，马尔科夫过程是一种随机过程，其状态在任一时刻只与前一时刻的状态有关；高斯白噪声则是一种均值为0、方差为1的高斯过程。
维纳过程有如下特征：1. 维纳过程的随机性：由于存在白噪声，每个时刻的变化是随机的。
2. 维纳过程的连续性：在任意两个时刻之间，维纳过程都是连续的。
3. 维纳过程的无界性：在任意的时间间隔内，维纳过程可能取到任意大的值。
4. 维纳过程的无可导性：由于存在白噪声，维纳过程在任意一点处不可导。
二、维纳过程的应用1. 金融学中的应用维纳过程在金融学中具有广泛的应用。
以股票价格为例，其价格波动往往呈现出一定的规律性，但也存在大量的随机波动。
维纳过程能够很好地描述这种随机波动的特征。
另外，维纳过程在期权定价模型中也有应用。
期权的价格往往会受到很多因素的影响，如股票价格、利率、波动率等。
通过对这些因素进行建模，能够更准确地计算期权的价格。
2. 物理学中的应用维纳过程在物理学中也有各种应用，如分子扩散、布朗运动等。
分子的运动轨迹通常是随机的，维纳过程能够很好地描述这种随机运动的特征。
布朗运动是一种与温度、粘滞系数有关的粒子的运动，也可以通过维纳过程进行建模。
3. 工程学中的应用在工程学中，维纳过程可以应用于可靠性分析、控制系统设计等领域。
对于一些复杂的工程系统，其随机变化往往很难预测，这时就需要使用维纳过程进行建模，从而更好地掌握系统的特征。
三、维纳过程及其应用存在的问题1. 遇到很多现象时，维纳过程难以进行建模。
如一些反复出现的周期性现象、有限时间存在的随机现象等。
维纳过程及其应用
目 录摘要 ..................................................... 0 1. 引言 ....................................................................................................................... 2 2.维纳过程 . (2)2.1独立增量过程 (2)2.2 维纳过程的定义 ...................................................... 3 2.3维纳过程的特点....................................................... 3 2.4维纳过程的性质....................................................... 4 2.5维纳过程在区间],[s t 上加权线性组合 (5)3.维纳过程的应用 (6)3.1股票价格的行为模式 ................................................... 6 3.2维纳过程下四种死力假设的增额寿险精算模型 . (10)4. 结束语................................................................................................................. 15 参考文献 . (16)维纳过程及其应用薛翔南京信息工程大学摘要：本文叙述了维纳过程的基本定义和概念，并介绍了维纳过程的特点和性质以及与维纳过程有关的在生活中的应用。
通过对股票价格的行为模式的理论分析，可以看出维纳过程作为随机过程中的一个具体模型在生活中是有重要意义的。
维纳过程
特点
特点
维纳过程又称布朗运动，它具有如下特点： ⑴过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。 ⑵维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化 的概率。 ⑶它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。 给定二阶矩过程{W(t),t>=0},如果它满足 1、具有独立增量 2、对任意的t>s>=0，增量 W(t)-W(s)~N(0,σ^2(t-s）），且s>0 3、W(0)=0 则称此过程为维纳过程.
性质
性质
基本性质 对任意的正实数，一维维纳过程在时刻是一个随机变量，它的概率密度函数是： 这是因为按照维纳过程的定义，当时，可以推出的分布： 它的数学期望是零： 它的方差是：t： 在维纳过程的独立增量定义中，令，，，那么和是相互独立的随机变量，并且 所以两个不同时刻与协方差和相关性函数相关系数是： ， 即时最值 维纳过程中的即时最大值与的联合概率分布是： 而即时最大值的分布是对的积分：
维纳过程
独立增量过程
01 基本信息
03 特点
目录
02 定义 04ห้องสมุดไป่ตู้性质
基本信息
维纳过程是一个重要的独立增量过程，也称作布朗运动过程。数学中，维纳过程是一种连续时间随机过程， 得名于诺伯特·维纳。由于与物理学中的布朗运动有密切关系，也常被称为“布朗运动过程”或简称为布朗运动。 维纳过程是莱维过程（指左极限右连续的平稳独立增量随机过程）中最有名的一类，在纯数学、应用数学、经济 学与物理学中都有重要应用。
维纳过程和物理学中的布朗运动有密切关系。布朗运动是指悬浮在液体中的花粉微小颗粒所进行的无休止随 机运动。维纳运动也可以描述由福克-普朗克方程和郎之万方程确定的其他随机运动。维纳过程构成了量子力学的 严谨路径积分表述的基础（根据费曼-卡茨公式，薛定谔方程的解可以用维纳过程表示）。金融数学中 ，维纳过 程可以用于描述期权定价模型如布莱克-斯科尔斯模型。
第12章 随机过程及其统计描述12.3 泊松过程及维纳过程
FTi ti1 (t ti1 ) 0, t 0.
