杆系结构单元.

(上下弦杆）
(竖杆）
4.2 单元（局部）坐标系 杆系结构单元在结构中的位置是复杂的。如图
（4-1）桁架所示。
Y
○
X
○○
○
P
○ 图（4-1）
如果每一个单元都在统一的整体坐标系XY中写 单元刚度矩阵。可能导致结构中处于不同位置的同 一类型单元，其单元刚度矩阵不相同。这不利于计 算机编程运算。
容易理解，采用适合于单元具体方位的坐标系将 会改善上述状况，得出规格化的结果。这种属于每个 单元的坐标系称为单元坐标系，也称局部坐标系。
5, 6, 13,14,
7, 8, 14,15,
8, 9, 16,17,
10,11,
17,1813
(5)
(4）NRJ 、KRJ(NRJ)、（KRL(NDF,NRJ)）
3， 1,2,3,
(4) 10
9*1 (5) A(NE)、ZI(NE)
7 (3)
(24) (22) (20) (18)
(6) X(NJ)、Y(NJ)
(2) (7) qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) 4
(16)
(8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,M1JL()1)
X
数据填写顺序应和程序对应。
6.0m
4、示例
17 14 (10) 11 (9)
(8) 8
q=10kN/m
(25) 18
(23)
(15)3.0m 15
(21) 12(14)3.0m
（5）单元截面面积（A）、截面惯性矩（ZI） （6）节点坐标：X(NJ)、Y(NJ) （7）分布力荷载集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) （8） 受集中力作用的节点数（MJL）、受集中力作 用的节点号（NJL（MJL））、集中力数值（VJL（NDF， MJL））。
DATA.FRA
(1) NE、NJ、NDF
(19)
(13) 9
3.0m
5 (7) (17)0m
(11)4.0m 3
练习 对平面铰接桁架进行结构离散，并作出数据文件。
P1
P2
P3
○ ○
3m
○
○
○○
○
4×4m
已知：E=2.1×109kN/m2
P1=P3=10kN, 15cm2
A = 65cm2 40cm2
P2=50kN, (斜杆）
将式（4-5）、（4-6）代入上式，得
上式也可写为
1[1 1]{ }e
l [B]{ }e
式中[B]为应变矩阵
1 [B] [Bi Bj ] l [1 1]
（3）应力矩阵
由应力应变关系
E
将式（4-7）代入上式，得
（4-7） （4-8）
xi )
uj
ui l
x
（4-4）
② 形函数 将式（4-4）改写为下列形式
u [N ]{ }e
（4-5）
式中e由式（4-1）确定，形函数[N]为
[N] [Ni
N
j
]

1 l [(xj

x)
(xi x)]
（4-6）
（2）应变矩阵
一维铰接杆单元仅有轴向应变
du
dx
杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类 型。它们都只有2个节点i、j。
约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的 杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y轴、 z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则（图4-2）
y
i· z
·x
j
（图4-2）
单元的2个节点中取任何一个作为i均可，只要 指定好i节点和j节点， x轴的正向就确定了。
对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个 惯性主轴。
为了便于对单元坐标系中的单元特性进行识别， 引入以下符号：
e——单元坐标单元位移 Fe——单元坐标单元力 [k]e——单元坐标单元刚度矩阵 下面，开始讨论几种杆系结构单元在单元坐标 中的一些特性。
4.3 铰接杆单元
1、一维铰接杆单元
○
○
○○
○
○
○
梁
○
○
拱
框架
桁架
○
○
○○
○
图（4-1）
4.1 结构离散 1、离散方法 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支
承的交点为节点。 相邻两节点间的杆件段是单元。 杆件结构的单元一般只有2个节点。 2、编号 （1）节点编号 节点编号应按正整数不间断逐点编号。编号时
应力求单元两端点号差最小，以便使结构刚度矩阵 元素集中在主对角线附近，后面结构刚度矩阵组集 中有详细说明。
25, 18, 3
(2）E、AMU
3.25e7, 0.15
(3）IO（NE）、JO（NE）
Y
1, 4, 4, 7, 7, 10, 10,13, 13,16,
2, 5, 5, 8, 8, 11, 11,14, 14,17,16
3, 6, 6, 9, 9, 12, 12,15, 15,18,
4, 5, 11, 12,
（2）单元编号 单元也要逐个依次编号。谁前谁后按实际情况 而定。
3、记录基本信息
应建立一个数据文件（DATA.***）基本信息来记录 基本信息，以便计算时调用。基本信息包括：
（1）单元总数（NE）、节点总数（NJ）、节点自由 度数（NDF）。
（2）弹性模量（E）、波桑系数（AMU）。 （3）单元I端节点号IO（NE）、 J端节点号JO（NE） （4）有约束的节点数（ NRJ ）、有约束的节点号 （KRJ(NRJ)）、受约束的自由度（KRL(NDF,NRJ)）。
第四章 杆系结构单元
杆系结构是由一些杆件单元组成。主要结构类 型有：梁、拱、框架、桁架等，如图（4-1）所示。
本章主要内容是：
• 结构离散为单元的有关问题 • 单元（局部）坐标系和结构（整体）坐标系 • 单元坐标系中各类杆件单元的特性：单元刚度 矩阵、等价节点力矩阵等。 • 结构坐标系中的单元特性及坐标变换矩阵。
（4-1） （4-2）
因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度， 因此单元的位移模式可设为：
u a1 a2 x
（4-3）
式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件确定
x=xi时， u=ui
x=xj时， u=uj
由此可确定a1、a2 。再将其代入式（4-3），得
u

(ui

uj
ui l
图4-3示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，
长度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为qx。单元有 2个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。
qx
i ·ui
·j uj x
l
图4-3
单元结点位移向量为：
{
}e

ui u j

单元力向量为：
{F}e

Fi Fj

（1）位移模式和形函数 ① 位移模式