原子物理学 原子的量子态：玻尔模型 (2.3.3)--第二章补充内容
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件
p d n h
pr dr nr h
p pr
mr 2
mr
p
n
n , nr : 角量子数和径向量子数 .n nr n 主量子数
具体求解过程可参考 苟清泉《原子物理学》 P53-59
半长轴 半短轴 能量
量子数
a n2 ￗaZ0
b
n ￗn
a0 Z
� � �nr
2Z 2
1
(nf 2 2Z 2 )2
� � � �2 � � � �
展成级数形式得：
E(n,nf )
RhcZ 2 n2
RhcZ 2 2
n4
(n nf
43 )
计算结果表明系统的总能量不仅与 n 有关，而 且还与椭圆的角动量有关 ( 不同的偏心率椭圆 对应有不同的角动量 ) 。
巧合地解释了
H 的三条谱线
更高分辨光谱发
现由 5 条紧靠的
谱线组成。
补充材料 3 ：对应原理和玻尔理论的地位 1. 对应原理
对应原理是物理学发展中的一个重要原理
1906 年，普朗克指出： h->0 的极限情况下 ，量子物理可还原为经典物理。
1913 年，玻尔氢原子理论建立过程中， 尽量少修改经典理论，看什么情况下才 必须用量子理论来克服困境。 1920 年，
对于圆轨道相对论的修正是
En
Ek
e2 4e rn
(mc2
moc2 )
m(c)2 n2
mc
2
1
n
2
moc
2
mo
c
2
1 2 1 2
1
mo c 2
1 2
2
1 2
(
1 2
1) 2!
轨道运动频率。
今天，推广至：任何一种新理论，不论它的 特性和细节，当把它应用到普遍性较小的理 论适用的情况时，必定可化为与它相应的、 已牢固确定的旧理论！
2. 玻尔理论成就
• 第一次把光谱的实验事实纳入一个理论体 系中
• 提出了动态的原子结构轮廓；提出了经 典理论有的不适用于原子内部
• 提出了微观体系特有的量子规律，如 能量量子化、角动量量子化，频率条 件等，启发了原子物理向前发展的途 径。
提出对应原理：在主量子数 n- 〉 的
极限条件下，量子规律趋向经典规律， 得到一致的结果。
例：氢原子理论结果符合对应原理的要求
两能级差： DE
Rhc[
1 n2
1 m2
]
n很大，时 Dn n m << n
DE
2RhcDn n3
nￗ ￗ
ￗ0
能级趋于连续，量子 化特性消失。
还如：n 时，原子辐射频率趋于经典电子
n=3,n=2 n=3,n=3
n=2 ,n=1
椭圆轨道的相对大小
能量只与主量子数 n 有关 , 但对一给定能级
n, 半长轴确定了 , 半短轴却可能有 n 个 , 即 n
个不同状态 ( 轨道 ), 有相同的能量 . 此现象
称 : 能级是简并的 , 简并度为 n.
2. 相对论修正
m m0
按相对论原理，物体质量 随它的运动速度而改变：
4
1 2
mo
(c)2 n2
1
1 4
n
2
能量整体下
对椭圆轨道相对论修正 : 轨道的进动使得在 n 相同 nf 不同的轨道上运动时能量略有差别。索末菲按相对论
力学原理推得：
�
� 12
�
�
E
mc2
mc2
� �1 � � �
A2m 2
1 2
m
T
0
2wenku.baidu.com
sin 2tdt
A2 得 :E
1 2
m
2
A2T
nh T
nh
补充材料 2 ：电子的椭圆轨道运动与相对论修正
问题的提出：高分辨光谱发现 H 由三条紧靠的谱 线组成。
1. 电子的椭圆轨道运动
1916 年 , 索末非考虑了更一般的椭圆轨道运动情形 .
椭 圆 轨 道 的 量 子 化 条
1
v2 c2
物体动能：
T
m0c 2
1
1
1
v c
2 2
椭圆轨道运动时电子的轨道不是闭合的，而是 连续的进动。
•
一个电子轨道的进动
玻尔轨道速度为 vn=αc/n(vn/c= α/n) ，玻尔第 一轨道速度是最大的 , 为 v1= α c=c/137, 所以应考 虑相对论效应。
例 1: 玻尔量子化可由量子化通则得到
对氢原子 , 电子轨道角动量是守恒量 ,
nh Ld L 2
L n
例 2: 普朗克能量量子化可由量子化通则得到
谐振子坐 q A cost
标动:量 : p mq mA sin t
nh pdq
谐振子能量 :E
补充材料 1 ：量子化通则
普朗克谐振子能量量子化 解决 黑体辐射”紫外灾难”
玻尔角动量量子化 解决 原子的稳定与线状光谱 这些量子假设间有无联系 ?
