第一章 矢量分析
第1章(矢量分析)
矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。
矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。
矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。
如：温度、质量、角度、长度等。
如：力、速度、电场强度、力矩等。
矢量的模：矢量的大小。
矢量的模记为：或。
A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。
即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。
FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。
能不能平移？下面只讨论自由矢量。
如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。
U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。
R A A e A 三个：、和。
R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。
ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。
e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
矢量的直角坐标分量表示
r v v v A= A ex + A ey + A ez x y z
s A = Aco α x s A = Aco β y A = Aco γ s z
2 A = Ax2 + Ay + Az2
z
A z
r A
A y
A x
y
r v A= A A e
x
v v v v eA = ex cosα +ey cos β +ez cosγ
r r r eρ × eφ = ez r r r eφ × e z = e ρ r r r e z × e ρ = eφ
2 2
x = ρ cos φ y = ρ sin φ z=z
ρ = x + y ， φ = y/ x tan
第一章 矢量分析
位置矢量
v r r r 线元矢量 dl = eρ dρ + eφ ρ dφ + ez dz
第一章 矢量分析
2、矢量的加减运算
v A
v B
直角坐标系下：
v v A+B
v v A− B
v −B
v A
v v A− B
v B
v v v v v v C = A + B = ( Ax + Bx )i + ( Ay + By ) j + ( Az + Bz )k
v v v v v v C = A − B = ( Ax − Bx )i + ( Ay − By ) j + ( Az − Bz )k
性质：
r B
AB sin θ
v v v v A× B = −B × A v v v v A × B = 0 ⇔ A // B
第1章 矢量分析
§1 .1 矢量及其代数运算
2 矢量代数运算
矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分 量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍 是矢量 ��
�� � �� � �� � A = ex A x + ey A y + ez A z
� � �� � �� � �� � B = e x Bx + e y B y + e z Bz
� � A = Ae
� � � 其中， A是矢量 A的大小; e 代表矢量 A 的方向。 � � e = A / A 大小等于1。
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢 （Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。 在直角坐标系中，用单位矢量 ex、 ey 、 ez 表征矢量分 别沿x、y、z轴分量的方向。
r
r=exX+eyY+ezZ
§1 .1 矢量及其代数运算
1 标量和矢量
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。
任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分 量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别 是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ex、ey、ez可以将矢 量A表示成：
A=exAx+eyAy+ezAz
§1 .2 标量场的梯度
5 梯度的性质
4）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
§1 .2 标量场的梯度
6 梯度运算的基本公式
⎧ ⎪ ⎪∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎨∇ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎪∇ ⎪ ⎩
第1章 矢量分析
上
A a z dxdy
1 1
z 1
＋ A ( a z ) dxdy
下
＝
z0
1 2
z
0
1 2
AdV
V
0 0
1
( 3 x y ) dxdydz 2
0
故从立方体内穿出的通量为2，且高斯散 度定理成立，即
o
x 1
1
AdV
V
AdS
1 y
前 后
前
A a x dydz
x 1
＋ A ( a x ) dydz
后
＝1 0 1
x0
A d S＋ A d S＝
左 右
左
A（ a y ) dxdz
y0
＋ A a y dxdz
右
＝0
y 1
1 2
1 2
A d S＋ A d S＝
所包围
矢量场在闭合曲线 l 上的环量等于闭合曲线 l 曲面 S 上旋度的总和。
斯托克斯定理完成矢量旋度的面积分与该矢量的线积分 之间的互换。
第一章 矢量分析
【例1-4】 已知一矢量场 F a x xy a y 2 x , 试求： (1) 该矢量场的旋度； (2) 该矢量场沿半径为3的四分之一 圆盘边界的线积分，如图示，验证斯托 克斯定理。
A
x
y
z
3x y
o
x 1
1 1
