一换元积分法二常用的定积分公式及应用

0 afxfxdx
2.设 fx是以 T为周期的连续函数，则
a aTfxd x0 Tfxdx ………④
证
T a T fx dx x T x ,t t0 ;T x , d a T d x ,t t a 0 aft T dt
0 aftd t0 afx d x a 0fx dx
a a T f x d a 0 x f x d 0 T x f x d T a x T f x dx
换元过程为 tx（这如同不定积分第一类 换元），且 a, b;若此换元
过程是采用的凑微分法，没有写出新变量 t ，
则不必换元，即
f x x d x f x d x
3.例题
.例1
计算
1
0
1x2dx
解 换元： xsitn ， d xco td ；st
换限： x0， t0 ，
例6 计算 1 x2 dx .
11 ex
解
设
f x x2
1ex
,则 f x1x2ex
fxfxx2 x2 x2
1 e x 1 ex
利用定积分公式①得
111 xe 2xd x0 1x2d x1 3x31 01 3
例7 计算 x2ecotssi2ntd.t x
解 被积函数 ecotssi2nt是以2为周期的连
（2）若 fx为奇函数， fx f x ，
a
a
fxdx0
………③
证 0 afx dx x x a ,t t,a d ;x x 0 d ,t 0 ta 0 f tdt
a 0
f
tdt0a
f
xdx
a afx d x 0 afx d x 0 afx dx
0 afxd x0 afxdx
d dG ttddG xxd dx t G x t
fxt f t t
fttd tG t
G G G b G a
a b fx d x G x b a G b G a
则 a bfxd x fttdt
2.说明
(1)定积分的换元公式中，用 xt把原变
量 x换成新变量 t时（这如同不定积分第二类
换元： tco x，s d tsixndx
换限： x0， t 1
x ， t0
2
原式＝
0
1
2t5dt
216t610
1 3
.
解法2. 02sin2xco4sxdx022sinxco5sxdx
20 2co 5xsd co x s 2 1 6co 6x s 0 21 3
例3
计算 0
sixnsi3nxdx.
续函数，利用定积分公式④得
x 2 e cto ss 2 i td n t 2 e cto 2 s sti c n td ots
x
0
tu 0 ,c u to 1 ,； dts u 2 s,u ti d n 1 1 1 t2 uu d e u 0
例8 计算 01xscionsx2 xdx .
第三节 定积分的换元积分
一、换元积分法 二、常用的定积分公式及应用
一、换元积分法
1.定理 设函数 fx在 a,b上连续；函数 t在 ,（或 ,）上有连续导数； 当 t在 t在 ,（或 ,）上变化时， x在a,b上变化，且 a，b，
则有
a bfx d x fttdt
上式叫做定积分的换元公式.
证 设 G xfx，xt
解 积分区间为 0,，被积函数为 xfsixn
型，利用定积分公式⑥得
0 1 xs cix o 2x n ds x 20 1 scix o 2n xdsx
20 1c1o 2xd scoxs 2arccta oxn s 042
x1， t ， 2
1
0
1 x2d x 0 2
1 s2 itn ctodst
2
0
cos2
tdt
12021co2stdt
1 20 2d t0 2co2ts1 2d2t
12t
12sin2t02
4
注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换
元法），换元的同时必须换限。在计算 2 0
cos2tdt
时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，
解 0 sx i s n 3 i x d n 0 x sx ic n 2 x o ds x
0 sixncoxsdx
2 0
sixc no xd s xsix n co x dsx
2
2 0
sixd nsixn
sixd nsixn
2
32sin23x02
32sin23x
4 3
2
例4
设
f x 11x, x 0,
换元），积分限也要换成相应于新变量 t 的积 分限，但 t的对应值可能不唯一，只要任取一
值即可.
(2)求出换元后的 ftt的一个原函数
Gt时，只要将新变量 t的积分上下限分 别代入 Gt中相减即可，不必象不定积分 那样再把 Gt变成原变量 x的函数Gx.
(3)换元公式也可反过来使用，即
fxxd x a bftdt
0 fsx id n x 0 xs fx id nx
所以 0 xs f ixn d x 20 fsixn dx
5.例题
例5 计算2coxsx5si4nx1dx. 2
解 2coxsx5si4nx1dx 2
2 2x5c 奇 oxs函 i4n xd数 x 2 2偶 cox函 sdx数
020 2co xsd2 xsixn 0 22
ex, x 0,
求
2
0
f
x1dx
解 0 2fx 1 dt xx 1 1 1ftdt 0 1fxd x0 1fxdx 01exdx01x11dx
e x0 1 ln 1 x 1 0
源自文库
1e 1ln 2
2解 fx111x1,x10,
ex1,x10,
1 x
,
x
1,
e , x1 x 1
0 2 fx 1 d 0 1 x fx 1 d 1 2 x fx 1 dx
a 0 fx d x 0 Tfx d x a 0 fx dx
T
0
f
xdx
3.若 fx在 0，1 上连续，则
0 2fsixn d x0 2fco xd sx………⑤
证
0 2fsixn dxx x0 ,t2 t;,d x x ,d tt0 2 0f si 2 nt dt 22
0 2fco tds t0 2fco xdsx
4.若 fx在 0，1 上连续，则
0 xs fixn d x 20 fsixn dx ………⑥
证
0
xfsinxdx
x x 0 ,t t,;d x x ,t d 0 t 0 tfsi n td
0 tfsitn dt
0 fstid n t0 tfstid nt
1ex1dx 21dx
0
1x
01ex1dx1121xdx
ex 11 0ln x1 211 eln 2
二、常用的定积分公式及应用
1.设 fx 在 a,a上连续，则
a afx d x 0 afx fx dx………①
（1）若 fx为偶函数，fx f x ，
a fxdx 2afxdx
a
0
………②
所以没有换限.
补充：由定积分的几何意义知，该积分值等
于由 y 1x2 ，直线y 0 ,x 0 ,x 1 所
围图形的面积（见右图）.
面积值为圆面积的 1 . 4
y
y 1 x2
1
0
1x2dx
4
-1
o
1x
例2 计算 02sin2xco4sxdx.
解法1. 02sin2xco4sxdx022sinxco5sxdx