第6章数理统计的基本概念习题及答案

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第六章 数理统计的基本概念

一.填空题

1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本，

则∑==n

i i n 11ξξ服从分布 )n

,(N 2

σμ .

2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2

σμN X 则~)(22

1n

S n σ- )(1χ2-n ； ~)(n

S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122

11)(。

3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本，

=a X

4.

1(,y 122229

~x x U y y y

++++

+

5. 设~(0,9),X Y N 为X

6. 随机变量 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布.

解：由T =, 得22

X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ

再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22

~(1,).X T F n n

=

50

7. 设12,,

,n X X X 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量2

2

21

11n k k X n X =-∑服从的分布为

(1,1)F n - (需写出分布的自由度).

解：由~(0,1),1,2,,i X N i n =知22

221

2

~(1),~(1)n

k k X X n χχ=-∑, 于是

221

22

211(1)

1~(1,1)./1

1n

k

n k k k X

n X F n X n X ==-=--∑∑

8. 总体2

1234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本,

设 从

9. 对”)

(1) 在 ， 则 样 本 对 )

(2) 若 0≠-θθ

)ˆ(E 则 称 θ为 θ 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )

(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，21x x , 是X 的一个样本 ，

则统计量213

2

31x x +是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )

(4) 若 θθθ

==)ˆ()ˆ(2

1

E E 且 )ˆ()ˆ(2

1

θθD D <则 以 θ2估 计 θ 较 以

θ1估 计 θ 有 效 。 ( 错 )

51

(5) 设θn 为θ 的估计量，对任意ε > 0，如果0=≥-∞

→}|ˆ{|lim εθθn

n P 则称 θn 是θ 的一致估计量 。 ( 对 )

（6）样本方差()

∑=--=n i i

n X X n D 1

211是总体),(~2

σμN X 中σ2 的无偏 估计量。()

2

1

1∑=-=n i i X X n D *

是总体X 中σ2的有偏估计。 （ 对 ）

10.设321X X X ,,是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量

3

332123211ˆ,1254131ˆ,2110351ˆX u

X X X u X X X ++=++=μ都

是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则

1、ξA C

2、=-n

i i 12)(ξξ，=i n S 2211-n 的A 3A 、)1,0(~2N

B 、)1.0(~4

N

C 、

)1,0(~/21

N n -ξ

D 、

)1,0(~/21

N n

-ξ

4、设n ξξξ ,,21是总体)1,0(~N ξ的样本，S ,ξ分别是样本的均值和样本标准差，

则有( C )

A 、)1,0(~N n ξ

B 、)1,0(~N ξ

C 、

∑=n

i i

n x 1

22)(~ξ

D 、)1(~/-n t S ξ

5.. 简 单 随 机 样 本 (X X X n 12,,

,) 来 自 某 正 态 总 体，X 为 样 本 平 均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。

52

( A ) X 与 (¡)X

X i

i n

-=∑21

独 立

( B )X i 与X j 独 立 ( 当 j i

≠ ) ( C )

X

i i n

=∑1

与

X

i i n

21

=∑ 独 立

( D )X i 与X j 2 独 立 ( 当 j i

≠)

6. 设 1n 21X , ,X ,X ， 来自总体2n 212

11Y ,,Y ,Y ),,(N ~X

,X σμ 来自总

体Y £, ),(N ~Y

222

σμ

， 且 X 与 Y 独 立。∑∑====2

1n 1

i ,i 2

n 1i ,i 1,Y n 1

Y ,X n 1X

∑∑==-=-=21

2

11

n 1

i 2,i 2

2

n 2n 1i 2,i 12

n 1,)Y Y (n 1S ,)X X (n 1S

则如下结论中错误的是 ( D )。 ( A ) )1,0(N ~n n )]

()Y X [(222

12

121σ+σμ-μ--=ξ

-

7. 2的无偏估计量是A 、∑=-n

i i X n 1

11

8. 33212

1

103X X ++，2ˆμ

列说法正确的是A 、321都是)(X E =的无偏估计且有效性顺序为321ˆˆμμ> B 、321ˆ,ˆ,ˆμμμ

都是)(X E =μ的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为312ˆˆˆμμμ

>> C 、321ˆ,ˆ,ˆμμμ

都是)(X E =μ的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为123ˆˆˆμμμ

>> D 、321ˆ,ˆ,ˆμμμ不全是)(X E =μ的无偏估计，无法比