自动控制原理-5-2频域性能指标

对数频率稳定判据：Z = P 2R为0时，系统稳定，
否则不稳定。
23
例5-14 一反馈控制系统其开环传递函数
G(s)H(s)

K s2(Ts 1)
(T 0)
用对数频率稳定判据判断系统稳定性。
解： 绘制系统的开环对数频率特性曲线：
L()/dB
40dB/dec
1/T 60dB/dec
30
Im
A(x)
-1 c
0 Re
h 的含义：若闭环稳定系统 的开环幅频特性增大h 倍 （上移h(dB)），则系统将 处于临界稳定状态。
的含义：若闭环稳定系统
的开环相频特性滞后（减小）
（逆时针为正，顺时针为负），则系统在s 右半平面的闭
环极点数为Z，且有
Z=PR 若 Z = 0，闭环系统稳定，否则不稳定。
应用奈氏判据的几种常见情况：
(1) 开环系统稳定，开环奈氏曲线不包围( 1，j0)点时，则闭环 系统稳定 (即P = R = 0)。 (2) 当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线逆时针包围 (1，j0)点 P圈时，闭环系统稳定 (即P = R > 0)。 (3) 若开环奈氏曲线穿过( 1，j0)点，闭环系统可能临界稳定。
9
例5-11 一单位反馈系统，其开环传函
Gk
(
s)

K Ts
1
试用奈氏判据判断系统的稳定性。
解：已知 P = 1
频率特性
Gk ( j )
K
jT 1
KT
j 1 / T
注意：P > 0为非 最小相位系统， 不可直接使用公 式，可直接代入
值求起点/终点
当 = 0，Gk (j0) = K180
R > 0表示逆时针，R < 0表示顺时针。
R = 0说明F不包围原点（或圈数抵消）。 +
0

s
s平面 映射 F(s)平面F
正虚轴 j (:0)
F(j) ( : 0)
负虚轴 j (: 0)
F(j) ( : 0)
半径的半圆
( 1, j0)点
5
由于F(s)=1+G(s)H(s), 可将曲线F向左平移一个单位长度 得到奈氏曲线GH。F包围原点相当于GH包围(-1，j0)。
GH
F
1
0
故实际只需考虑奈氏曲线GH： G(j) (: 0) ，即开环极坐标图；
G(j) (: 0) , 为开环极坐标图关于轴的镜像；
F(s)平面的(1, j0)点，平移后即坐标原点。
6
奈氏判据：若系统在s 右半平面的开环极点数为P，开环 奈氏曲线（: 0 ）包围(1，j0)点的圈数为R

i 1
j1
由于除了z1 对应的一项为-2π，其余各项均为0，可得
F (s) 2
即F(s)沿曲线F顺Байду номын сангаас针方向绕原点一圈。
同理，若s围绕某个极点移动，则F逆时针绕原点一圈。 若同时包围了多个零点和极点，则圈数互相抵消。
4
幅角原理：如果封闭曲线包围F(s)的Z个零点和 P个极点， 则绕s原沿点转顺过时的针圈方数向为转R一=圈P时，Z。F(s)平面上j的闭合曲线F
例5-12 已知系统的开环传函为
Gk (s)

s(T1s
K 1)(T2s 1)
用奈氏判据判断稳定性。
解：1）从开环传递函数易知 P = 0。
2）作开环极坐标图：
起点：Gk (j0) = 90
终点：Gk (j) = 0270 与实轴交点：
Gk (
j )

