高考数学二次函数专题
专题01 二次函数的定义五种模型全攻略(解析版)
专题01 二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二次函数的识别】 (1)【考点二二次函数中各项的系数】 (2)【考点三利用二次函数的定义求参数】 (3)【考点四已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 (5)【考点五列二次函数的关系式】 (6)【过关检测】 (8)【典型例题】【考点一二次函数的识别】【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）以下函数式二次函数的是（）【考点二 二次函数中各项的系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数221y x x =--+的二次项系数是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数221y x x =--+的二次项系数是1-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数()32-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A ．2B ．2-C ．1-D ．4-【答案】D 【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：()23622x y x x x --==，∴二次项系数是2，一次项系数是6-，∴264-=-，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数2(1)y x x =-的二次项系数是________．【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．【详解】解：y =2x （x -1）=2x 2-2x ．所以二次项系数2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数()2231y m x mx =+++是二次函数，则（ ）A ．2m ³-B ．2m ¹C ．2m ¹-D ．2m =-【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得20m +¹，解得2m ¹-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数是解题的关键．【变式训练】【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数2y ax bx c =++的定义条件是：a 、b 、c 为常数，0a ¹，自变量最高次数为2．【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线223y ax x =-+经过点(1,2)P ，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】将点P 代入函数表达式中，解方程可得a 值．【详解】解：将(1,2)P 代入223y ax x =-+中，得：22=121+3a -´´，解得：=1a ，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线23y ax bx =+-过点（2，4），则代数式84a b +的值为（ ）A ．14B ．2C ．－2D ．－14【答案】A【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax 2+bx -3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax 2+bx -3得4a +2b -3=4，整理得8a +4b =14.故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．20【答案】B【分析】先把点()2,3-代入解析式，得到2=7c b -，然后化简247=2c b --（c-4b ）-7，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点()2,3-代入2y x bx c =-++，得：2=7c b -，∵247=2c b --（c-2b ）-7277=7=´-；故选择：B .【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五 列二次函数的关系式】【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为_____．【答案】()2501y x =-【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为50万元，每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，∴y 与x 之间的函数关系式为()2501y x =-．故答案为：()2501y x =-．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格=原价()21x ´-．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当60x =时，8050y x ==；时，100y =．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．【答案】(1)2200y x =-+(3070x ££)；(2)222606450w x x =-+-(3070x ££)【分析】（1）根据y 与x 写成一次函数解析式，设为y kx b =+，把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出y 与x 的解析式，并求出x 的范围即可；（2）根据利润=单价´销售量列出w 关于x 的二次函数解析式即可．【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+．60x =Q 时，80y =，50x =时，100y =，608050100k b k b +=ì\í+=î，解得2200k b =-ìí=î，2200y x \=-+，根据部门规定，得3070x ££．（2）22(30)450(30)(2200)45030702260600045022606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+（）【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题二、填空题6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数2=23y x x --中，当=1x -时，y 的值是________．【答案】0【分析】把=1x -代入2=23y x x --计算即可．【详解】解：当=1x -时，2=23=123=0y x x ---+，故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把=1x -代入2=23y x x --计算．7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】23x - －16 12【解析】略8．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数||1(1)45m y m x x +=++-是关于x 的二次函数，则一次函；【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得()()2302050600y x x x x =++=++，∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题。
2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数(分层集训)
2.(2022湖南邵阳、郴州二模,4)“
(a
1)
1 2
<
(2
a)
1 2
”是“-2<a&.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
3.(2023届兰州五十五中开学考,15)幂函数f(x)= xm22m3(m∈Z)为偶函数,且
在区间(0,+∞)上是减函数,则m=
C.对任意x∈R, f(x)≥- 25 恒成立
4
D.∃x∈R,使得函数f(x)=π 答案 ACD
4.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相
切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)=
.
答案 x2+ 1 (答案不唯一)
4
5.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=
(0,2]上恒成立,即a≤x+ 4 +1在(0,2]上恒成立,
x
因为x∈(0,2],所以x+ 4 +1≥2 x 4 +1=5,当且仅当x= 4 ,即x=2时取等号,所
x
x
x
以x+ 4 +1的最小值为5,所以a≤5,所以a的最大值为5.
x
考点二 幂函数 考向一 幂函数的图象问题
1.(多选)(2022江苏盐城阜宁中学段测,9)若点A(m,n)在幂函数y=xa(a∈R) 的图象上,则下列结论可能成立的是 ( )
f(x-1)-f 2(x)的最大值为
.
答案 - 3
4
4.(2022河北保定重点高中月考,14)若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象
过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为
二次函数-高考数学复习
PART3Fra bibliotek微专题 3
一元二次方程根的分布
目录
解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；
（2）对称轴 x ＝－ 与所给区间的位置关系；
2
（3）区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但
＋2） x ＋ c ，
因为 g （ x ）为偶函数，所以 g （－ x ）＝ g （ x ），
即 x 2－（ b ＋2） x ＋ c ＝ x 2＋（ b ＋2） x ＋ c ，可得 b ＝－2，
所以 f （ x ）＝ x 2－2 x ＋ c ，图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1.
若选条件①，因为函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以 f
A. [－6，2]
B. [—6，1]
C. [0，2]
D. [0，1]
）
解析： 函数 f （ x ）＝－2 x 2＋4 x 的对称轴为直线 x ＝1，则 f
（ x ）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴ f （ x ）max
＝ f （1）＝2， f （ x ）min＝ f （－1）＝－2－4＝－6，即 f （ x ）的
∴ f （ x ）＝－4 −
1 2
＋8＝－1，解得 a ＝－4，
2
1 2
＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7.
