人教版高中数学-对一道高考试题的再研究

对一道高考试题的再探究

2005年全国高考试卷（I 卷）中曾经出现了这样的一道题目：ABC ∆的外接圆为O ，两条边上高的交点H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数=m .

初次接触到此题时，首先想到的是将问题特殊化，当ABC ∆为C ∠为直角的直角三角形时，则O 为AB 的中点，不难得到H 与点C 重合，OB OA -=，从而

OC m OC OB OA m OH OC =++==)(，所以m 的值为1.

时隔两年，再度回首，仔细把玩，总有意犹未尽的感觉.经再三思考，得如下解法五种，现一一列出，敬请各位同仁斧正.

【解法一】由已知,有向量等式0=⋅BC AH ,将其中的向量分解,向已知等式形式靠拢,有:

0)()(=-⋅-OB OC OA OH ○

1 将已知)(OC OB OA m OH ++=代入○1式,得

0)(])([=-⋅-++OB OC OA OC OB OA m 即0)1()(2

2=⋅-+-BC OA m OB OC m

由于O 是ABC ∆的外心,得0)1(=⋅-BC OA m ,且ABC ∆是任意的三角形,则BC OA ⋅不恒为0,故只有.1=m

【解法二】 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图.

连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .

∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥，∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，

∴四边形AHCD 为平行四边形，∴OC DO DC AH +==， 故OC OB OA AH OA OH ++=+=.从而.1=m

【解法三】过点O 作BC OM ⊥于M,则M 是BC 的中点,有)(2

1

OC OB OM +=;H 是垂心,则BC AH ⊥,故AH 与OM 共线,可设AH =OM k ,则

+

=+=OA AH OA OH 2

k

)(OC OB + 又)(OC OB OA m OH ++=,

故可得)2

()1(k

m OA m -+-)(OC OB +=0

即0)2()1(

=-+-OM k m OA m

而OA 与OM 不恒共线,

A

O

H

B

C

M

故有022=-=-k m m ,得.1=m

其实本题的结论是关于三角形的欧拉定理,即:设O 、G 、H 是ABC ∆的外心、重心和垂心，则O 、G 、H 三点共线，且OG ：GH=1：2.为此只需要证明三角形的欧拉定理即可. 【解法四】如图所示，设G 为ABC ∆的重心，由题意可知O 、H 分别为ABC ∆的外心和垂心.设BC 边上的高为1AH ，AB 边上的高为2CH ，过点O 作

BC OO ⊥1于1O ，AB OO ⊥2于2O ，连接21O O ，则有

AC O O 2

1

//

21，从而21121==AG G O AC O O ，所以.//11AH OO

∴

HAC O OO AH

OO AC O O ∠=∠=211

21, O

O O 21∆∴～

ACH

∆，于是可得：

,1221HH H AHC OO O ∠=∠=∠且由H 为垂心可得：

211==GA G O GH OG .利用向量表示就是.3OG OH =而=OG 3

1)(++，从而即可得.1=m （本题中Ｏ、Ｇ、Ｈ三点共线，即为欧拉线）.

本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证 【解法五】以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，

建立如图所示的直角坐标系.设A (0,0)、B （x 1,0）、 C (x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,22222

x x x y x y E F +D （

、、 由题设可设),(),,2(

4231y x H y x O ,122

(,33

x x y G + 212

243(,)(

,)222

x x y AH x y OF y ∴==--， 212(,)BC x x y =-

2212212442

()

()0x x x AH BC AH BC x x x y y y y -⊥∴•=-+=∴=-

212221222332()(

)()022222

x x y x x x y OF AC OF AC x y y y y -⊥∴•=-+-=∴=

+ 1

O 1

121221224323()(,),)22

x x x x x x y OH x y y --∴=-

-=--2（22y 2112212221232122122122122()(,),)32332

23()23()1 (

,)(,)632

1

=3

x x x y x x y x x x y OG y x x x x x y x x

x x x y OH

+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y 即=3OH OG ，故从而即可得.1=m

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心.则OH OG 3

1

=

证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(3

1

OC OB OA OG ++=

按垂心定理 OC OB OA OH ++=

由此可得 OH OG 3

1

=.

由以上五种解法，边想边写，杂乱无章，让各位同仁见笑了！另外，各位老师如有别的好的解法，敬请不吝赐教，谢谢！