平面运动第4次课纯滚动公式及应用 (1)

αOA
ωOA l
v E
此瞬时，vr=0，科氏加速度ac= 0。 将上式投影到与ar垂直的BD线上，得
aa a
滑块B的牵连切向加速度为
杆OA的角加速度为
a 2v OA 2 OB l
t e
2
2 2 v a et a B l （顺时针转向）
t e
两个要点
1、注意观察刚体运动形式
只要有平面运动就要用第八章知识
a R
t O
2、绳轮接触
ω
α
O
vO
aO
C
A
VA 0
O
C

VC 2 R
非纯滚动
VO R aO r
二、动接触（瞬心不在接触点） 1、两轮配合
1 1
B
2 2
对无滑动接触，在接触点处绳轮速度、切向加速度相等
VB1 1 R1 VB 2 2 R2
2、加速度分析，杆AB
a a aA a a
n B t B t BA
√ × √ × √
aB aA a a
t BA
n BA
n BA
大小
√ 方向 √ √ 点B以O1为圆心做圆周运动
A r
t aBA n a B B t C aB
√
n B 2 B
√
2
O1
v 2 2 a 8m / s R 0.5
二、瞬时平动的特点 判定方法：一杆上2点速度平行且不垂直于两点连线
结论： 刚体上各点速度相等，加速度一般不等
瞬时平动的特点是瞬时角速度为零 相对运动的法向加速度
a
n 为零 BA
瞬时平动是平面运动的特例，不是一种独立的运动形式
三、纯滚动 求解轨迹未知点的加速度
O1 B r
C
ao R
该公式实际上提供了一个 求解轮角加速度的方法
对杆BE
a
t BE
1. 求B点的速度。 点O为BE杆的速度瞬心
A
BE
D
vB
B
45

aB
n aBE
vB BE OB v
2. 求B点的加速度。
t n aB aE aBE aBE
v v OE l
l v
O E
n aE=0 aBE
2 2 v 2 BE BE l
4、纯滚动的特殊性要牢记
a R
t O
方向协调
5、瞬时平动各点速度相等、加速度不等，瞬时角速度等于0， 角加速度不为0.
普遍情况
VB VA VBA
aB aA a a
t BA
n BA
VBA AB
a
n BA
AB AB
2
a
t BA
AB AB
平面运动分解为随基点平动和绕基点转动是本章的基础 转动项总是可以用圆周运动公式计算，通常绝对项不行
O
v0

a0
vo R
C
ao R
如果O点速度为常数，轮角速度为常数，其角加速度为0. 平面运动刚体通常不能把瞬心作轴心求点的加速度，不 论切向还是法向，但对于一些特殊点，如纯滚动轮轮心 切向加速度可以把瞬心作为轴心来求，但法向不行
O
v0

a0
ao R
O1 A r B R C
ω
O
AB 和轮做平面运动
解：1、速度分析
AB杆瞬时平动，ωAB=0
vA vB R 2 1 2m / s
轮
O1
vA
A
B
P
vB
vC
C
轮B：瞬心在接触点
vA 轮 4rad / s r
逆时针
ω
O
vC 1 2r 2.828m / s
各刚体角速度
特殊情况
如果
vB vBC BC
方向垂直于BC
vC 0（C为瞬心）
vBC vB AB AB
C
vB
B
ω
n aO t aO
a R
t O
把瞬心当轴心计算，但瞬心均不是真实轨迹的曲率中心
第八章 关键知识
1、基本公式
VB VA VBA
aB aA a a
2 v 2R O R
C
aO
C
2 vo R
方向向上
对平面运动轮，加速度基本方法和杆一样是基点法，就多一个公式
例题：图示曲柄OA以恒角速度ω=2rad/s绕轴O转动，并 借助连杆AB驱动半径为r的轮子在半径为R的圆弧槽中做 无滑动的滚动。设OA=AB=R=2r=1m，求图示瞬时点B和 点C的速度和加速度。
n aA 2 AP
v1
ω
普遍性
特殊性
O
v0

