结构力学课件 第十一章 结构的极限荷载
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
制作：周书敬 郭延华
随着荷载的增大，塑性区逐渐扩大；最后，在某截 面处弯矩首先达到极限值，形成塑性铰。
这时原体系已成为机构，其变形可以继续增大而承 载力不能增大，这种状态称为极限状态，相应的荷载称 为极限荷载FPu。 极限荷载 FPu 可根据塑性铰截面的弯矩等于极限值 的条件，利用平衡方程求出。 F 例 11-2-1 设有矩形截面简 支梁在跨中承受集中荷载作用， (b) 试求极限荷载FPu。
所以，结构的弹塑性计算要远比结构的弹性计算复 杂得多。
制作：周书敬 郭延华
§11-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
一、 极限弯矩
下图示为理想弹塑性材料的矩形截面纯弯梁。
M M b h
随着M增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶段最 后到塑性阶段的过程。
实验表明：无论在哪一个阶段，平截面假定都成立。
制作：周书敬 郭延华
制作：周书敬 郭延华
此时，可求得极限弯矩为：
M ( S S ) u s 1 2
式中， S1、S2分别为面积A1、A2对等面积轴的静矩。
三、极限状态、极限荷载
由前述讨论可知：加载初期，各截面弯矩M<Ms(弹 性极限弯矩 ) ；再继续加载，有某一个截面的弯矩 M 首 先达到 Ms 时，弹性阶段结束；此时对应的荷载称作 “弹性极限荷载FPs”。 当荷载超过弹性极限荷载 FPs 时，在梁中形成塑性 区。
制作：周书敬 郭延华
二、 塑性铰
当截面达到塑性流动阶段时，在极限弯矩值 Mu 不 变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以产生有限的 相对转角，这种情况与带铰的截面相似。因此，当截面 弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面产生了塑性铰。
塑性铰是单向铰。加载至弹塑性阶段或塑性流动阶 段后再行卸载，由于卸载时应力增量 与应变增量 仍为直线关系，截面恢复弹性性质。因此塑性铰只能沿 弯矩增大的方向发生有限的相对转角；若沿相反方向变 形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再具有铰的性质。 下面分析非矩形截面时，极限弯矩的计算。
(a)
P
l/2
l/2
FP
Mu
解：在跨中形成塑性铰。
制作：周书敬 郭延华
由静力平衡条件，有：
F Pu l Mu 4
由此得出极限荷载FPu。
FPu 4M u l
wk.baidu.com
(a) l/2
FP l/2
这几个概念非常重要。 利用矩形截面梁在纯弯曲 状态下所获得的结果，也可以 (b) 讨论其它形式截面梁。
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之间不再 存在一一对应关系，即对于同一应力，可以有不同的应 变ε与之对应。
s A A1 1
O
C1
C
B B1
A
B
C
可见，弹塑性问题与加载路径有关。
制作：周书敬 郭延华
小结：
(1) 材料在加载与卸载时情形不同，加载时是弹塑 性的，卸载时是弹性的。
(2) 在经历塑性变形后，应力与应变之间不再存在 单值对应关系，同一个应力值可对应于不同的应变值， 同一个应变值可对应于不同的应力值。 (3) 要得到弹塑性问题的解，需要追踪全部受力变 形过程。
第十一章 结构的极限荷载
§11-1 概述
§11-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 §11-3 超静定梁的极限荷载 §11-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理 §11-5 刚架的极限荷载
§11-1 概述
一、弹性设计与塑性设计
弹性计算所采用的假定条件：应力与应变为线性关 系，结构在卸载后没有残余变形。 弹性设计方法：是指利用弹性计算的结果，以许用 应力（弹性极限）为依据来确定截面尺寸或进行强度验 算。
制作：周书敬 郭延华
下图所示只有一个对称轴的截面。
(a) 形心轴 等面积轴 A B C (b) A
s
( c)
s
y0 B y0
(d)
s
C
s
s
由平衡条件知，截面法向应力之和等于零，即有： 图 b—— 弹性阶段，应力为直线分布，中性轴通过 截面形心。 受拉区面积A1=受压区面积A2
