证明不等式的基本方法——比较法

第二讲证明不等式的基本方法

课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法

一．教学目标

（一）知识目标

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

（二）能力目标

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标

（1）激发学习的内在动机；

（2）养成良好的学习习惯。

二．教学的重难点及教学设计

（一）教学重点

不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的

（二）教学难点

借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途

（三）教学设计要点

1.情境设计

用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。

2.教学内容的处理

（1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。

（2）补充一组证明不等式的变式练习。

（3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。

3.教学方法

独立探究，合作交流与教师引导相结合。

三．教具准备

水杯、水、白糖、调羹、粉笔等

四．教学过程

(一)、新课学习：

1.作差比较法的依据：

a

b

a

>b

⇔

>

-

a

a

=b

b

-

⇔

=

a

a

b

⇔

-

<

作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）—得出结论2.作商比较法的原理和步骤：

,111a b R a a b b

a a

b b

a a

b b +

∈>⇔

>=⇔=<⇔<

作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数1的关系）—得出结论

(二)、典型例题： 例1、已知b a ,都是正数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+.

证明：采用差值比较法：

3322323222222()()

()()

()()

()()

()()

a b a b ab a a b b ab a a b b b a a b a b a b a b +-+=-+-=-+-=--=-+（因式分解）

223322,,0

()0,0

()()0

a b a b a b a b a b a b a b a b ab ≠>∴->+>∴-+>∴+>+ 假如没有已知b a ,都是正数这个条件，结论又该分几种情况进行讨论？ 例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++

证明：采用差值比较法：

2242)1()1(3x x x x ++-++

=3242422221333x x x x x x x ------++

=)1(234+--x x x

=)1()1(222++-x x x

=].4

3)21[()1(222++-x x （配方法） ,04

3)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]4

3)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++

若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？

...,,,()()()

,0;,,a akg bkg b

a m mkg

b m

a m a a

b m a b b m b

a m a m

b a b m b b b m a b b a a b m +++<>++--=++<∴->例3如果用白糖制出糖溶液，则糖的质量分数为若在上述溶液中再添加白糖，此时糖的质量分数增加到将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.

解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题：

已知都是正数，并且则下面给出证明.

将不等式两边相减，得通分又都是正数，所()0,()0()00()m b a b b m m b a a m a b b m b m b

a m a

b m b ->+>-+∴>->+++∴>+以即

例4、已知,,+∈R b a 求证：.a b b a b a b a ≥ 证明：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设0a b ≥>

差值比较法失效采用商值比较法：

,0,1≥-≥b a b

a ()()a

b a b a b a b b a a b a a b a b b ----∴==

101,0,101,0,1a b a b a b a b b a a a b b

a a a

b a b b b

a a a a

b b b

a b a b ---==>>>->>>><-<>∴≥当时（）当时，（）当b 时，0<（）

故原不等式得证.

例5.若0>≥≥c b a ，求证.)(3c

b a

c b a abc c b a ++≥.

3333

30,,0

,,1()()()1()()a b b c a c a b c a b c a b c

a b c a b c a b b c a c a b a b c c

a b c a b a b c c abc a b c abc ---++++≥≥>---≥≥∴=≥≥证：则同时即

(三)、课堂练习：

1．已知.1≠a 求证：（1）;122->a a （2）.1122<+a

a 222,,a

b

c b c c a a b a b c a b c a b c +++≥2.已知是正数，求证

五、课时小结：

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论。“变形”是解题的关键，是最重要的一步。作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形为几个因式的乘积，或其它可判断符号的形式，作商变形主要判断商值与1的大小关系，大多数情况如上面例4、5最终可化为指数函数形式利用指数函数的单调性与性质来进行判断较容易.

六、布置作业：

课本23页第1、2、3题。

)（要求：按照课堂上老师演示做题的形式和格式，

解题过程中做到有逻辑性、条理性、步骤要有理有据

七．板书设计