高考数学二轮复习 专题三第二讲数列求和及综合应用 理

第二讲 数列求和及综合应用

1．(2013·石家庄市质量检测)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

2．(2013·荆州市质量检测)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 10＝60，则S 20＝( )

A ．80

B ．160

C ．320

D ．640

3．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

4．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式为b n ＝( )

A ．2n －1

B ．2n

＋1

C ．2n ＋1－1

D ．2n －1

＋2

5．(2013·湖南省五市十校联合检测)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n

＋2)－f (a n )＝f (3)(n ∈N *

)，则a n 为( )

A ．2n －1

B ．n

C ．2n －1

D ．(32

)n －1

6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 1＝3，前三项的和为21，则a 4＋a 5＋a 6＝________．

7．(2013·湖北省八校联考)《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织________尺布．(不作近似计算)

8．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．

9．(2012·高考山东卷)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m

的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .

10．(2013·汕头市高三模拟)已知函数f (x )满足：对任意的x ∈R ，x ≠0，恒有f (1

x

)＝

x 成立，数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1＝1，且对任意n ∈N *，均有a n ＋1＝a n f （a n ）

f （a n ）＋2，b n ＋1－

b n ＝1

a n

.

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(3)对于λ∈[0，1]，是否存在k ∈N *

，使得当n ≥k 时，b n ≥(1－λ)f (a n )恒成立？若存在，试求k 的最小值；若不存在，请说明理由．

11．(2013·成都市诊断性检测)设函数f (x )＝x 2

，过点C 1(1，0)作x 轴的垂线l 1交函数f (x )图象于点A 1，以A 1为切点作函数f (x )图象的切线交x 轴于点C 2，再过C 2作x 轴的垂

线l 2交函数f (x )图象于点A 2，…，以此类推得点A n ，记A n 的横坐标为a n ，n ∈N *

.

(1)证明数列{a n }为等比数列并求出通项公式；

(2)设直线l n 与函数g (x )＝log 12

x 的图象相交于点B n ，记b n ＝OA n →·OB n →

(其中O 为坐标原

点)，求数列{b n }的前n 项和S n .

答案：

1．【解析】选C.由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17, 又a 2＝3，S n ＝n （a 2＋a n －1）2

＝100，解得n ＝10，故选C.

2．【解析】选C.设数列{a n }的公差为d ，d ≠0，则a 2

4＝a 3a 7＝(a 4－d )(a 4＋3d )，d ＝2a 43

＝

23(a 1＋3d )，∴d ＝－23a 1.∵S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(2a 1＋9d )＝10a 1＋45(－23a 1)＝－20a 1＝60，∴a 1＝－3，d ＝2，∴S 20＝320.

3．【解析】选C.∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.

∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.

又S m ＝m （a 1＋a m ）2＝m （a 1＋2）2

＝0，

∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2， ∴m ＝5. 4．【解析】选B.据已知易得a n ＝2n －1， 故由b n ＋1＝ab n 可得b n ＋1＝2b n －1， 变形为b n ＋1－1＝2(b n －1)，

即数列{b n －1}是首项为2，公比为2的等比数列，

故b n －1＝2n ，解得b n ＝2n

＋1.故选B.

5．【解析】选D.由题意知f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N *

)，∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n

－1(n ≥2)，两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)，又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，∴a 1＝1，∴数

列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝(32

)n －1

.

6．【解析】a 4＋a 5＋a 6＝a 1q 3＋a 1q 4＋a 1q 5＝(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)q 3＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 3

，

即a 4＋a 5＋a 6＝21q 3

.

由前三项的和为21，且a 1＝3解得q ＝2，

故a 4＋a 5＋a 6＝21q 3

＝21×8＝168. 【答案】168 7．【解析】由题意知，a 1＝5，n ＝30，

S n ＝390＝30×5＋30×292d ⇒d ＝16

29

.

【答案】16

29

8．【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列前n 项和可得

⎩

⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92

d ＝0，

15a 1＋15×142d ＝25，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，

d ＝2

3

.

∴nS n ＝n 2

a 1＋n 2（n －1）2

d ＝－3n 2＋13

(n 3－n 2)

＝13n 3－10n 2

3

，