y
(2) 从单位立方体穿出的通量： x Ad S
S
A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S
第一章 矢量分析
11
标量场的等值线( 标量场的等值线(面)
u=c1 u=c2 u=c3
等值面族
电磁场与电磁波
2. 方向导数 概念： 概念：
∂u ∆u |M0 = lim ∆l ∂l ∆l →0
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
∂u 沿 方向无变化。 = 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 ∂l 特点：方向导数既与点M 有关， 特点：方向导数既与点 0有关，也与 l
∫ div F(x, y, z) = lim
∆V →0
S
F(x, y, z) ⋅ dS ∆V
∫ div F = lim
∆V →0
S
F ⋅ dS ∆V
∂Fx ∂Fy ∂Fz = + + ∂x ∂y ∂z
div F =∇⋅ F
第一章 矢量分析
21
电磁场与电磁波
散度的物理意义
矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性
F(r) = Fl (r) + Fc (r) = −∇u(r ) +∇× A(r )
无旋场 无散场
2. 矢量场的结构 • 无旋场（∇× Fl (r) = 0 无旋场（ ）
Fl (r) = −∇u(r) ∇×∇u(r) ≡ 0
好处？ 好处？
• 无散场（∇• Fc (r) = 0 无散场（ ）
Fc (r) =∇× A(r)
例如：温度场、电位场、高度场等。 例如：温度场、电位场、高度场等。
1.3 标量场的梯度
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析§1.1 标量场与矢量场一、场的概念如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。
二、标量场与矢量场标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。
),(t r u u =矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。
),(t r A A =三、静态场和时变场静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。
)(r u u =)(r A A = 时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。
),(t r u u=),(t r A A =标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。
§1.2 矢量场的通量 散度一、矢量线 矢量场的通量 1、矢量线(1)矢量场的表示在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。
矢量场可以用一个矢量函数)(r A来表示。
在直角坐标系中表示为：),,()(z y x A r A=(2)矢量线在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。
矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。
例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。
(3)矢量线方程0)(=⨯r A r d在直角坐标系下为：)()()(r A dzr A dy r A dx z y x == 2、矢量场的通量 通过面积元的通量：S d r A d⋅=Φ)(通过有限面积的通量：⎰⋅=ΦSS d r A)(通过闭合曲面的通量：⎰⋅=ΦS S d r A)(二、矢量场的散度 1、散度的定义在矢量场)(r A中的任意一点M 处作一个包围该点的任意闭合曲面S ，所限定的体积为τ∆。
矢量场)(r A在点M 处的散度记作A div ，其定义为：ττ∆⋅=⎰→∆SS d r A A div)(lim 0 2、散度在坐标系下的表示A A div ⋅∇=定义哈密顿算符：ze y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇(1)在直角坐标系中的表示zuy u x u A ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ (2)在圆柱坐标系中的表示()zA A A A z∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρρρρφρ11 (3)在球坐标系中的表示()()φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r r r A r sin 1sin sin 1122 3、散度的性质(1) 散度是通量源的密度；0>⋅∇A表示该点有发出通量线的正通量源；0<⋅∇A表示该点有接收通量线的负通量源；0=⋅∇A表示该点无通量源。
第1章矢量分析
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
磁石吸铁
电荷之间的作用力 库仑定律
电流产生磁场
电流之间的作用力 安培定律
时变磁场产生时变电场 电磁感应定律
重大突破
1873年英国科学家麦克斯韦（1831—1879）提出了位 移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建 立了严格的数学方程——麦克斯韦方程。
麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国物 理学家赫兹（1857—1894）的实验证实。
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别 进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然 后再介绍时变电磁场。
物质属性
电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它 具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁 场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁 场与电磁波的能量特性。