a0
C
v A ACv 始终成立
ACv通常是变化的
vo 轮 R
R不变
dACv a ACv dt
t A
ao 轮 R
注意方向协调
点速度为常数，通常不能推出其角速度是常数
（O绕C转）
特殊性
VB VA VBA
aB aA a a
t BA
n BA
VBA AB
a
n BA
AB AB
2
a
t BA
AB AB
平面运动分解为随基点的平动和绕基点的转 动是本章的基础 转动项总是可以用圆周运动公式计算
P
vA
A
v2 vA AP
a tA AP
t BA
n BA
2、绕基点的圆周运动公式是本章的基础，注意不仅 有大小的关系还有方向的协调
VBA AB
a
n BA
AB AB
2
a
t BA
AB AB
注意其中角速度和角加速度对一根杆是常量
3、一个特殊点和两个特殊运动：
瞬心 瞬时平动，纯滚动
第七章 基本知识
一、基本公式 1、速度合成
a 1 R1 a
t B1
t B2
2 R2
2、绳轮接触
VA VB B R
B
B B
a a B R
t A t B
O
A
VO A R aO A R
有关加速度求解的几个问题
1、多刚体问题首先注意各刚体运动形式，应首先选择一个刚体 区别清楚各杆角速度和角加速度。 2、加速度基点法不可能出现科氏加速度 3、瞬心瞬时速度为零，但其加速度不为零，通常不能将瞬 心作为圆心来求各点绝对加速度
O
ω
x aC
t n t n aC aB aB aCB aCB
大小 × 方向 × √ √ √ √ √ √ √
√
轮系问题及公式应用
注意圆心、瞬心
一、静接触（瞬心为接触点）
1、(在固定表面上）纯滚动
ω
α
O
vO
aO
VO R
ω
C
n aO t aO
aO R
VO R
va vB , vr 0,
l
ve vB v
杆OA的角速度
ve v OA OB l
（逆时针转向）
3. 求杆OA的角加速度。 A ar B
45

aa a a ar ac
t e n e
aa
aet
D
aa aB
a
n e 2 OA
l O
aen
v2 OB l
O
v0
a0
C
解：
车轮作平面运动，其速度瞬心在与地面的接触点C。
ω α O vO aO
vO R
aO R
n
C
取中心O为基点，C点为动点
t n aC aO aCO aCO
O
O
t aCO
aO
a
aC
t CO
R aO
n aC aCO
n aCO
aBiblioteka Baidu
n CO
va ve vr
2、加速度合成 牵连运动为平动 牵连运动为定轴转动
aa ae ar
aa ae ar aC
§8-5 运动学综合应用举例
• 在一个刚体上选点是平面运动的特点 • 接触点存在相对运动是点的合成的特点
A D B
45
如图所示平面机构，滑块
r 4 0.5 8m / s
2 轮 2
2
a
2 B 2 CB 2
t CB
0
2
aC a a
8 8 11.31m / s
求夹角
2
一、关于角速度和角加速度
• 角速度和角加速度都是刚体的 • 无论做速度瞬心法、加速度基点法都 应先选刚体再选点 • 每一个角速度、角加速度应明确是哪 个刚体的，下标带刚体标识
n BA
a 0
n B
ω
O
aA
aB a 8m / s
轮B角加速度
a 0
t B
2
对轮B应用轮心切向加速度公式
各刚体角加速度
轮 0
3、在轮B上，以B为基点求C点加速度
O1
aC aB a a
n CB
t CB
aC
B
r
a
n CB
aB
C
aB a 8m / s
n B
2
a
ω
O
n CB
2、注意连接方式
接触点存在相对运动就要用第七章知识
如图所示平面机构， AB 长 C
为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽
滑动。摇杆OC以匀角速度 ω绕 O 轴转动 ， 滑块 B 以匀速 v=ωl 沿水平导轨滑动。图示瞬时 OC 铅直， AB 与水平线 OB 夹角 ω B
30

A
为 30o 。求此瞬时 AB 杆的角速 v 度及角加速度。
B可沿杆 OA滑动。杆BE与BD
分别与套筒 B铰接，BD杆可沿 水平导轨运动。滑块E以匀速v 沿铅直导轨向上运动 ，杆 BE
l v
O E
长为 2l 。图示瞬时杆OA铅直， 且与杆BE夹角为 。求该瞬 45 时杆 OA 的角速度与角加速度。
l
运动演示
AE杆做平面运动，B点在OA 杆上存在相对运动
解：
C
a
n O

a
t O
a R
t O
a R
n O 2
C 1、瞬心在C点 2、仅圆心切向加速度 3、瞬心当轴心
该公式直接使用，注意角加速度是轮的
例题
纯滚动加速度分析
的速度为v0 ，加速度为a0。设车轮与地面接触无相
对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。
车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O
沿BE方向投影上式，得
l
aB cos 45 a

n aBE 2v 2 aB cos 45 l
n BE
v e va
A v r B
45
D
2. 求OA杆的角速度。 利用点的复合运动方法求解杆
OA的角速度和角加速度。
动点－BE杆上B点。 动系－固连于OA杆。
l
ωOA
O
v
E
va ve vr