2
法三（利用二次函数的零点式）
由已知 f （ x ）＋1＝0的两根为 x 1＝
2， x 2＝－1，
故可设 f （ x ）＋1＝ a （ x －2）（ x ＋1）（ a ≠0），
高考二次函数试题及答案
高考二次函数试题及答案1. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若其图像经过点（1，3），（2，-1），（3，-3），求a，b，c的值。
解：将点（1，3），（2，-1），（3，-3）代入二次函数f(x)=ax^2+bx+c，得到以下方程组：\begin{cases}a+b+c=3 \\4a+2b+c=-1 \\9a+3b+c=-3\end{cases}解此方程组，得到a=-2，b=4，c=-3。
因此，二次函数的解析式为f(x)=-2x^2+4x-3。
2. 某二次函数的图像开口向上，且经过点（-1，0），（2，0），求该二次函数的解析式。
解：由于二次函数的图像开口向上，可知a>0。
设二次函数的解析式为f(x)=a(x+1)(x-2)。
将点（-1，0）和（2，0）代入解析式，得到a=1。
因此，该二次函数的解析式为f(x)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2。
3. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a>0）的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为-1，求b的值。
解：根据题意，二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像与x轴有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为x1和x2。
根据根与系数的关系，有x1+x2=-b/a。
又因为x1+x2=-1，所以-b/a=-1，即b=a。
由于a>0，所以b>0。
4. 某二次函数的图像经过点（0，1），且其顶点坐标为（1，-4），求该二次函数的解析式。
解：设二次函数的解析式为f(x)=a(x-1)^2-4。
将点（0，1）代入解析式，得到a(0-1)^2-4=1，解得a=5。
因此，该二次函数的解析式为f(x)=5(x-1)^2-4=5x^2-10x+1。
5. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（-2，0），（4，0），且在x=2时取得最大值，求a，b，c的值。
解：由于二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点（-2，0），（4，0），可知其对称轴为x=1。
高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时， 函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <， 则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立； 反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<， 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-， 故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数， 若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________． 【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=． 故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+， （2）1m =-恒成立，符合题意； （3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点， 因为函数()g x 的对称轴为122a x =<， 所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈， 当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-； 当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤， 所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=， 因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-， 当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-； 当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2． 【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】 解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+， 令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈． （1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞； （2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭， 设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出， （Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2． 当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9； 当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1； 故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54． 令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩， 解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞． 【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式； （2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠； （2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =； 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。
高考数学复习知识点讲解教案第9讲 二次函数与幂函数
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[解析] 设.由，得 的图象关于直线对称，则，即①.设的图象与 轴交点的横坐标为,，则由题意得，得 ②.由已知得③.由①②③解得，，， ， .
探究点三 二次函数的图象与性质
例3（1） [2024·江苏南通模拟] 记函数在区间 上的最大值为，则 的最小值为( )
A
A. B. C. D.1
②
（ⅲ）当时，画出的大致图象，如图③④，当 时，，易知当时，，则在 上单调递增，在上单调递减，所以，当时， ，则在上单调递增，所以.所以当 时，.因为，所以综上可知， 的最小值为 .故选A.
③
④
（2） [2024·浙江名校协作体联考] 已知函数在区间 上单调递增，则 的取值范围为( )
变式题（1） [2024·黑龙江省实验中学月考] 函数是幂函数，对任意，，且 ，满足.若，，且，，则 的值( )
B
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
[解析] 因为函数对任意，，且，满足 ，所以在上单调递减.由 是幂函数，可得，解得或.当时，，在 上单调递增，不满足题意.当时，，在 上单调递减，满足题意，故，且为奇函数.因为，，所以 ，所以，所以，所以 .故选B.
[解析] 当时，函数在给定区间上单调递增，不符合题意；当 时，函数是二次函数，其图象的对称轴为直线，依题意知 解得 .
6.已知幂函数，若，则 的取值范围为_______.
[解析] 幂函数在定义域上单调递减，由 ，得解得 .
探究点一 幂函数的图象和性质
例1（1） 已知幂函数,,, 在第一象限内的图象如图所示，则( )
（2） 写出一个满足条件“函数的图象与轴、 轴没有交点，且关于原点对称”的幂函数: _ ___________________.
