第3章 连续时间信号与系统的频域分析第三次(1)

两种表达式中系数的相互推算
e jk0t cos k0t j sin k0t
x(t) ak (cos k0t j sin k0t) k
1
a0 ak (cos k0t j sin k0t) ak (cos k0t j sin k0t)
k
k 1
a0 ak (cos k0t j sin k0t) ak (cos k0t j sin k0t)
e st
h(t)
y(t) z n h[n] y[n]
由时域分析方法有，
y(t) es(t )h( )d est h( )es d H (s)est
y[n]
z (nk )h[k ] z n h[k ]z k H ( z ) z n
k
k
可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。
3.2.1 连续时间傅里叶级数
如果某一连续时间信号x(t) 是周期的，则存在着一个非零 的正实数，对任何t都满足 x(t) x(t T)。式中T的最小值T0 称为该信号的基波周期，0 2 / T0 称为该信号的基波频率。
成谐波关系的复指数信号的集合为
k (t) e jk0t , k 0, 1, 2,...
T0 是k (t) 中每个信号的周期，它们的基波频率都是的0整数倍。
对应的三角函数形式的谐波信号集： k (t) {cosk0t,sin k0t}, k 0, 1, 2,...
3.2.1 连续时间傅里叶级数
一个基波频率为
的周期信号
0
x(t )，可以表示成与其成谐波关
系的复指数信号的线性组合，即
“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
§3.0 引言 §3.1 连续时间LTI系统的特征函数 §3.2 连续时间傅里叶级数 §3.3 连续时间傅里叶变换 §3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 §3.5 连续时间傅里叶变换的性质 §3.6 连续时间LTI系统的频域分析
3.1 连续时间LTI系统的特征函数
复指数信号 e jt可作为基本信号用来表示一般的输入信号。
- 能够表示相当广泛的一类有用信号，特别是实际应用中常 碰到的一些信号 ?
- 对这些基本信号的响应十分简单，以便使系统的响应有 一个简单的数学表示形式(LTI系统特征函数）。
例3.1
【例3.1】令某一个LTI系统h(t)的输入信号 x(t)是三个复指
数信号的线性组合
求其输出 y(t)。
x(t) a1es1t a2es2t a3es3t
解：根据LTI系统特征函数的性质，有
a1es1t a1H (s1)es1t
a2e s2t a2 H (s2 )e s2t a3e s3t a3 H (s3 )e s3t 由叠加性原理，有
y(t) a1H (s1 )e s1t a2 H (s2 )e s2t a3 H (s3 )e s3t
§3.0 引言 §3.1 连续时间LTI系统的特征函数 §3.2 连续时间傅里叶级数 §3.3 连续时间傅里叶变换 §3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 §3.5 连续时间傅里叶变换的性质 §3.6 连续时间LTI系统的频域分析
3.1 连续时间LTI系统的特征函数
考查LTI系统对复指数信号 e st和 zn 的响应
历史的回顾 （A Historical Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
数。H(s)、H(z)分别是LTI系统与复指数信号相对
应的特征值。
H (s) h(t)estdt
H (z) h[n]zn k
只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征
函数。
对时域的任何一个信号x(t)或者 x[n,]若能将其表
示为下列形式： x(t) a1es1t a2es2t a3es3t
提供了一种非常方便的信号和LTI系统的分析方法：傅里叶 分析或频域分析法 。
3.0 引言
时域分析方法的基础：
1) 信号在时域的分解。 2) LTI系统满足线性、时不变性。
从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求： 1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
Байду номын сангаас
x(t) akk (t) k
其中 ak 称为傅里叶级数系数。
傅里叶级数的复指数形式为
x(t)
ak e jk0t
k
三角函数形式为 x(t) (Bk cos k0t Ck sin k0t) k 0
B0 (Bk cos k0t Ck sin k0t) k 1
3.2.1 连续时间傅里叶级数
这说明e st和z n符合对单元信号的第一项要求。
特征函数 (Eigenfunction) 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以 一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系 统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应 的特征值。
结论：
复指数函数 e st 、z n 是一切LTI系统的特征函
傅里叶生平
1768—1830
1768年生于法国
1807年提出“任何 周期信号都可以用正 弦函数的级数来表示”
拉格朗日反对发表
1822年首次发表 “热的分析理论”
1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件
傅里叶的两个最重要的贡献——
“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
第三章 连续时间信号与系统的频域分析
§3.0 引言 §3.1 连续时间LTI系统的特征函数 §3.2 连续时间傅里叶级数 §3.3 连续时间傅里叶变换 §3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换 §3.5 连续时间傅里叶变换的性质 §3.6 连续时间LTI系统的频域分析
3.0 引言
复指数信号作为一类基本信号来表示一般任意信号，建立 变换域分析法 。