矢量分析报告
第一章 矢量分析
静电场的基本方程是
(1-52) 对于各向同性的媒质, 电通量密度和电场强度的关系为
D=εE, 因而式(1-52)可改写为
假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散 度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令
第一章 矢量分析
由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度, 根据矢量场由其 散度和旋度唯一确定, 那么矢量g应该为零矢量, 也就是矢量 F 与矢量G是同一个矢量。
因为▽·F= ▽ ·G, 所 以
同样由于▽ ×G= ▽ ×F, 所 以
拉普拉斯微分算子▽ 2的表示式为
第一章 矢量分析
例1-14 在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中, 当距 r>>l离时, 其空间电位的表达式 为
求其电场强度E(r, θ, φ)。 解: 在球面坐标系中，哈密顿微分算子▽的表达式为
第一章 矢量分析
因为
第一章 矢量分析
1.6 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的简单表达是: 若矢量场F在无限空间中处处单 值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场 由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度 和一个矢量函数的旋度之和， 即
图 1-6 例 1-11 图
第一章 矢量分析
解: 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。
第一章 矢量分析
例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点 M(1，0 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
解: 矢量场A的旋度
第1章-矢量分析
。
类似的，场点 P 的坐标为（x，y，z）,其位置矢量为 ，其模为 。 位置矢量描述的是空间一点相对于坐标原点的位置关 系，而空间任意两点之间的位置关系可用相对位置矢量来 描述。如图 1.3 所示， R 是以 P 为起点, P 为终点的空间矢 量，其模表示 P 相对于 P 的距离，其方向表示 P 点相对于 P 点所处的方位，类比于位置矢量,称 R 为 P 相对于 P 的相对 位置矢量，显然有 R ( x x )ex ( y y )e y ( z z )ez ，类似的， 也可以有 P 相对于 P 的相对位置矢量 R ，而且有 R R 。
x
y
z
坐标向量)，其中 A ，A ，A 为矢量 A 在三个坐标轴上的分量。 若无特殊说明，三个分量都是单值、连续，且存在一阶连 续偏导数。设 M 为矢量线上任意点，其矢径为：
y
z
OM r xex ye y zez
该矢径的微分为：
（1-4）
（1-5） 由导数矢量的几何意义知，dr 为矢量线在 M 点处的切线矢 量，由矢量线的定义， dr 与在 M 点处的场矢量 A A , A , A 相
z
z z0 平面
ez ey
M
ex
x x0 平面
y
y y0 平面
x
图 1.5 直角坐标系
在直角坐标系中的三个坐标变量分别是 x，y，z，它 们的变化范围分别是：
x ， y ， z
0
0
(1-21)
若空间中任一点 M 的在三个坐标轴上的坐标分量确 定，假设为（ x ， y0 ， z0 ）,则点 M 即是 x x 平面、 y y 平面
第一章 矢量分析
∮c F·dl
ΔS
ΔS→0
称为矢量场F在点M处沿方向en的环流密度 记作rotnF. 称为矢量场F在点M处沿方向en的环流密度，记作rotnF. 的环流密度， 即 rotnF= ΔS→0
lim
∮c F·dl
ΔS
(1.5.2)
1.5.2 旋度 1. 旋度的概念 矢量场F在点M处的旋度是一个矢量，记作rotF（ 矢量场F在点M处的旋度是一个矢量，记作rotF（或记 curlF,它的方向沿着使环流面密度取得最大的面元法线 作curlF,它的方向沿着使环流面密度取得最大的面元法线 方向，大小等于该环流面密度最大值， 方向，大小等于该环流面密度最大值，即
Fx
= Fy
这就是矢量线的微分方程．解此微分方程组， 这就是矢量线的微分方程．解此微分方程组，即可得到矢 量线方程，从而绘制出矢量线． 量线方程，从而绘制出矢量线．
１.４.２ ４２
通量
在分析和描绘矢量场的性质时， 在分析和描绘矢量场的性质时，矢量场穿过一个曲面的通量 是一个重要的基本概念． 为一空间曲面， 为曲面 为曲面Ｓ 是一个重要的基本概念．设Ｓ为一空间曲面，ds为曲面Ｓ上的面 元，取一个与此面元相垂直的单位矢量en,则称矢量 则称矢量 ds=ends (1.4.4) 为面元矢量． 为面元矢量．en的取法 有两种情形：一是ds为开曲面 上的一个曲元， 为开曲面Ｓ 有两种情形：一是 为开曲面Ｓ上的一个曲元，这个开曲面 由一条闭合曲线Ｃ围成，选择闭合曲线Ｃ的饶行方向， 由一条闭合曲线Ｃ围成，选择闭合曲线Ｃ的饶行方向，按右螺旋
rotzF= lim 因此， 因此，得到 rotF rotF＝
ey
∮c F·dl
ΔS z
ΔSz→0
rotxF+
第一章 矢量分析
工程数学---------矢量分析与场论
矢径函数 r xi y j zk d r d xi d y j d zk 2 2 2 d r (d x) (d y) (d z)
dA dt
或
A(t )
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
工程数学---------矢量分析与场论
2.导矢的几何意义 A A t A 与A 同 t 0 t 向， A 与 A 反向， t 0 t A 始终指向 t 增大的方向, t (t ) lim A 为切向量， A 始终指向 t 增大的方向. t 0 t
t t0 t t0 t t0 t t0
工程数学---------矢量分析与场论
极限运算法则
工程数学---------矢量分析与场论
4.连续: 设矢性函数
t t0
在点
的某去心邻域内有定义 ,
且 lim A(t ) A(t0 ), 则称
若 连续.