高考数学二次函数与二次方程选择题
高考数学二次函数与二次方程选择题1. 下列函数中，既是二次函数又是偶函数的是（）A. y = x^2B. y = x^2 - 2xC. y = -x^2D. y = -x^2 + 2x2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，若a > 0，则c的取值范围是（）A. c > 0B. c < 0C. c = 0D. c ≥ 03. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-1, 2），则该函数的表达式为（）A. y = 2x^2 - x + 2B. y = -2x^2 + x + 2C. y = 2x^2 + x + 2D. y = -2x^2 - x + 24. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（2, 4），且开口向上，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≥ 05. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向下，若a < 0，则c的取值范围是（）A. c > 0B. c < 0C. c = 0D. c ≤ 06. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（1, -3），且开口向上，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + x - 3B. y = 3x^2 - x - 3C. y = -3x^2 - x - 3D. y = 3x^2 + x - 37. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, 1），且开口向上，则该函数的表达式为（）A. y = x^2 + 1B. y = -x^2 + 1C. y = x^2 - 1D. y = -x^2 - 18. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-1, 3），且开口向上，则该函数的表达式为（）A. y = 3x^2 + x - 3B. y = -3x^2 + x - 3C. y = 3x^2 - x - 3D. y = -3x^2 - x - 39. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1, 2），且开口向上，则该函数的表达式为（）A. y = 2x^2 - x + 2B. y = -2x^2 + x + 2C. y = 2x^2 + x + 2D. y = -2x^2 - x + 210. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（2, -3），且开口向上，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + 2x - 3B. y = 3x^2 - 2x - 3C. y = -3x^2 - 2x - 3D. y = 3x^2 + 2x - 311. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（2, 4），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + 2x + 4B. y = 2x^2 - 2x + 4C. y = -2x^2 - 2x + 4D. y = 2x^2 + 2x + 412. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（1, 2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + x + 2B. y = 2x^2 + x + 2C. y = -2x^2 - x + 2D. y = 2x^2 - x + 213. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, 3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + 3B. y = 3x^2 + 3C. y = -3x^2 - 3D. y = 3x^2 - 314. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-2, -3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + 4x - 3B. y = 3x^2 + 4x - 3C. y = -3x^2 - 4x - 3D. y = 3x^2 - 4x - 315. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1, 3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + 2x + 3B. y = 3x^2 + 2x + 3C. y = -3x^2 - 2x + 3D. y = 3x^2 - 2x + 316. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（2, -1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 4x - 1B. y = x^2 + 4x - 1D. y = x^2 - 4x - 117. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, 4），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -4x^2 + 4B. y = 4x^2 + 4C. y = -4x^2 - 4D. y = 4x^2 - 418. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-1, 1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 2x + 1B. y = x^2 + 2x + 1C. y = -x^2 - 2x + 1D. y = x^2 - 2x + 119. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（2, 2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + 2x + 2B. y = 2x^2 + 2x + 2C. y = -2x^2 - 2x + 220. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（1, -2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + x - 2B. y = 2x^2 + x - 2C. y = -2x^2 - x - 2D. y = 2x^2 - x - 221. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, -3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 - 3B. y = 3x^2 - 3C. y = -3x^2 + 3D. y = 3x^2 + 322. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-2, -1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 4x - 1B. y = x^2 + 4x - 1C. y = -x^2 - 4x - 1D. y = x^2 - 4x - 123. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1, -1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -1x^2 + 2x - 1B. y = 1x^2 + 2x - 1C. y = -1x^2 - 2x - 1D. y = 1x^2 - 2x - 124. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（2, 1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 4x + 1B. y = x^2 + 4x + 1C. y = -x^2 - 4x + 1D. y = x^2 - 4x + 125. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, -2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 - 2B. y = 2x^2 - 2C. y = -2x^2 + 2D. y = 2x^2 + 226. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-1, 2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + x + 2B. y = 2x^2 + x + 2C. y = -2x^2 - x + 2D. y = 2x^2 - x + 227. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（2, 1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -1x^2 + 2x + 1B. y = 1x^2 + 2x + 1C. y = -1x^2 - 2x + 1D. y = 1x^2 - 2x + 128. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（1, -3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + x - 3B. y = 3x^2 + x - 3C. y = -3x^2 - x - 3D. y = 3x^2 - x - 329. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, 1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 1B. y = x^2 + 1C. y = -x^2 - 1D. y = x^2 - 130. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-2, -2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + 4x - 2B. y = 2x^2 + 4x - 2C. y = -2x^2 - 4x - 2D. y = 2x^2 - 4x - 231. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1, 3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + 2x + 3B. y = 3x^2 + 2x + 3C. y = -3x^2 - 2x + 3D. y = 3x^2 - 2x + 332. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（2, 3），且开口向下，则该函数的表达式为（）B. y = 3x^2 + 4x + 3C. y = -3x^2 - 4x + 3D. y = 3x^2 - 4x + 333. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, 4），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -4x^2 + 4B. y = 4x^2 + 4C. y = -4x^2 - 4D. y = 4x^2 - 434. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-1, 1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 2x + 1B. y = x^2 + 2x + 1C. y = -x^2 - 2x + 1D. y = x^2 - 2x + 135. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（2, 2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + 2x + 2C. y = -2x^2 - 2x + 2D. y = 2x^2 - 2x + 236. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（1, -2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + x - 2B. y = 2x^2 + x - 2C. y = -2x^2 - x - 2D. y = 2x^2 - x - 237. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, -3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 - 3B. y = 3x^2 - 3C. y = -3x^2 + 3D. y = 3x^2 + 338. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-2, -1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 4x - 1B. y = x^2 + 4x - 1D. y = x^2 - 4x - 139. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1, -1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -1x^2 + 2x - 1B. y = 1x^2 + 2x - 1C. y = -1x^2 - 2x - 1D. y = 1x^2 - 2x - 140. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（2, 1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 4x + 1B. y = x^2 + 4x + 1C. y = -x^2 - 4x + 1D. y = x^2 - 4x + 141. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, -2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 - 2B. y = 2x^2 - 2C. y = -2x^2 + 2D. y = 2x^2 + 242. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-1, 2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + x + 2B. y = 2x^2 + x + 2C. y = -2x^2 - x + 2D. y = 2x^2 - x + 243. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（2, 1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -1x^2 + 2x + 1B. y = 1x^2 + 2x + 1C. y = -1x^2 - 2x + 1D. y = 1x^2 - 2x + 144. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（1, -3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + x - 3B. y = 3x^2 + x - 3C. y = -3x^2 - x - 3D. y = 3x^2 - x - 345. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, 1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 1B. y = x^2 + 1C. y = -x^2 - 1D. y = x^2 - 146. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-2, -2），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -2x^2 + 4x - 2B. y = 2x^2 + 4x - 2C. y = -2x^2 - 4x - 2D. y = 2x^2 - 4x - 247. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1, 3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + 2x + 3B. y = 3x^2 + 2x + 3C. y = -3x^2 - 2x + 3D. y = 3x^2 - 2x + 348. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（2, 3），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -3x^2 + 4x + 3B. y = 3x^2 + 4x + 3C. y = -3x^2 - 4x + 3D. y = 3x^2 - 4x + 349. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（0, 4），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -4x^2 + 4B. y = 4x^2 + 4C. y = -4x^2 - 4D. y = 4x^2 - 450. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像顶点坐标为（-1, 1），且开口向下，则该函数的表达式为（）A. y = -x^2 + 2x + 1B. y = x^2 + 2x + 1C. y = -x^2 - 2x + 1D. y = x^2 - 2x + 1。
完整版)二次函数含参综合专题
完整版)二次函数含参综合专题轴平移3个单位，得到抛物线y=x-2ax+(b+3)，求新抛物线的表达式；2）若a=2，b=3，求点P、Q的坐标和抛物线的对称轴；3）将抛物线在x轴上方的部分沿y轴平移2个单位，得到抛物线G，求G与x轴交点的横坐标。
综合专题：二次函数二次函数的特征很多时候是隐藏在式子中的，需要找到关键点才能解决问题。
下面分别对不等关系类、翻折类、平移类的例题进行分析。
例1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）。
1) 当抛物线过原点时，a的值为0；2) ①对称轴为x=0，顶点纵坐标为0；②顶点为原点，纵坐标为0；3) 当AB≤4时，a∈[-2,2]。
巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a(a＞0)与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）。
1) 对称轴为x=2，A(-a,0)，B(3a,0)；2) 点C(t,3)在抛物线上，过C作x轴的垂线交x轴于D，①CD=AD时，a=t²-4t+3；②CD>AD时，t∈(-∞,0)∪(1,∞)。
例2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx²-4nx+4n-1(n≠0)，与x轴交于点C、D（C在D的左侧），与y轴交于点A。
1) 顶点坐标为(M,n-1)，其中M=n；2) A(0,n-1)，B(3-n,n-1)；3) 翻折后的图象记为G，直线y=n-1与G有一个交点时，m∈(-∞,n-1)。
巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a的最高点纵坐标为2.1) 对称轴为x=1，表达式为y=(a-1)²-1；2) 图象G1在x∈[1,4]上，将G1沿直线x=1翻折得到G2，图象G由G1和G2组成，直线y=b与G只有两个公共点时，b∈(-∞,-1)∪(3,∞)，x1+x2=2.例3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x-2ax+b 的顶点在x轴上，P(x1,m)、Q(x2,m)（x1<x2）是此抛物线上的两点。
二次函数综合问题(高考专题,含答案)
二次函数综合问题一、转化为最值问题（值域）1、设m 是实数，记M={m |m >1}，f(x)=log 3(x 2－4mx+4m 2+m+11-m ). (1)证明：当m ∈M 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x 都有意义，则m ∈M ； (2)当m ∈M 时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个m ∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 解：(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log 3［(x －2m)2+m+11-m ］, 当m ∈M 时，m>1,∴(x －m)2+m+11-m >0恒成立，故f(x)的定义域为R 。
