Eviews数据统计与分析教程5章 基本回归模型的OLS估计-普通最小二乘法

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一、普通最小二乘法（OLS）
1.最小二乘原理
设双变量的总体回归方程为 yt= B1 + B2xt +μt 样本回归函数为 yt= b1 + b2xt + et 其中，et为残差项，
5-3式为估计方程，b1 和b2分别为B1和B2的估计量， 因而 e = 实际的yt –估计的yt
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五、 线性回归模型的检验
2.显著性检验
方程显著性检验（F 检验） 原假设为： H0：1= 0，2= 0，…，k= 0， 备择假设为： H1：i 中至少有一个不为 0， 如果原假设成立，表明解释变量x对被解释变量y没 有显著的影响；当原假设不成立时，表明解释变量 x对被解释变量y有显著的影响，此时接受备择假设。
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二、一元线性回归模型
1.模型设定
一元线性回归模型的形式为
yi = 0 + 1 xi + ui
（i=1，2，…，n）
其中，y为被解释变量，也被称为因变量；x为解释变量或自 变量；u是随机误差项（random error term），也被称为误 差项或扰动项，它表示除了x之外影响y的因素，即y的变化 中未被x所解释的部分；n为样本个数。
（1）杜宾（D .W .—Durbin-Watson）检验法
（2）LM（拉格朗日乘数—Lagrange Multiplier）检验法
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五、 线性回归模型的检验
4.序列相关检验
（1）杜宾（D .W .—Durbin-Watson）检验法 J. Durbin, G. S. Watson于1950年提出了D .W .检验法。 它是通过对残差构成的统计量来判断误差项ut 是否存在自 相关。D .W .检验法用来判定一阶序列相关性的存在。 D .W .的统计量为
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二、一元线性回归模型
2.实际值、拟合值和残差
估计方程为
表示的是yt的拟合值， 和 分别是 0 和1的估计量。 实际值指的是回归模型中被解释变量（因变量）y的原始观 测数据。拟合值就是通过回归模型计算出来的yt的预测值。
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二、一元线性回归模型
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五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验 （1）图示检验法 检验步骤：
建立方程对象进行模型的OLS（最小二乘）估计， 此时产生的残差保存在主窗口界面的序列对象 resid中。 建立一个新的序列对象，并将残差序列中的数据 复制到新建立的对象中。 然 后 选 择 主 窗 口 中 的 “ Quick‖ | ―Graph‖ | ―Scatter‖选项，生成散点图，进而可判断随机项 是否存在异方差性。
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一、普通最小二乘法（OLS）
1.最小二乘原理
估计总体回归函数的最优方法是选择B1和B2的估计量b1 ，b2， 使得残差et尽可能达到最小。 用公式表达即为
总之，最小二乘原理就是选择样本回归函数使得y的估计值 与真实值之差的平方和最小。
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一、普通最小二乘法（OLS）
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五、 线性回归模型的检验
4.序列相关检验
（1）杜宾（D .W .—Durbin-Watson）检验法
如果， 0 < dt < du < 4－du < 4－dt <
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四、 线性回归模型的基本假定
假定5：解释变量x1，x2，…，xi是非随机的确定性变量， 并且解释变量间互不相关。则这说明yi的概率分布具有 均值，即
E（yi|xi）= E（0 +1xi +ui）=0 +1xi
该式被称为总体回归函数。 如果两个或多个解释变量间出现了相关性，则说明该模 型存在多重共线性问题。
2.方程对象
选择工作文件窗口工具栏中的“Object‖| ―New Object‖| ―Equation‖选项，在下图所示的对话框中输入方程变量。
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一、普通最小二乘法（OLS）
2.方程对象
EViews5.1提供了8种估计方法： “LS‖为最小二乘法； “TSLS‖为两阶段最小二乘法； “GMM‖为广义矩法； “ARCH‖为自回归条件异方差； “BINARY‖为二元选择模型，其中包括Logit模型、Probit 模型和极端值模型； “ORDERED‖为有序选择模型； “CENSORED‖截取回归模型； “COUNT‖为计数模型。
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五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
总体平方和（ TSS ）反映了样本观测值总体离差的 大小，也被称为离差平方和；残差平方（ RSS ）说 明的是样本观测值与估计值偏离的程度，反映了因 变量总的波动中未被回归模型所解释的部分；回归 平方和（ ESS ）反映了拟合值总体离差大小，这个 拟合值是根据模型解释变量算出来的。
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四、 线性回归模型的基本假定
假定2：不同样本点下的随机误差项u之间是不相关的， 即 Cov（ui，uj）=0，i≠j，i，j=1，2，…，n 其中，cov表示协方差。当此假定条件不成立时，则 称该回归模型存在序列相关问题，也称为自相关问题。
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五、 线性回归模型的检验
2.显பைடு நூலகம்性检验
方程显著性检验（F 检验）
F 统计量为
该统计量服从自由度为（k，n－k－1）的F分布。 给定一个显著性水平α，当F统计量的数值大于该 显著性水平下的临界值Fα（k，n－k－1）时，则 在（1－α）的水平下拒绝原假设H0，即模型通过 了方程的显著性检验，模型的线性关系显著成立。
四、 线性回归模型的基本假定
假定3：同一个样本点下的随机误差项u与解释变量x之间 不相关，即
Cov（xi，ui）=0
i=1，2，…，n
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四、 线性回归模型的基本假定
假定4：随机误差项u服从均值为0、同方差的正态分布， 即 u ～N（0，σ2） 如果回归模型中没有被列出的各因素是独立的随机 变量，则随着这些随机变量个数的增加，随机误差项u服 从正态分布。
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五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验