在 连续.
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
工程数学---------矢量分析与场论
4.导数公式
1) (C ) 0 2) ( A B) A B 3) (uA) u A u A 4) ( A B) A B A B 5) ( A B) A B A B dA du d 6) A(u (t )) du dt dt
工程数学---------矢量分析与场论
2.不定积分公式
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
第一章 矢量分析
e1 =
∂r ∂ u1
∂r ∂ u1
∂r 若记 hi = ，则单位矢量为 ∂ui
∂r
ei =
∂ ui
hi
(i = 1 , 2 , 3 )
hi称为拉梅系数（Lame'）或度量因子 3、求解拉梅系数 直角坐标系 正交坐标系 根据定义式 hi
ˆ ˆ ˆ r = xx + y y + z z
dl = dr = r ( M ′) − r ( M )
z
M ( u1 , u 2 , u 3 )
ห้องสมุดไป่ตู้
M ′( u 1 + d u1 , u 2 + du2 , u 3 + d u3 )
dl (dr )
r (M )
o x 图 1－ 7
r (M )
根据全微分运算法则
dl = d r =
∂r ∂r ∂r du1 + du 2 + du 3 ∂ u1 ∂ u2 ∂ u3
则称，当 t → t0 时矢性函数F (t ) 有极限，记作
lim F ( t ) = F0
t → t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且
lim F ( t ) = F ( t0 )
t → t0
则称F (t ) 在 t = t0 处连续。
2、导数与微分
⑴导数：设矢性函数 F (t ) 在
②矢端曲线
★矢径
r (t ) 或 r (M )
二、基本运算 1、极限和连续 ⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 都存在一个正数δ，使得满足
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
第一章 矢量分析
面元矢量：
2 dSr er dl dl er r sin d d dS e dlr dl e rsin drd dS e dlr dl e rdrd
0（半平面）
球坐标系
体积元：
B
A B
A
矢量的加法
交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A
A B
矢量的减法
6
（2）标量乘矢量
kA ex kAx ey kAy ez kAz
任意空间矢量： A er Ar e A e A 位置矢量： r er r
17
⑤ 线元、面元、体积元的表示：
线元矢量：
0（圆锥面）
r r0
dl er dr e rd e rsin d
（球面）
P(r0 ,0 ,0 )
x r sin cos y r sin sin z r cos 2 2 2 r x y z 2 2 x y -1 tg 或 = tg z -1 y =tg x
0（半平面）
空间任意矢量： A ex Ax ey Ay ez Az 位置矢量： r ex x ey y ez z
坐标单位矢量： ex , ey , ez
11
线元矢量： dl e xdx e ydy e zdz
面元矢量： dS x ex dl y dlz e y dz xd
用坐标分量表示为 A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
第1章 矢量分析1
矢量A 与B 的叉积
A
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（5）矢量的混合运算
—— 分配律 ( A B) C A C B C ( A B) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B (C A) C ( A B) —— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C —— 矢量三重积
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：u ( x, y, z )、F ( x, y, z ) 时变标量场和矢量场可分别表示为： u ( x, y, z, t ) 、 F ( x, y, z, t )
15
1. 标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 等值面方程： u ( x, y, z ) C 等值面的特点： • 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
z
A ex Ax ey Ay ez Az
Ax A cos Ay A cos
Az
Ax O
A
Ay
y
x Az A cos A A(ex cos ey cos ez cos )
eA ex cos e y cos ez cos
e e
er
0 0 1
ey
z
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第一章 矢量分析§1 场的概念 一. 矢量与标量1.概念标量 实数域内只有大小的量。
如：电压、温度、时间、电荷等。
矢量 实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。
如：力F 、电场强度E 、磁场强度H、速度等。
常矢：矢量的模和方向都不变。
如：x e 、y e 、z e。
