分式方程的概念及解法

分式方程的概念，解法

知识要点梳理ﻫ要点一:分式方程的定义ﻫ分母里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：ﻫ 1.分式方程的三个重要特征:①是方程;②含有分母；③分母里含有未知量。

２.分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数)，分母中含有未知ﻫ数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程,如:关于的方程和ﻫ都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程。

要点二:分式方程的解法

1. 解分式方程的其本思想

把分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母,将分式方程转化

为整式方程,然后利用整式方程的解法求解。ﻫ２.解分式方程的一般方法和步骤ﻫ(１)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程。ﻫ（2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公ﻫ分母等于零的根是原方程的增根。ﻫ注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方

3. 增根的产生的原因：

程，但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零。ﻫ

对于分式方程，当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。

ﻫ规律方法指导1 ﻫ．一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．ﻫ经典例题透析:ﻫ类型一:分式方程的定义

１、下列各式中,是分式方程的是（)

A.B．C． D.

举一反三:

【变式】方程中，x为未知量,a,b为已知数,且，则这个方程是()

A．分式方程Ｂ.一元一次方程 C.二元一次方程Ｄ．三元一次方程ﻫ

类型二：分式方程解的概念ﻫ２、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x=0这样的分式方程可以是___＿__________．

ﻫ举一反三：ﻫ【变式】在中，哪个是分式方程的解,为什么？

类型三:分式方程的解法ﻫ3、解方程ﻫ

ﻫ举一反三:

【变式】解方程:(1)＝; (2）＋＝2．

类型四:增根的应用

4、当m为何值时，方程会产生增根( ）ﻫ A. 2 B. －1 Ｃ．3 D．-３ﻫ举一反三：

【变式】.若方程＝无解,则m＝。

学习成果测评ﻫ基础达标ﻫ选择题(请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内)ﻫ1．要把分式方程

化成整式方程，方程两边需要同时乘以().ﻫA．2x-４ B.x C．２（x－２） D.２x(x－2)

2．方程的解是( ）．ﻫＡ.１Ｂ.-1 C.±1 D.0

ﻫ 3.把分式方程的两边同时乘以(x-2）,约去分母得( ）.

A.1-（1－x)＝1 Ｂ.1＋(1-x)＝1

C．1-(1-x)=x-2 D.1＋（1-ｘ)=x-2

ﻫ填空题

4.已知若（a、b都是整数)，则ａ+b的值是＿_____．ﻫ

5．已知，则＿__＿＿＿＿_____＿＿．

6．已知，则分式的值为___＿_____＿____.ﻫ解答题ﻫ7.解方程ﻫ

(1); (2).

8．观察图示的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式,探究其中的规律：

ﻫ (1)写出第五个等式，并

在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示.

ﻫ （2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式.

ﻫ 综合探究

解答题

9.先阅读下列一段文字,然后解答问题．ﻫ 已知：

方程2111=-

x x 的解是x １=2,ｘ2=21-；ﻫ 方程3221=-x x 的解是ｘ1=3,x 2＝3

1-; 方程4331=-x x 的解是x 1=４，x ２=4

1-; 方程5441=-x x 的解是ｘ1=5，ｘ2=5

1-. 问题：观察上述方程及其解,再猜想出方程1110101=-x x 的解,并写出检验．

1０．阅读理解题:ﻫ 阅读下列材料，关于ｘ的方程:

c c x x 11+=+

的解是x １=c,x ２=c

1; c c x x 22+=+的解是x 1=c,x ２=c

2;ﻫ c c x x 33+=+的解是x 1=ｃ，x ２=c 3；…….ﻫ (1）请观察上述方程与解的特征,比较关于x 的方程c m c x m x +=+(ｍ≠0）与它们的关系,•猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．

（２)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：•如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数,方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数,那么这样的方程可以直接得解,请用这个结论解关于x 的方程:1212-+=-+

a a x x .ﻫ

答案与解析：

选择题ﻫ １.D (提示:关键是要将分式方程化成整式方程，所以选项A 、Ｂ、C 均不能达到目的．) ﻫ ２.D (提示：本题不用考虑选项Ａ、B 、C,因为x=1或者-1时,原方程没有意义.只需要将ｘ=０带入原方程检验即可．） ﻫ 3.D (提示:本题有两个地方需要注意：(1)去分母时第二个分式的分子要带括号,这样可以避免符ﻫ号出错;(2）方程的右边也要乘以（ｘ－2)．） ﻫ 填空题ﻫ .194 (提示:本题的关键是找出通项，

,即可求出a 、ｂ的值.）5 ﻫﻫ. （提示：先将两边平方,可得ｘ2＋

=1４,然后将所求代数式取倒数，求得ﻫ =15,最后再取倒数即可.）ﻫﻫ 6.(提示：由得出x-y=－3ｘy ，带入所求分式的分子和分母即可.）ﻫﻫ

解答题ﻫ 7.(1）3（提示：按解方程的步骤,注意不要跳步.)ﻫ (2)无解(提示:本题要注意解方程后一定要检验.)ﻫﻫ 8.(１);图示略．

(2)（提示:找到通项是本题关键，建议大家先关注第(2）问．)ﻫﻫ综合探究 解答题ﻫ 9.ｘ1=11，ｘ2=-

；代入检验即可.

10．（1)x 1=ｃ,；代入检验．(２）．ﻫﻫ