反之，若f(x)对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx+4m 2+m+11-m >0。
令Δ＜0，即16m 2－4(4m 2+m+11-m )＜0，解得m>1，故m ∈M 。
(2)解析：设u=x 2－4mx+4m 2+m+11-m ，∵y=log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f(x)最小。
而u=(x －2m)2+m+11-m ，显然，当x=m 时，u 取最小值为m+11-m ，此时f(2m)=log 3(m+11-m )为最小值。
(3)证明：当m ∈M 时，m+11-m =(m －1)+ 11-m +1≥3，当且仅当m=2时等号成立。
∴log 3(m+11-m )≥log 33=1。
2、x x f f bx ax x f a b a ==+=≠)(0)2()(02，并使方程，且，为常数，，已知有等根 （1）求()x f 的解析式；（2）是否存在实数()n m n m <,，使f(x)的定义域和值域分别为[]n m ,和[]n m 2,2。
解：0)2()(12=+=f bx ax x f ，且）（ ∴+=420a b又方程，即f x x ax bx x ()=+=2即有等根ax b x 210+-=()211004)1(2-===⨯⨯--=∆∴a b a b ，从而，即 x x x f +-=∴221)( 2121)1(2121)(222≤+--=+-=x x x x f ）（ 41212≤≤n n ，则有又f(x)在［m ，n ］上是增函数（或对称轴x ＝1≥n ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤<∴n n f m m f n m 2)(2)(41 解得，m n =-=20∴存在m ＝-2，n ＝0使f(x)的定义域和值域分别为［m ，n ］和［2m ，2n ］。
高考数学常考压轴题及答案：二次函数
高考数学常考压轴题及答案：二次函数1500字二次函数是高考数学中的重要内容之一。
在高考中，常常会涉及到二次函数的基本概念、性质以及与其他知识点的联合运用。
本文将介绍高考数学中常考的二次函数压轴题及其答案，希望能对广大考生备战高考有所帮助。
1. 求二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标。
答案：二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标可以通过求导或者利用平移公式来求解。
求导法可以通过将二次函数转化为一次函数来求解，即 y' = 2ax + b，令y' = 0，解得 x = -b / (2a)，代入原函数可得 y = c - b^2 / (4a)。
利用平移公式可以将二次函数表示为 y = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 (h, k) 就是顶点坐标。
2. 已知二次函数 y = ax^2 + bx + c 过点 (1, 2) 和 (2, 3)，求二次函数的解析式。
答案：由已知条件可得：2 = a + b + c (1)3 = 4a + 2b + c (2)由 (1) 式减去2倍的 (2) 式，得 -1 = -6a - 3b，即 6a + 3b = 1 (3)由 (1) 式减去 (2) 式，得 -1 = -3a - b，即 3a + b = 1 (4)解方程组 (3) 和 (4) 可得 a = 1/3，b = 2/3。
将 a 和 b 的值代入 (1) 式，可得 c =5/3。
所以二次函数的解析式为 y = (1/3)x^2 + (2/3)x + 5/3。
3. 设某个二次函数的图像过点 (1, 3) 和 (2, 7)，与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B 和C，求 B、C 的坐标。
答案：已知二次函数过点 (1, 3) 和 (2, 7)，可以得到两个方程：3 = a + b + c (1)7 = 4a + 2b + c (2)由 (2) 式减去4倍的 (1) 式，得 1 = -2a - b，即 2a + b = -1 (3)解方程组 (1) 和 (3) 可得 a = 1，b = -3。
高考中二次函数及其综合问题知识点归纳1
高考中二次函数及其综合问题知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系 1二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422， 2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()(（顶点式） 3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f 4 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响 1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；② 2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置 5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞。
二次函数专题讲解含答案
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
一、二次函数的定义：形如(a≠0，a，b，c为常数)的函数为二次函数.二、二次函数的性质：(1)二次函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；函数(2)二次函数的图象是一条抛物线.顶点为(-，)，对称轴；函数抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸三、二次函数的三种表现形式1）一般式：2）顶点式：；3）两根式： 其中、是二次函数的与轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数根的由来——配方法 第一步：提公因式。
看二次项的系数是否为1，若系数不为1，则要先把系数提公因式，使二次项的系数变成1；若系数是1，就可以直接进行配方。
如：函数2246y x x =++的二次项2(0)y ax bx c a =++≠2()(0),)y a x h k a h k =-+≠此时二次函数的顶点坐标为(12()()y a x x x x =--1x 2x x 122x x x +=系数是2，因此不能直接配方，要先把2提出来，即：22(23)y x x =++。
第二步：配方。
配方的方法是：二次项以及一次项保持不变，在常数项上加上一次项系数一半的平方，同时，为了保持原式不变，加上了一个什么数，就要减去一个相同的数；如：222222[2()()3]22y x x =++-+第三步：整理配方的前三项可以组成一个完全平方式，再把常数项算出最后的结果即 可,如：22[(1)13]y x =+-+ ， 即：22(1)4y x =++ 。
高中数学-二次函数
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式()2f x ax bx c =++，首先需要考虑a 是否等于0，若0a =，则函数不是二次函数. 2.二次函数的三种表现形式1）一般式：2(0)y ax bx c a =++¹2）顶点式：2()(0),)y a x h k a h k =-+¹此时二次函数的顶点坐标为此时二次函数的顶点坐标为((；3）分解式：12()()y a x x x x =-- 其中1x 、2x 是二次函数的与x 轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线122x x x +=. 3.二次函数的图像与性质①开口方向：当0a >，函数开口方向向上；当0a <，函数开口方向向下；，函数开口方向向下； ②对称轴：2bx a=-； ③顶点坐标：（2b a -，244ac b a-）；若图象与x 轴有两个交点，分别为11(,0)M x ，22(,0)M x ，则12M M =12x x -=a D. ④增减性④增减性⑤最值()x R Î：当0a >时，函数有最小值，并且当2b x a =-，min y =244ac b a-；当0a <时，函数有最大值，并且当2bx a =-时，2max 44ac b y a-=；⑥与x 轴的交点个数：当24b ac D =->0时，函数与x 轴有两个不同的交点；D <0时，函数x 轴没有交点；D =0时，函数与x 轴有一个交点. 4.二次函数根的由来——配方法二次函数根的由来——配方法对20(0)ax bx c a ++=¹进行配方，变换为2b c xx++=，由于完全平方是：()2222a ab b a b ++=+即2222()x ax a x a ++=+，所以要变换为22222044b b b cx x a a aa ++-+=，变换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.∴222224()244b b c b ac x a a a a -+=-=.从而得到，在240b ac -³时有解，242b b a c x a-±-=；若240b ac -£，此时无解. 5.有关一元二次方程判别式24b ac D =-，联系韦达定理1）D >0有两个不等实根；D =0表示有两个相等实根，D <0表示没有实数根，实际就是()2,0x a p p +=<的情况. 2）a 、c 异号，此方程一定有两个解，且一根为正一根为负. 3）a 、b 异号时，两根相加为正数，表明两根在数轴上的中点大于0. 4）a 、b 同号时，两根相加为负数，表明两根在数轴上的中点小于0. 6.对于2y x =的特点和图象（幂函数的一种）1)开口朝上的抛物线图形，从原点（0,0）开始，1x <时，曲线变化缓慢，比y x =要小（分数或小数相乘，越乘结果越小），当过（1,1）点之后，图象加速上升，越向上越陡峭，斜率随x 的绝对值增大而增加. 2)图象关于y 轴对称. 3)(0,0)是图象的拐点，(,0]-¥上是减函数，(0,)+¥上是增函数. 4)图象与x 轴只有一个交点（0,0）。
高考数学一次函数与二次函数单选题专题复习题(含答案)