T1
T2
Tk
O W1
W2
Wk1 Wk
因为T1 W1, 所以T1服从指数分布
et , t 0,
fT1 (t )
fW1
(t
)
0,
其他.
当i 2 时, 第i 1 个质点出现在时刻 ti1 的条 件下, Ti 的条件分布函数 FTi (t ti1 ti1 ) P{Ti t ti1 ti1 }
则质点流构成了一强度为 的泊松过程 .
定理的意义 定理刻画出了泊松过程的特征.要
确定一个计数过程是不是泊松过程, 只要用统计方
方法检验点间间距是否独立, 并且服从同一个指数
分布.
三、维纳过程的数学模型
1.布朗运动简介
布朗资料
英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,观察
漂浮在平静的液面上的微小粒子, 发现它们不断地 进行着杂乱无章的运动, 这种现象称为布朗运动.
相关函数
若 是时间t的函数 (t), t 0,则称泊松过
程是非齐次的.
3.与泊松过程有关的随机变量
(1)等待时间
设质点(或事件)依次重复出现的时刻 t1, t2 ,, tn ,
是强度为的泊松流 ,{N (t), t 0}为相应泊松过程.
记 W0 0, Wn tn , n 1,2, 则Wn是随机变量, 表示第n 个质点(或事件第n 次) 出现的等待时间.
(2) 对于充分小的t ,
《随机过程——计算与应用》课件维纳过程 1
补例1 设 W={Wt,t≥0}是标准布朗运动. 验证 W是一个正态过程.
证明
由定义，对任意的n≥1,及任意的 0 t1 t2 tn W t 1 , W t 2 W ,t 1 , W t n W t n 1 相互独立且
Wtk Wtk1服 从 正 态 分 布 N (0,tk -tk1)，
u e ) , k=2,
1 2
(uk
un )2 (t k t k 1 )
n
,n
例2.3.2 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
注 意 到 有 W t1 N(0,t1)
一 维 分 布 函 数 F (t1; x ) = P (W t1 ≤ x )
二维分布函数为
1
2t1
e dx x
- x2 2t1
0
1
所以 ( W t 1 ,W t 2 , ,W t n ) 是n维正态变量. 所以W是正态过程.
证2. 提示 计算向量(Wt1 , ,Wtn )的联合概率密度函数
记 Ytk =Wtk -Wtk -1 ,k = 1,2, ,n
由增量独立性知，向量(Yt1 ,Yt2， ,Ytn )的 联合概率密度函数为
-
F(t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P(W t1 ≤ x 1, Wt2 ≤ x 2 )
令 W ,t 1
= P ( W t 1 ≤ x 1 , W t 1 ( W t 2 W t 1 ) ≤ x 2 )
W t 2 W t 1 , 则 服 从 N ( 0 , t 1 ) 分 布 ， 服 从 N ( 0 , t 2 t 1 ) 分 布
-
2 (t s )
x2
记
F2n =
+ x 2ne 2(t s )dx
随机过程在金融中和应用金融市场中和维纳过程及小事件概率55页PPT
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随机过程在金融中和应用金 融市场中和维纳过程及小事
件概率
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28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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所以
（ W t 1 , W t 2 W t 1 , , W t n W ） t n 1 是n维正态变量.
又由于 (W t 1 ,W t2 ,
,W t n ) (W t 1 ,W t2 W t1 ,
1 1 1
0 1 1
1
0
= 0 1
0
y n
wn 0 0
1
J 1
则向量(Wt1 ,L ,Wtn )的联合概率密度函数为 f(w1,L , wn ) ft1 ,t2 t1 ,L ,tn tn1 (y1,L , yn ) J
要将y k 换为w k -w k 1,k 1,2,L ,n
f(w1,L , wn ) ft1 ,t2 t1 ,L ,tn tn1 (y1,L , yn ) J 将yk 换为w k -w k 1
j(u2 u3 un )Y2
E [ e junYn ]
Y1 (u1 u2 un )Y2 (u2 u3 un ) Yn (un )
证毕
例2.3.5(1) 计算标准布朗运动的有限维特征函数
提示：利用过程的独立增量性
解 对任意n 1及0 t1 L tn , n维随机变量的
E [ e ] t1,t2,...,tn (u1,u2 ,..., un )
j (u1X t1 un X tn )
①
令 Y1 Xt1 ,Y2 Xt2 Xt1 ,L ,Yn Xtn Xt n1
由题意知 Y1,Y2,…,Yn独立
则 Xt1 Y1,
Xt2 Y1 Y2 ,
L,
Xtn Y1 Y2 L Yn
代入①式
t1,t2 ,...,tn (u1, u2 ,..., un ) E [ e j ( u 1X t1 ] u n X Байду номын сангаас n )
E [ e ] j ( ( u 1 u 2 u n ) Y1 ( u 2 u 3 u n ) Y 2 u n Y n )
E [ e ] E [ e ] j ( u 1 u 2 u n ) Y1
x2
y
t
2
t 1
(
z
)dz
t
1
(
y
)dy
其中t1 ( y )为N(0,t1 )分布的密度函数， t2 t1 (z )为N(0,t2 -t1 )分布的密度函数。
补例1 设 W={Wt,t≥0}是标准布朗运动. 验证 W是一个正态过程.
