研究不确定性的数学概率论
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Oskar Morgenstern (1902-1977)
John von Neumann (1903-1957)
用期望效用函数来刻划风险
所谓期望效用函数是定义在一个随机变
量集合上的函数，它在一个随机变量上 的取值等于它作为数值函数在该随机变 量上取值的数学期望。用它来判断有风 险的利益，那就是比较“钱的函数的数 学期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概 率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用 函数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
概率论的早期历史
1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率 论的基础。他们当时考 虑一个掷骰子问题，开 始形成数学期望的概念， 并以“输赢的钱的数学 期望”来为赌博“定 价”。
Blaise Pascal (1623-1662)
Pierre de Fermat (1601-1665)
Pascal － Fermat 问题
二人掷骰子赌博，先掷满
5 次双 6 点者赢。 有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷满 3 次 双 6 点。由于天色已晚，两人无意再赌下 去，那么该怎样分割赌注？ 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. 结论：应该用数学期望来定价。
概率论的早期历史 (续)
精品课件！
Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结 为函数 u 的凸 性的比较。它 的程Leabharlann Baidu可用 -u’’/u’ 来 度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。
有风险与无风险之间的比较
机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之 间的利益比较就是比较
u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y)
之间的大小。如果它们相等，表示对风险 中性 (不在乎)；一般取 <，表示对风险厌 恶。取 > 表示对风险爱好。
精品课件！
1713 年发表《猜 度术 (Ars Conjectandi)》。 这是当时最重要、 最有原创性的概 率论著作。由此 引起所谓“圣彼 德堡悖论”问题。 Jacob Bernoulli (1654-1705)
“圣彼德堡悖论”问题
有这样一场赌博：第一次赢得
1 元，第 一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三 次赢得 4 元，……一般情形为前 n 次输， 第 n+1 次赢得 元。问：应先付多少钱， 2n 才能使这场赌博是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！
“圣彼德堡悖论”
1738
Daniel Bernoulli （1700-1782)
年发表《对机 遇性赌博的分析》提 出解决“圣彼德堡悖 论”的“风险度量新 理论”。指出用“钱 的数学期望”来作为 决策函数不妥。应该 用“钱的函数的数学 期望”。
期望效用函数
1944 年在巨著 《对策论与经济 行为》中用数学 公理化方法提出 期望效用函数。 这是经济学中首 次严格定义风险。
John von Neumann (1903-1957)
用期望效用函数来刻划风险
所谓期望效用函数是定义在一个随机变
量集合上的函数，它在一个随机变量上 的取值等于它作为数值函数在该随机变 量上取值的数学期望。用它来判断有风 险的利益，那就是比较“钱的函数的数 学期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概 率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用 函数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
概率论的早期历史
1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率 论的基础。他们当时考 虑一个掷骰子问题，开 始形成数学期望的概念， 并以“输赢的钱的数学 期望”来为赌博“定 价”。
Blaise Pascal (1623-1662)
Pierre de Fermat (1601-1665)
Pascal － Fermat 问题
二人掷骰子赌博，先掷满
5 次双 6 点者赢。 有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷满 3 次 双 6 点。由于天色已晚，两人无意再赌下 去，那么该怎样分割赌注？ 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. 结论：应该用数学期望来定价。
概率论的早期历史 (续)
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Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结 为函数 u 的凸 性的比较。它 的程Leabharlann Baidu可用 -u’’/u’ 来 度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。
有风险与无风险之间的比较
机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之 间的利益比较就是比较
u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y)
之间的大小。如果它们相等，表示对风险 中性 (不在乎)；一般取 <，表示对风险厌 恶。取 > 表示对风险爱好。
精品课件！
1713 年发表《猜 度术 (Ars Conjectandi)》。 这是当时最重要、 最有原创性的概 率论著作。由此 引起所谓“圣彼 德堡悖论”问题。 Jacob Bernoulli (1654-1705)
“圣彼德堡悖论”问题
有这样一场赌博：第一次赢得
1 元，第 一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三 次赢得 4 元，……一般情形为前 n 次输， 第 n+1 次赢得 元。问：应先付多少钱， 2n 才能使这场赌博是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！
“圣彼德堡悖论”
1738
Daniel Bernoulli （1700-1782)
年发表《对机 遇性赌博的分析》提 出解决“圣彼德堡悖 论”的“风险度量新 理论”。指出用“钱 的数学期望”来作为 决策函数不妥。应该 用“钱的函数的数学 期望”。
期望效用函数
1944 年在巨著 《对策论与经济 行为》中用数学 公理化方法提出 期望效用函数。 这是经济学中首 次严格定义风险。