高考数学一次函数与二次函数单选题专题复习题1．函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示,则函数()2x g x a b =+-的图像是（）A. B.C. D.2．某超市商品的日利润y （单位：元）与该商品的当日售价x （单位：元）之间的关系为21221025x y x =-+-，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（）A.120元 B.150元 C.180元D.210元3．若0ab >，2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，2a b c +-的最大值为（）A.76B.1312C.1918D.25244．若全集U =R ，集合{}21A y y x ==+，{}12B x x =-≤≤，则()A B =U ð（）A.(),1-∞-B.()1,+∞C.()(),12,-∞-+∞ D.()(),12,-∞+∞ 5．如果函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()(0)f x f x x '=⋅-，那么()f x 的最大值一定为（）A.14-B.0C.14D.16．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为12x =-.有下列4个结论：①<0abc ；②b a c <+；③34b c <-；④当12x >-时，y 随x 的增大而增大.其中，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7．二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c+的最小值为（）A.-3B.3C.-4D.48．如果不等式20ax x c -+>的解集为{21}x x -<<∣，那么函数2y ax x c =++的图象大致为（）A. B.C. D.9．已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，如果满足()()22f a f a ->，那么实数a 的取值范围是（）A.()(),12,-∞-+∞B.()1,2-C.()2,1- D.()(),21,-∞-+∞10．设函数()()()2ln f x a x x b =-+，若()0f x ≤，则22a b +的最小值为（）A.15B.5C.12D.211．如图所示，关于二次函数2y ax bx c =++的图象有四个不同说法：①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 的增大而增大。
高考数学总复习 二次函数
高考数学总复习 二次函数1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 23、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。
4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题：（1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑：开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。
(2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0)注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法.5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m).（☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n).。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解9 二次函数
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第9讲二次函数通关一、二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方程(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。
通关二、二次函数的图像和性质R对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较小。
【结论第讲】结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系【例1】设abc >0，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像可能是（）【答案】D【解析】A 选项，由图像开口向下知a <0，由对称轴位置知2ba-<0，所以b <0。
若abc >0，则c >0，而由题图知f (0)=c <0，所以A 选项不符；B 选项，由题意知a <0，2ba->0，所以 0b >.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =>,所以B 选项不符;C 选项,由题图知0a >,02ba-<,所以0b >.若0abc >,则0c >,而由题图知(0)0f c =<,所以C 选项不符;D 选项,由题图知0,02ba a>->,所以0b <.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =<,所以D 选项正确.故选D.【变式】右图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分,图像过点(3,0)A -,对称轴为1x =-.给出下面四个结论:①24b ac >;②2a b -＝－1;③0a b c -+=;④5a b <.其中正确的是( ). A.②④B.①④C.②③D.①③【答案】B【解析】因为图像与x 轴交于两点,所以240b ac ->,即24b ac >,①正确.对称轴为1x =-,即1,202ba b a-=--=,②错误.结合图像,当1x =-时,0y >,即0,a b c -+>③错误.由对称轴为1x =-知,2b a =.又函数图像开口向下,所以0a <,所以52a a <,即5a b <,④正确.故选B.结论二、二次函数的对称性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2bx a=-,顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①如果二次函数()y f x =满足()()12f x f x =,那么函数()y f x =的图像关于x 122x x +=对称.②二次函数()y f x =使()()f a x f a x +=-成立的充要条件是函数()y f x =的图像关于直线(x a a =为常数)对称.【例2】若2()(2)3,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称,则c =_______. 【答案】2 【解析】由题意可知212b +=,解得0b =,所以012c+=,解得2c =. 【变式】已知二次函数2()f x ax bx c =++,如果()()(12f x f x =其中)12x x ≠,则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭_____.【答案】244ac b a-【解析】因为()()12f x f x =,所以()y f x =的图像关于122x x x +=对称,122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭244ac b a-=. 结论三、二次函数的单调性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠ (1)当0a >时,如图(a)所示,抛物线开口向上,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递减,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增,当2bx a=-时,2min 4()4ac b f x a -=;(2)当0a <时,如图(b)所示,抛物线开口向下,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递增,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.【例3】已知函数2()f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数,则实数k 的取值范围为_______.【答案】4k …或8k …【解析】函数2()f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是x 2k=.因为已知函数在[2,4]上是单调函数,所以区间[2,4]应在直线2k x =的左侧或右侧,即有22k …或42k …,解得4k …或8k …. 【变式】若函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是(). A.(0,3) B.(1,3) C.[1,3] D.[0,4]【答案】C【解析】因为函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,所以对称轴x a =应在1x =的右侧,3x =的左侧或与1,3x x ==重合,所以[1,3]a ∈.故选C.结论四、给定区间上的值域对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令02p qx +=: (1)若2bp a-…,则(),()m f p M f q ==; (2)若02b p x a <-<,则,()2b m f M f q a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;(3)若02b x q a -<…,则,()2b m f M f p a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭; (4)若2b q a-…,则(),()m f q M f p ==. 【例4】如果函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[,1]t t +上,求()f x 的最小值.【答案】2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟 【解析】函数2()(1)1f x x =-+,其对称轴方程为1x =,顶点坐标为(1,1),图像开口向上.如图()a 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +左侧时,有1t <,此时,当x t =时,函数取得最小值2min ()()(1)1f x f t t ==-+.如图()b 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +上时,有11t t +剟,即01t 剟.