证明 由定义，对任意的n≥1,及任意的 0 t1 t2 tn W t 1 , W t 2 W t 1 , , W t n W t n 1 相互独立且
(Wt1 ,Wt2 ,L ,Wtn ) 的特征函数为
t1,t2 ,...,tn (u1, u2 ,..., un ) E [e j(Wt1u1 ] Wtnun )
令 Y1 Wt1 ,Y2 Wt2 Wt1 ,L ,Yn Wtn Wtn1
(u , u , ..., u ) t1 ,t2 ,...,tn 1 2
n Y1 (u1 L un )Y2 (u2 L un ) L Yn (un )
注意到有
Y1 (u1 L
u ) e 21(u1 L un )2t1 n
Yk (uk L
u ) e ,
1 2
(uk
L
un
)2 (t k
t k 1 )
n
k=2,L ,n
例2.3.2 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
(1) W0 0
(2) 对任意0 s t,Wt Ws ~ N (0,t s)
(3) W 具有独立增量性．
问题：计算布朗运动的有限维分布？
结论： 独立增量过程的有限维分布函数由其一维分 布函数和增量分布函数确定．
证明 对n 1及t1 t2 tn T , n维随机变量的
( Xt1 , Xt2 ,L , Xtn ) 的特征函数为
注 意 到 有 W t1 N(0,t1)
一 维 分 布 函 数 F (t1; x ) = P (W t1 ≤ x )
二维分布函数为
1
2t1
e dx x
- x2 2t1
-
F(t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P(W t1 ≤ x 1, Wt2 ≤ x 2 )
令 W ,t 1
= P ( W t 1 ≤ x 1 , W t 1 ( W t 2 W t 1 ) ≤ x 2 )
W t2 W t1 ,则 服 从 N ( 0 ,t 1 )分 布 ， 服 从 N ( 0 ,t 2 t 1 )分 布
所 以 F (t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P ( ≤ x 1, ≤ x 2 )
x1
P(
≤
x
2
-y
,
dy
)
x1
P(
≤
x
2
-y
)P（
dy
)
x1
主要内容
➢ 布朗运动及其定义 ➢ 布朗运动的一些性质 ➢ 与布朗运动的相关的随机过程 本章作业：1、2、3、6、8
布朗运动
Brown 1827 年
Einstein 1905
Wiener 1918年以后
自然现象 物理解释
数学定义
布朗运动及其推广在经济、工程、管理及数理统计等领 域有广泛应用。
定义2.2.7 称实随机过程W={Wt，t≥0}是标准布朗运动, 如果
,W
tn W
) t n 1
0
0
1
0
0
1
所以 ( W t 1 ,W t 2 , ,W t n ) 是n维正态变量. 所以W是正态过程.
证2. 提示 计算向量(Wt1 ,L ,Wtn )的联合概率密度函数
记 Ytk =Wtk -Wtk -1 ,k = 1,2,L ,n
由增量独立性知，向量(Yt1 ,Yt2，L ,Ytn )的 联合概率密度函数为
n
1
(wk wk1 )2
e 2(tk tk1 )
k 1 2 tk tk 1
n (2 )2
1
1 n (wk wk1 )2
e 2 k1 (tk tk1 )
n
(tk tk1)
k 1
为n维正态随机变量的联合概率密度函数.
n
f (y ,L t1,t2 t1,L ,tn tn1 1 , yn ) k 1
2
1
yk2
e 2(tk tk1 )
tk tk 1
因Wk Y1 L Yk y k =w k -w k 1, k = 1,L ,n
y 1
w1
则雅可比矩阵J=
y n
w1
y 1 1 0
0
wn
1