K
(1 (T1 )2 )(1
当 ，Gk (j) = 090
Im
K
=0

0

Re
10
=0 K
Im
1

0
Re
当 K < 1时 ， K > 1 ，R = 1
Z=PR=0 ∴闭环系统稳定。
当K > 1 ， K < 1 ，R = 0 ，Z = P R = 1 闭环系统不稳定。
11
（2）虚轴上有极点的系统
（1）幅值裕度h ：穿越频率（相角穿越频率）x 对应
的幅值A(x)的倒数，即
也可用对数值表示：
h
1
A( x )
h(dB) = 20lgh = 20lg A(x)
（2）相角裕度 ：截止频率（幅值穿越频率）c 对应的 相角(c)与 180线的距离，即
= 180 + (c)
(2)对0极坐标图，观察Gk (j)+1的相角的变化量。 18
例5-13 已知系统的开环传函为
Gk (s)

K (0.1s 1) s(s 1)
j
用奈氏判据判断稳定性。
解：（1）从开环传递函数知
P=1
（2）作开环极坐标图
-10

01
起点： Gk(j0) = 270 () (0.1 j 1) j ( j 1)
P=0
闭环系统不稳定。
22
L()/dB ()/(°)
伯德图上的穿越次数：

(，1)区间:
对应L()>0的频率范围;
穿越实轴：
对应()曲线穿越
0
1802k 线，其中负穿
越为相频往负方向移动
(+) -180 ()
（减小），正穿越为相频 往正方向移动（增大）。
同样有 R = N N
40dB/dec
（T1 >T2）
1/T1 c

1/T2
20dB/dec
()/(°)
0
90
180
x
270
27
(1) 当x < c 时，即A(x) > 1，N = 1，N =1/2
R = N N = 1/2 Z = P 2R = 0
此时系统稳定。
(2) 当x > c 时，即A(x) < 1，N = 0，N =1/2
u A(s)的阶次一般大于B(s)，F(s)零点和极点数相同
u F(s)和开环传递函数G(s)H(s)只相差常数1
2
j A
0

z1

Im
F(A)
F(s) F
Re 0
3
考虑此时F(s)相角的变化量：
m
n
F (s) F (s)ds s zi s p j
闭环系统稳定；否则R = 1/2，Z = 2，系统不稳定。 20
Im
R=11=0
() 1
(+)
0
圈数R的计算方法:
(3) 增大时,将幅相曲线
Re 自下向上(负穿越)和自上 向下(正穿越)穿越实轴区 间(，1)的次数分别记 为N 和N，则有
R = N N
开始或终止于实轴区间（，1）的穿越记为半 次穿越（N 或 N= 1/2），方向定义不变。
R = N N = 1/2 Z = P 2R = 2
此时系统不稳定。
28
5.5 稳定裕度
根据奈氏判据，系统开环幅相曲线在临界点(-1,0)附近的
形状，对闭环稳定性影响很大。
Im
Im
Im
-1
Re 0
-1
Re 0
-1
Re 0
越接近临界点，相对稳定性越差。
29
稳定裕度：定量表示系统稳定程度的开环频域指标。
为P，则根据公式
Z = P 2R 即可确定在s右半平面上的闭环极点个数。若Z = 0，闭环 系统稳定，否则不稳定。
如果开环传递函数包含N个积分环节，则应从 =0+
对应的点开始，补作一个半径为 ，逆时针方向旋转 N90的大圆弧增补线(即0-到0+完整增补线的一半)，再 使用奈氏判据。
16
重做例5-10 判断系统稳定性。
()/(°)
0

180 270
24
系统积分环节数N =2，故增补线从180向上延伸至0：
易见 N = 0，N = 1 R = N N = 1
且 P = 0，故
Z = P 2R = 2 系统不稳定。
()/(°)
0
180 270
增补线
25
例5-15 一反馈控制系统其开环传递函数
1
R(s)
+﹣
C(s) G(s)
H(s)
Gk (s)

G(s)H(s)

B(s) A( s )
则辅助函数F(s)定义为
F (s) 1 G(s)H (s) F(s)具有如下特征：
A(s) B(s) A( s )
n
(s zi )
i 1 n
(s pj)
j 1
u F(s)的零点和极点分别是系统闭环和开环极点
21
再次重做例5-10 判断系统稳定性。
Im