图 c—— 弹塑性阶段，中性轴位置随弯矩的大小而 也就是说：在塑性流动阶段，中性轴应平分截面面 变化。 积。 图 d—— 塑性流动阶段，受拉区和受压区的应力均 为常量(+s和-s)。
怎样确定结构的极限荷载呢？必须考虑材料的塑性 变形，进行结构的塑性分析。
制作：周书敬 郭延华
二、材料的应力——应变关系
在塑性设计中，通常假设材料为理想弹塑性，其应 力与应变关系如下：
s
A
C
B
s
C
A
B
O
s p s
D
O
s
D
(a) 理想弹塑性模型
制作：周书敬 郭延华
(b) 弹塑性硬化模型
(1) 残余应变
当应力达到屈服应力 σs 后，从 C 点卸载至 D 点，即 应力减小为零。此时，应变并不等于零，而为εP。由下 图可以看出，ε=εs+εp，εp是应变的塑性部分，称为残余 应变。
s
A
C
B
O
s p s
理想弹塑性模型
D
制作：周书敬 郭延华
(2) 应力与应变关系不唯一
结构设计方法分为：弹性设计方法和塑性设计方法。
制作：周书敬 郭延华
弹性设计方法的缺点：对于塑性材料的结构，尤其 是超静定结构当最大应力到达屈服极限，甚至某一局部 已进入塑性阶段时，结构并未破坏，即是说，结构并未 耗尽全部承载能力；弹性设计没有考虑材料超过屈服极 限后结构的这部分承载力，所以弹性设计是不够经济合 理的。 塑性设计方法：首先确定结构破坏时所能承担的荷 载——极限荷载，然后将极限荷载除以荷载系数得出容 许荷载，并以此为依据来进行设计。 这就消除了弹性设计方法的缺点。
各阶段截面应力的变化过程如下图所示。
(a) h b z (b) s ( c) s y0 y0 (d) s
y
s
s
s
图d c 截面处于塑性流动阶段。在弹塑性阶段， b—— ——截面处于弹塑性阶段，截面外边缘处成为 截面还处在弹性阶段，最外纤维处应力达 塑性区，在截面内部仍为弹性区，称为弹性核。 随着 M增大，弹性核高度逐渐减小最后 y00。此时相 到屈服极限 σs ，截面弯矩为： 应的弯矩为： y bh2 矩形截面 M S bh 2 s s M u y 0 6 s Mu=1.5Ms 4 Ms 称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。 Mu 是截面所能承受的最大弯矩，称为极限弯矩。
随着荷载的增大，塑性区逐渐扩大；最后，在某截 面处弯矩首先达到极限值，形成塑性铰。
这时原体系已成为机构，其变形可以继续增大而承 载力不能增大，这种状态称为极限状态，相应的荷载称 为极限荷载FPu。 极限荷载 FPu 可根据塑性铰截面的弯矩等于极限值 的条件，利用平衡方程求出。 F 例 11-2-1 设有矩形截面简 支梁在跨中承受集中荷载作用， (b) 试求极限荷载FPu。
所以，结构的弹塑性计算要远比结构的弹性计算复 杂得多。
制作：周书敬 郭延华
§11-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
一、 极限弯矩
下图示为理想弹塑性材料的矩形截面纯弯梁。
M M b h
随着M增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶段最 后到塑性阶段的过程。
实验表明：无论在哪一个阶段，平截面假定都成立。
制作：周书敬 郭延华
制作：周书敬 郭延华
此时，可求得极限弯矩为：
M ( S S ) u s 1 2
式中， S1、S2分别为面积A1、A2对等面积轴的静矩。
三、极限状态、极限荷载
由前述讨论可知：加载初期，各截面弯矩M<Ms(弹 性极限弯矩 ) ；再继续加载，有某一个截面的弯矩 M 首 先达到 Ms 时，弹性阶段结束；此时对应的荷载称作 “弹性极限荷载FPs”。 当荷载超过弹性极限荷载 FPs 时，在梁中形成塑性 区。
制作：周书敬 郭延华
二、 塑性铰
当截面达到塑性流动阶段时，在极限弯矩值 Mu 不 变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以产生有限的 相对转角，这种情况与带铰的截面相似。因此，当截面 弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面产生了塑性铰。
塑性铰是单向铰。加载至弹塑性阶段或塑性流动阶 段后再行卸载，由于卸载时应力增量 与应变增量 仍为直线关系，截面恢复弹性性质。因此塑性铰只能沿 弯矩增大的方向发生有限的相对转角；若沿相反方向变 形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再具有铰的性质。 下面分析非矩形截面时，极限弯矩的计算。