当1x =时,函数取得最小值min ()(1)1f x f ==.如图(c)所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +右侧时,有11t +<,即0t <.当1x t =+时,函数取得最小值,2min ()(1) 1.f x f t t =+=+综上,2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟【变式】已知二次函数()f x 的最小值为1,且(0)(2)3f f ==.(1)求()f x 的解析式;(2)若()f x 在区间[2,1a a +]上不单调,求a 的取值范围; (3)若[,2]x t t ∈+,试求()y f x =的最小值.【解析】(1)因为()f x 是二次函数,且(0)(2)f f =,所以()f x 图像的对称轴为1x =.又()f x 的最小值为1,设2()(1)1(0)f x k x k =-+>,又(0)3f =,所以2k =.所以()f x =222(1)1243x x x -+=-+.(2)要使()f x 在区间[2,1]a a +上不单调,则211a a <<+,所以102a <<. (3)由(1)知,()y f x =的对称轴为1x =,若1t …,则()y f x =在[,2]t t +上是增函数,min y 2243t t =-+;若21t +…,即1t -…,则()y f x =在[,2]t t +上是减函数,min (2)y f t =+=2243t t ++;若12t t <<+,即11t -<<,则min (1)1y f ==.综上,当1t …时,2min 24y t t =-3+;当11t -<<时,min 1y =;当1t -…时,2min 243y t t =++.结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系设2()(0)f x ax bx c a =++> ①0∆<⇔函数()y f x =的图像与x 轴无交点⇔方程()0f x =无实根⇔不等式()0f x >的解集为⇔R 不等式()0f x …的解集为∅.②0∆=⇔函数()y f x =的图像与x 轴相切⇔方程()0f x =有两个相等的实根⇔不等式()0f x >的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭.③0∆>⇔函数()y f x =的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程()0f x =有两个不等的实根:,(αβ设)αβ<⇔不等式()0f x >的解集为(,)(,)αβ-∞⋃+∞⇔不等式()0f x <的解集为(,)αβ.【例5】设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足0121x x a<<<(1)当()10,x x ∈时,证明1()x f x x <<;(2)函数()f x 的图像关于直线0x x =对称,证明:102x x <.【解析】证明(1)由题意可知()()12()f x x a x x x x -=--.因为1210x x x a<<<<,所以()()120a x x x x -->,所以当()10,x x ∈时,()f x x >.又1()(f x x a x -=-)()()()1211211,0x x x x x x x ax ax x x -+-=--+-<且22110ax ax ax -+>->,所以1()f x x <.综上可知,所给问题获证.(2)由题意可知2()(1)f x x ax b x c -=+-+,它的对称轴方程为12b x a-=-,由方程()f x 0x -=的两个根12,x x 满足1210x x a <<<,可得121102b x x a a -<<<<-得1212b x x a --=-12b a---,所以121111222b b b x x a a a a ----=-<----,即1b x a -<,而02bx a =-,故102x x <. 【变式】设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和()223x a a x a -++<0()a ∈R 的解集分别是A 和B .(1)若A B ⋂=∅,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使得A B ⋃=R ?如果存在,求出a 的值,如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)(){}2(,1)(2,),|()0A a a B x x a x a=-∞-⋃++∞=--<①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋂=∅,得212a aa a -⎧⎨+⎩……,解得12a -剟. 所以10a -<…或12a <….②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋂=∅显然成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋂=∅,得212a aa a ⎧-⎨+⎩……,解得a ∈R .所以01a <<.综上,实数a 的取值范围是[1,2]-. (2)假设存在实数a ,使得A B ⋃=R ,则:①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋃=R ,得212a a a a <-⎧⎨+<⎩,所以a 不存在.②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋃=R 显然不成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋃=R ,得212a a a a a ⎧<-⇒∈∅⎨>+⎩. 综上,不存在实数a 使得A B ⋃=R 成立.结论六、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>根的分布令2()(0)f x ax bx c a =++>图像＞充要0∆⎧…0∆⎧…()0f k <0∆…图像＞注:(1)一元二次方程根的分布问题需考虑:①∆;②对称轴;③区间端点函数值的符号.(2)若()0f k <,则不用考虑∆、对称轴的范围;方程有两根时要注意区分0∆>,还是0∆…. 【例6】二次方程()22120x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是().A.31a -<<B.20a -<<C.10a -<<D.02a << 【答案】C 【解析】令()22()12f x x a x a =+++-,则由题意可知(1)0f <且(1)0f -<,即220,20a a a a ⎧+<⎨-+>⎩,解得10a -<<.故选C .【变式】求实数m 的范围,使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=.(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.(2)有两个实根,αβ,且满足014αβ<<<<.(3)至少有一个正根.【答案】75(1)1(2)(3)154m m m <--<<--… 【解析】2()2(1)26y f x x m x m ==+-++.(1)依题意有(2)0f <,即44(1)260m m +-++<,得1m <-.(2)依题意有(0)260(1)450(4)10140f m f m f m =+>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩,解得7554m -<<-. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能:①有两个正根,此时可得0)0(0)(10202)f m ∆>⎧⎪⎪>⎨--⎪>⎪⎩…,即1531m m m m -≥⎧⎪>-⎨⎪<⎩或…,所以31m -<-….②有一个正根,一个负根,此时可得(0)0f <,得3m <-. ③有一个正根,另一根为0,此时可得6202(1)0m m +=⎧⎨-<⎩,所以3m =-.综上,1m -….。
2024天津市数学高考题第9题
2024天津市数学高考题第9题一、题目由于不知道具体的题目内容，那我就先按照一般高考数学题的类型来模拟一道第9题。
假设这是一道关于函数的题目：已知函数f(x)=ax²+bx + c（a≠0），其图像经过点(1,2)，且对称轴为x = -1，求函数的表达式。
二、解答1. 首先，因为函数图像经过点(1,2)，所以把x = 1，y = 2代入函数表达式可得：a×1²+b×1 + c = 2，也就是a + b + c = 2。
2. 又因为对称轴为x = -1，对于二次函数y = ax²+bx + c，对称轴的公式是x = -b/(2a)，所以 -b/(2a)= -1，即b = 2a。
3. 把b = 2a代入a + b + c = 2中，得到a + 2a+ c = 2，即3a + c = 2。
4. 再根据b = 2a，我们可以设a = 1（这里设a为1只是为了方便计算，设其他不为0的值也可以），那么b = 2。
5. 把a = 1，b = 2代入3a + c = 2中，可得3×1 + c = 2，解得c = -1。
6. 所以函数的表达式为f(x)=x²+2x - 1。
三、答案解析1. 对于这道题，关键是要掌握二次函数的基本性质。
像对称轴公式x = -b/(2a)是非常重要的知识点。
2. 在解题过程中，通过已知条件建立方程组来求解函数的系数a、b、c。
先利用函数过点(1,2)得到一个方程，再根据对称轴得到另一个方程，然后联立求解。
3. 设a的值是一种解题技巧，当我们得到b = 2a后，为了方便计算可以先给a赋一个值，从而求出其他系数。
这种方法在解决这类系数不确定的函数问题时比较常用。
希望我模拟的这道题和解答能让你对高考数学题有更多的理解和思考呢。
如果这真的是高考题，那同学们一定要好好复习函数相关的知识哦，函数在高考数学里可是相当重要的呢。
它就像一个神秘的魔法盒，只要你掌握了打开它的钥匙，也就是那些函数的性质和公式，就能在考试里轻松应对啦。
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[小题体验]
1．已知幂函数y＝f(x)的图 象经过点，则f(2)＝( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A．1 4
C． 2 2
B．4 D． 2
[小题体验]
2．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数 ，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数 m的值为________．
[小题体验]