（2）怀特（White）检验法
在EViews5.1软件中选择方程对象工具栏中的“View‖ | ―Residual Tests‖ | ―White Heteroskedasticity‖选项即 可完成操作。
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五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
拟合优度R2的计算公式为 R2 = ESS / TSS = 1－RSS / TSS 当回归平方（ESS）和与总体平方和（TSS）较为接 近时，模型的拟合程度较好；反之，则模型的拟合 程度较差。因此，模型的拟合程度可通过这两个指 标来表示。
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四、 线性回归模型的基本假定
线性回归模型必须满足以下几个基本假定：
假定1：随机误差项u具有0均值和同方差，即 E ( ui ) = 0 i=1，2，…，n Var ( ui ) = σ2 i=1，2，…，n 其中，E表示均值，也称为期望，在这里随机误差项u的 均值为0。Var表示随机误差项u的方差，对于每一个样本 点i，即在i=1，2，…，n的每一个数值上，解释变量y对 被解释变量x的条件分布具有相同的方差。当这一假定条 件不成立是，称该回归模型存在异方差问题。
2.实际值、拟合值和残差
三条曲线分别是实际值（Actual），拟合值（Fitted） 和残差（Residual）。实际值和拟合值越接近，方程拟 合效果越好。
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三、多元线性回归模型
通常情况下，将含有多个解释变量的线性回归模型（多 元线性回归模型）写成如下形式， yi = 0 + 1 x1i +2 x2i+3 x3i+…k xki + ui （i=1， 2，…，n） 其中，y为被解释变量，也被称为因变量；x为解释变量 或自变量；u是随机误差项（random error term），也 被称为误差项或扰动项； n为样本个数。
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五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验 （1）图示检验法
图示检验法通过散点图来判断用OLS方法估计的模 型异方差性，这种方法较为直观。通常是先将回归 模型的残差序列和因变量一起绘制一个散点图，进 而判断是否存在相关性，如果两个序列的相关性存 在，则该模型存在异方差性。
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第5章 基本回归模型的OLS估计
重点内容：
• 普通最小二乘法
• 线性回归模型的估计
• 线性回归模型的检验
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一、普通最小二乘法（OLS）
1.最小二乘原理
设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是平面直角坐标 系下的一组数据，且x1< x2<…< xn，如果这组图像接近于一 条直线，我们可以确定一条直线y = a + bx ，使得这条直 线能反映出该组数据的变化。 如果用不同精度多次观测一个或多个未知量，为了确定各未 知量的可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平 方乘以观测值的权数的总和为最小。因而称最小二乘法。
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五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验
（2）怀特（White）检验法 检验步骤： 用OLS（最小二乘法）估计回归方程，得到残差e。 作辅助回归模型： 求辅助回归模型的拟合优度R2的值。 White检验的统计量服从χ2分布，即 N·R 2 ～χ2 (k) 其中，N为样本容量，k为自由度，k等于辅助回归模型（） 中解释变量的个数。如果χ2值大于给点显著性水平下对应 的临界值，则可以拒绝原假设，即存在异方差；反之，接 受原假设，即不存在异方差。
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五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
拟合优度检验用来验证回归模型对样本观测值（实 际值）的拟合程度，可通过R2统计量来检验。
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五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
公式
三者的关系为
TSS = RSS +ESS TSS为总体平方和， RSS为残差平方和， ESS为回归 平方和。
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三、 多元线性回归模型
在多元线性回归模型中，要求解释变量x1，x2，…，xk之 间互不相关，即该模型不存在多重共线性问题。如果有 两个变量完全相关，就出现了完全多重共线性，这时参 数是不可识别的，模型无法估计。
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三、 多元线性回归模型
通常情况下，把多元线性回归方程中的常数项看作虚拟 变量的系数，在参数估计过程中该常数项始终取值为1。 因而模型的解释变量个数为k+1.多元回归模型的矩阵形 式为 Y = X + u 其中，Y是因变量观测值的T维列向量；X是所有自变量 （包括虚拟变量）的T个样本点观测值组成的T×（k+1） 的矩阵；是k+1维系数向量；u是T维扰动项向量。
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五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验
（2）怀特（White）检验法 White检验的统计量服从χ2分布，即 N·R 2 ～χ2 (k) 其中，N为样本容量，k为自由度，k等于辅助回归模型（） 中解释变量的个数。如果χ2值大于给点显著性水平下对应 的临界值，则可以拒绝原假设，即存在异方差；反之，接 受原假设，即不存在异方差。
五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验
异方差性的后果 ：
当模型出现异方差性时，用OLS（最小二乘估计法）得到的 估计参数将不再有效；变量的显著性检验（t检验）失去意 义；模型不再具有良好的统计性质，并且模型失去了预测 功能。
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五、 线性回归模型的检验
4.序列相关检验
方法：
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五、 线性回归模型的检验
2.显著性检验
变量显著性检验（t检验） 检验中的原假设为： 备择假设为：
H0：i= 0，
H1：i ≠ 0，
如果原假设成立，表明解释变量x对被解释变量y没 有显著的影响；当原假设不成立时，表明解释变量 x对被解释变量y有显著的影响，此时接受备择假设。