(a)
P
l/2
l/2
FP
Mu
解：在跨中形成塑性铰。
制作：周书敬 郭延华
由静力平衡条件，有：
F Pu l Mu 4
由此得出极限荷载FPu。
FPu 4M u l
wk.baidu.com
(a) l/2
FP l/2
这几个概念非常重要。 利用矩形截面梁在纯弯曲 状态下所获得的结果，也可以 (b) 讨论其它形式截面梁。
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之间不再 存在一一对应关系，即对于同一应力，可以有不同的应 变ε与之对应。
s A A1 1
O
C1
C
B B1
A
B
C
可见，弹塑性问题与加载路径有关。
制作：周书敬 郭延华
小结：
(1) 材料在加载与卸载时情形不同，加载时是弹塑 性的，卸载时是弹性的。
(2) 在经历塑性变形后，应力与应变之间不再存在 单值对应关系，同一个应力值可对应于不同的应变值， 同一个应变值可对应于不同的应力值。 (3) 要得到弹塑性问题的解，需要追踪全部受力变 形过程。
第十一章 结构的极限荷载
§11-1 概述
§11-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 §11-3 超静定梁的极限荷载 §11-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理 §11-5 刚架的极限荷载
§11-1 概述
一、弹性设计与塑性设计
弹性计算所采用的假定条件：应力与应变为线性关 系，结构在卸载后没有残余变形。 弹性设计方法：是指利用弹性计算的结果，以许用 应力（弹性极限）为依据来确定截面尺寸或进行强度验 算。
制作：周书敬 郭延华
下图所示只有一个对称轴的截面。
(a) 形心轴 等面积轴 A B C (b) A
s
( c)
s
y0 B y0
(d)
s
C
s
s
由平衡条件知，截面法向应力之和等于零，即有： 图 b—— 弹性阶段，应力为直线分布，中性轴通过 截面形心。 受拉区面积A1=受压区面积A2
图 c—— 弹塑性阶段，中性轴位置随弯矩的大小而 也就是说：在塑性流动阶段，中性轴应平分截面面 变化。 积。 图 d—— 塑性流动阶段，受拉区和受压区的应力均 为常量(+s和-s)。
怎样确定结构的极限荷载呢？必须考虑材料的塑性 变形，进行结构的塑性分析。
制作：周书敬 郭延华
二、材料的应力——应变关系
在塑性设计中，通常假设材料为理想弹塑性，其应 力与应变关系如下：
s
A
C
B
s
C
A
B
O
s p s
D
O
s
D
(a) 理想弹塑性模型
制作：周书敬 郭延华
(b) 弹塑性硬化模型
(1) 残余应变
当应力达到屈服应力 σs 后，从 C 点卸载至 D 点，即 应力减小为零。此时，应变并不等于零，而为εP。由下 图可以看出，ε=εs+εp，εp是应变的塑性部分，称为残余 应变。
s
A
C
B
O
s p s
理想弹塑性模型
D
制作：周书敬 郭延华
(2) 应力与应变关系不唯一
结构设计方法分为：弹性设计方法和塑性设计方法。
制作：周书敬 郭延华
弹性设计方法的缺点：对于塑性材料的结构，尤其 是超静定结构当最大应力到达屈服极限，甚至某一局部 已进入塑性阶段时，结构并未破坏，即是说，结构并未 耗尽全部承载能力；弹性设计没有考虑材料超过屈服极 限后结构的这部分承载力，所以弹性设计是不够经济合 理的。 塑性设计方法：首先确定结构破坏时所能承担的荷 载——极限荷载，然后将极限荷载除以荷载系数得出容 许荷载，并以此为依据来进行设计。 这就消除了弹性设计方法的缺点。
各阶段截面应力的变化过程如下图所示。
(a) h b z (b) s ( c) s y0 y0 (d) s
y
s
s
s
图d c 截面处于塑性流动阶段。在弹塑性阶段， b—— ——截面处于弹塑性阶段，截面外边缘处成为 截面还处在弹性阶段，最外纤维处应力达 塑性区，在截面内部仍为弹性区，称为弹性核。 随着 M增大，弹性核高度逐渐减小最后 y00。此时相 到屈服极限 σs ，截面弯矩为： 应的弯矩为： y bh2 矩形截面 M S bh 2 s s M u y 0 6 s Mu=1.5Ms 4 Ms 称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。 Mu 是截面所能承受的最大弯矩，称为极限弯矩。