3．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数 ，则实数m的取值范围是________．
a＜0
图象
定义域 值域
单调性 奇偶性 图象特点
R
4ac－b2，＋∞ 4a
－∞，4ac－b2 4a
在
－∞，－ b 2a
上递减，在
在
－∞，－ b 2a
上递增，在
－ b ，＋∞
2a
上递增
－ b ，＋∞
2a
上递减
b＝0 时为偶函数，b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数
①对称轴：x＝－ b ； 2a
－ b ，4ac－b2 ②顶点： 2a 4a
10．(2017·绍兴期中)已知函数f(x)＝－x2＋2bx＋c，设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值为M. (1)若b＝2，试求出M； (2)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求k的最大值．
1．已知在(－∞，1]上递减的函数 f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的 x1，x2∈[ 0 ，t ＋1] ，
常见的命题角度有：
(1)二次函数的单调性问题；
(2)二次函数的最值问题；
(3)二次函数中恒成立问题．
知识点四：二次函数最值问题的3种类型及解题思路
01 (1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
02
(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间
两个端点和中点，一轴指的是对称轴．
知识点一：
学习点
对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次 函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说 明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是________．
2．给出下列命题： ①函数 y＝2x 是幂函数； ②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当 n＜0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数； ④二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[ m，n] 的最值一定是4ac－b2.
A．c＜a＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
3．(2018·诸暨月考)已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，
且在(0，＋∞)上是减函数，则 n 的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
2．设 abc＞0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( )
3．已知函数 f(x)＝x2－x＋1，在区间[ －1,1]上，不等式 f(x)＞2x＋m 恒成立，则实数 m 的
角度三：二次函数中恒成立问题
取值范围是________．
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识
交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用．
高考数学二次函数专题
距离2020年高考还有85天
二次函数解析式的三种形式
01 一般式：f(x)＝ax2＋bx+c(a≠0)； 02 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； 03 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx＋c
a＞0
x2＋x，x≤0，
7．已知函数 f(x)＝
为奇函数，则 a＋b＝________.
ax2＋bx，x＞0
8．已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0， 则实数a的取值范围是________．
9．(2018·杭州五校联盟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数满足 f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2. (1)求f(x)的表达式； (2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]内的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求 实数k的取值范围．
总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数 t 的取值范围为( )
A．[－ 2， 2]
B．[1， 2 ]
C．[ 2,3]
D．[ 1,2]
2．(2018·金华期末)已知f(x)＝mx2＋(1－3m)x＋2m－1. (1)设m＝2时，f(x)≤0的解集为A，集合B＝(a,2a＋1](a＞0)．若A⊆B，求a的取值范围； (2)求关于x的不等式f(x)≤0的解集S； (3)若存在x＞0，使得f(x)＞－3mx＋m－1成立，求实数m的取值范围．
1
1
1
4．若 a＝ 2 2，b＝ 5 2，c＝ 2 1，则 a，b，c 的大小关系是( )
3
3
3
1
1．已知点(m,8)在幂函数 f(x)＝(m－1)xn 的图象上，设 a＝f
3
1 2
，b＝f(ln π)，c＝f
－1 2
，
A．a＜b＜c C．b＜c＜a
B．c＜a＜b D．b＜a＜c
则 a，b，c 的大小关系为( )
5．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2] 上的最小值为4，则实数a的取值集合为 ________．
2．(2018·丽水调研)设函数f(x)＝ax2＋bx+c(a≠0，x∈R)， 对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，在函数值f(－1)， f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是( ) A．f(－1) B．f(1) C．f(2) D．f(5)
4a 其中正确的是________(填序号)．
知识点二： 求二次函数解析式
求二次函数解析式的方 法
1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－ 1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定 此二次函数的解析式． 2.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得 的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)， 求f(x)的解析式．
2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大
思路及1个关键
03
(1)思路：一是分离参数；二是不分离参 数．
(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函
数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数
是否可分离．这两个思路的依据是：
a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
1．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2] 上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( ) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2)。
知识点三：二次函数图像与性质
角度一：二次函数的单调性问题
1．已知函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数 a 的取值范
围是( )
A．[ －3,0)
B．( －∞，－3]
C．[ －2,0]
D．[ －3,0 ]
角度二：二次函数的最值问题
2．若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1,2]上有最 大值4，则a的值为________．
5．若函数
y＝x2－3x－4
的定义域为[ 0，m] ，值域为
－25，－4 4
，则
m
的取值范围是
()
A．[ 0 ,4]
3，4 B. 2
3，＋∞ C. 2
3，3 D. 2
6．(2018·宁波模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，对于任意实数a，总存在实数m， 当x∈[m，m＋1]时，使得f(x)≤0恒成立，则b的取值范围为________．
小题体验
2．已知y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x) ＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立， 则m－n的最小值为( ) A. B． C. D．1
3．设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求 函数f(x)的最小值．
1．幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是( ) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
3．(2018·金华模拟)已知幂函数y＝f(x)的 图象经过点，则它的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
4．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区 间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝， 则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”， x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1,1]上的 平均值函数，0就是它的均值点．现有函数 f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数， 则实数m的取值范围是________．