0
Re （1）P = 0
=0
N = N = 0
P=0
R = N N= 0 闭环系统稳定。
()
1
Im

0
Re
=0
（2） P = 0 N = 0，N = 1/2 R N N = 1/2
Z P 2R 1
7
例5-10 判断系统稳定性。 解：由图知 （1）P = 0 且 R = 0 闭环系统稳定。
Im
Im

0
Re
=0
P=0

1 0
Re
=0
（2） P = 0 ，R 2
ZPR20 闭环系统不稳定。
P=0 8
Im
1

0
=0
Re
P=0
（3） P = 0 ，R +11 = 0 闭环系统稳定。
5.4 频域稳定判据
频域稳定判据的定义： 根据开环频率特性曲线判定闭环系统稳定性的准则。
常用判据： u 奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据) u 对数频率稳定判据
频域稳定判据的优点： u 用实验法获得频率特性曲线即可使用判据 u 稍加推广后可用于某些非线性系统 u 可研究系统参数和结构改变对稳定性的影响
Im

0
解：由图知 = 0 Re （1）P = 0, R = 0
闭环系统稳定。
P=0
Im

1 0
Re
=0
（2） P = 0, R 1
Z P 2R 2 闭环系统不稳定。
P=0
17
Im
1 = 0 Re
0
P=0
（3） P = 0, R 0 闭环系统稳定。 圈数R的计算方法: (1)对完整极坐标图，直接观察；
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，x =(1/T1T2)1/2 ，A(x)=KT2
③ 判断稳定性。 G(s)H(s)的积分环节数N =1 ，故补
画了270到180的增补线。
26
L()/dB
20dB/dec
G(s)H (s) K (T2s 1) s(T1s 1)
G(s)H (s) K (T2s 1) s(T1s 1)
（T1>T2）
用对数频率稳定判据判断系统稳定性。
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 绘制系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )

270

arctan
e jN
这是一个半径为无穷大，从Gk (j0-)到Gk(j0+)顺时针旋转
N • 180°的大圆弧，称为增补线。
12
Gk (s)
K s
G0 ( s)
Im
=0j
0
+
s

0
Re
=0+
增补线
对虚轴上有其他极点的系统，同理可作出增补线。 将增补线作为奈氏曲线的一部分即可使用奈氏判据。 13
(T2 )2 ) [(T1
T2 )
j 1 2T1T2 ]
令虚部=0，得

2 x

1 T1T2
代入得
Re(
x
)


KT1T2 T1 T2
14
系统的开环极坐标图如右图：
若 KT1T2 1
T1 T2
=0-
R=2 Z=PR=2
KT1T2
T1 T2
1
终点： Gk(j) = 090 arctan 0.1 90 ( arctan )
与坐标轴交点： x =101/2
Re(x) = 0.1K
开环极坐标图见下页。
19
Gk (s)

K(0.1s 1) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1K

0
Re
(3) 稳定性判别: I型系统，需作增补线如图。 当 0.1K < 1即K > 10时， R =1/2，Z = P 2R = 0
∴ 闭环系统不稳定。
若

KT1T2 T1 T2
>
1
R=0
Z=PR=0
=0+
∴ 闭环系统稳定。
Im

0
Re
增补线
15
(3) 奈氏判据的实用形式
由于极坐标图的对称性，实际只需绘制从 0的
开环极坐标图。若其包围(-1，j0)的圈数为R（逆时针为 正，顺时针为负），系统在s右半平面上的开环极点个数
先考虑极点在原点的情况：
Gk (s)

K sN
G0 ( s)
其中G0 (s) 为0型系统。
封闭曲线不应通过任何零、极点。
为此，可用一半径无穷小的半圆，
在右侧绕过原点。
j
0+
0 0
e j

半圆轨迹：s e j ( 0 90 90)
映射轨迹：Gk (s)

K
N