周期势场中运动粒子的量子化通则 :
in pi i1d,q12,i,2,3n ,ihf
f 是自由度数目， pi 是广义动量 , qi 是广义坐标 , 积 分是对一个周期的积分
历史地位：承前启后
3. 玻尔理论的困难
由于没有抛弃经典理论框架，不可避 免地导致了理论的先天性缺陷。
•为什么电子与原子核遵守库仑定律， 但加速电子在定态上却不发射电磁波 ？ •谱线强度？偏振？选择定则？ 等；
•为什么不能推广至仅比氢多一个电 子的氦原子？！
an bn
En
2 2mZ 2e4 (4e0 )2 n2h2
n 1,2,3,
n 1,2,3,, n
n n 1, n 2,,0
例如 n =1,2,3 时，各种可能的轨道形状如下：
a0
n=1,n=1
2a0 4a0
n=2,n=2
6a0 3a0
9a0 n=3,n=1
p d n h
pr dr nr h
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mr 2
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n , nr : 角量子数和径向量子数 .n nr n 主量子数
具体求解过程可参考 苟清泉《原子物理学》 P53-59
半长轴 半短轴 能量
量子数
a n2 ￗaZ0
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1
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展成级数形式得：
E(n,nf )
RhcZ 2 n2
RhcZ 2 2
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(n nf
43 )
计算结果表明系统的总能量不仅与 n 有关，而 且还与椭圆的角动量有关 ( 不同的偏心率椭圆 对应有不同的角动量 ) 。
巧合地解释了
H 的三条谱线
更高分辨光谱发
现由 5 条紧靠的
谱线组成。
补充材料 3 ：对应原理和玻尔理论的地位 1. 对应原理
对应原理是物理学发展中的一个重要原理
1906 年，普朗克指出： h->0 的极限情况下 ，量子物理可还原为经典物理。
1913 年，玻尔氢原子理论建立过程中， 尽量少修改经典理论，看什么情况下才 必须用量子理论来克服困境。 1920 年，
对于圆轨道相对论的修正是
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1) 2!
轨道运动频率。
今天，推广至：任何一种新理论，不论它的 特性和细节，当把它应用到普遍性较小的理 论适用的情况时，必定可化为与它相应的、 已牢固确定的旧理论！
2. 玻尔理论成就
• 第一次把光谱的实验事实纳入一个理论体 系中
• 提出了动态的原子结构轮廓；提出了经 典理论有的不适用于原子内部
• 提出了微观体系特有的量子规律，如 能量量子化、角动量量子化，频率条 件等，启发了原子物理向前发展的途 径。
提出对应原理：在主量子数 n- 〉 的
极限条件下，量子规律趋向经典规律， 得到一致的结果。
例：氢原子理论结果符合对应原理的要求
两能级差： DE
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1 n2
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n很大，时 Dn n m << n
DE
2RhcDn n3
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能级趋于连续，量子 化特性消失。
还如：n 时，原子辐射频率趋于经典电子
n=3,n=2 n=3,n=3
n=2 ,n=1
椭圆轨道的相对大小
能量只与主量子数 n 有关 , 但对一给定能级
n, 半长轴确定了 , 半短轴却可能有 n 个 , 即 n
个不同状态 ( 轨道 ), 有相同的能量 . 此现象
称 : 能级是简并的 , 简并度为 n.
2. 相对论修正
m m0
按相对论原理，物体质量 随它的运动速度而改变：
4
1 2
mo
(c)2 n2
1
1 4
n
2
能量整体下
对椭圆轨道相对论修正 : 轨道的进动使得在 n 相同 nf 不同的轨道上运动时能量略有差别。索末菲按相对论
力学原理推得：
�
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1 2
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A2 得 :E
1 2
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补充材料 2 ：电子的椭圆轨道运动与相对论修正
问题的提出：高分辨光谱发现 H 由三条紧靠的谱 线组成。
1. 电子的椭圆轨道运动
1916 年 , 索末非考虑了更一般的椭圆轨道运动情形 .
椭 圆 轨 道 的 量 子 化 条
1
v2 c2
物体动能：
T
m0c 2
1
1
1
v c
2 2
椭圆轨道运动时电子的轨道不是闭合的，而是 连续的进动。
•
一个电子轨道的进动
玻尔轨道速度为 vn=αc/n(vn/c= α/n) ，玻尔第 一轨道速度是最大的 , 为 v1= α c=c/137, 所以应考 虑相对论效应。
例 1: 玻尔量子化可由量子化通则得到
对氢原子 , 电子轨道角动量是守恒量 ,
nh Ld L 2
L n
例 2: 普朗克能量量子化可由量子化通则得到
谐振子坐 q A cost
标动:量 : p mq mA sin t
nh pdq
谐振子能量 :E
补充材料 1 ：量子化通则
普朗克谐振子能量量子化 解决 黑体辐射”紫外灾难”
玻尔角动量量子化 解决 原子的稳定与线状光谱 这些量子假设间有无联系 ?
周期势场中运动粒子的量子化通则 :
in pi i1d,q12,i,2,3n ,ihf
f 是自由度数目， pi 是广义动量 , qi 是广义坐标 , 积 分是对一个周期的积分
历史地位：承前启后
3. 玻尔理论的困难
由于没有抛弃经典理论框架，不可避 免地导致了理论的先天性缺陷。
•为什么电子与原子核遵守库仑定律， 但加速电子在定态上却不发射电磁波 ？ •谱线强度？偏振？选择定则？ 等；
•为什么不能推广至仅比氢多一个电 子的氦原子？！
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2 2mZ 2e4 (4e0 )2 n2h2
n 1,2,3,
n 1,2,3,, n
n n 1, n 2,,0
例如 n =1,2,3 时，各种可能的轨道形状如下：
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n=1,n=1
2a0 4a0
n=2,n=2
6a0 3a0
9a0 n=3,n=1