变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。
如：r e 、θe 、ϕe 、ρe。
物理量 标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。
2.矢量的表示印刷 黑体 A ；A(白体)表示A的模。
手写 模和方向均表示出。
表示A 的方向(模为1)。
A 表示矢量A 的模。
▪ 零矢（空矢）：模为零的矢量。
0▪单位矢量：模为1的矢量。
如直角坐标系坐标轴方向x e 、y e 、z e （参考书）。
也有用x a、y a 、z a或i 、j 、k 或 x ˆ、y ˆ、z ˆ 等表示。
若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。
如直角坐标系中，矢量A的三个分量模值分别是A x , A y , A z ，则直角坐标系： A的模为 A的单位矢量为判断以下手写表示是否正确：（矢量≠标量） （标量≠矢量） ☹ 常见手写表示错误： Aa A 0=A A a=0zz y y x x A e A e A e A ++=222z y x A A A A ++=γβcos cos cos ˆ0z y x zz y y x x A e e a e A A e A A e A A e A A a A++=++===5=E 5x e E=5x e E =765zy x e e e E ++= 765z y x e e e E++=二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系：∙ 点乘 垂直 平行点乘符合交换律： ∙ 叉乘平行 垂直注意：z x y e e e-=⨯ 叉乘不符合交换律： 三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。
“场”是一个函数，描述空间一定区域所有点的一个物理量。
2.场的分类a.矢量场与标量场物理量为矢量——矢量场。
如：万有引力(重力)场、电场。
物理量为标量——标量场。
如：温度场、压力场、电位场。
b.静态场与时变场物理量与时间无关——静态场。
如：静电场。
物理量与时间有关——时变场或动态场。
如：时变电磁场。
3.标量场的等值面和矢量场的矢量线a.标量场的等值面等值面（线） 标量场中 的所有点组成的曲面(线)。
∙ 等温面：温度场中温度相同的所有点组成的面。
z z y y x x A e A e A e A ++=zz y y x x B e B e B e B ++=B A C ±=)()()(z z z y y y x x x B A e B A e B A e ±+±+±=θcos AB B A =∙ θsin 0AB a B A n =⨯000B A n a a a ⨯=)(A B B A ⨯-=⨯10=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅z z y y x x x z z y y x e e e e e e e e e e e e =⋅B A )()(z z y y x x z z y y x x B e B e B e A e A e A e ++⋅++zz y y x x B A B A B A ++=A B B A⋅=⋅0=⨯=⨯=⨯z z y y x x e e e e e e z y x e e e =⨯x z y e e e =⨯y x z e e e =⨯=⨯B A )()(z z y y x x z z y y x x B e B e B e A e A e A e ++⨯++z y x z y x z y x B B B A A A e e e =)()()(x y y x z z x x z y y z z y x B A B A e B A B A e B A B A e -+-+-==⨯A A =⋅A A 2222A A A A z y x =++),,(z y x ϕC z y x =),,(ϕ∙ 等位面：电场中电位相同的所有点组成的面，二维空间为等位线。
b.矢量场的矢量线 矢量场 可用矢量线形象表示矢量 的空间分布。
如电场(力)线、磁场(力)线。
矢量线 曲线上的每一点的切线方向为该点的矢量 的方向；矢量线的疏密正比于场的大小。
§2 标量场的方向导数和梯度一仅用大小就可以表征的场为标量场。
标量场可以用一个标量函数来表示(直角坐标系)。
为考察标量场在空间的分布引入等值面。
令标量场的等值面，C 为任意常数。
随着C 的取值不同， 得到一系列不同的等值面。
为考察标量场在空间的变化规律引入方向导数和梯度。
如电位 的变化决定了场强 。
一.标量场的方向导数1.方向导数设M 0是标量场Φ=Φ(M)中一点，沿l 方向邻近M 0取一点M ，MM 0=Δl 。
若当M 趋于M 0时(即Δl 趋于零时)， 的极限存在，则称此极限为函数Φ(M)在点M 0处沿l 方向的方向导数。
方向导数说明：方向导数是函数Φ(M)在一点处沿某一方向对距离的变化率。
Φ沿l 方向增加； Φ沿l 方向减小。
2.方向导数的计算公式若函数Φ=Φ(x, y, z )在点M 0(x 0, y 0, z 0)处可微，则ω为Δl →0时的高阶无穷小 A),,(z y x A A ),,(z y x ϕϕ=ϕC z y x =),,(ϕϕϕA lM M l ∆-=∆∆)()(0ϕϕϕ0M l ∂∂ϕll ∆∆=→∆ϕ0lim l M M M M ∆-=→)()(lim 00ϕϕ0>∂∂l ϕ0<∂∂l ϕ)()(0M M ϕϕϕ-=∆l z zy y x x ∆+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=ωϕϕϕcos α、cos β、cos γ为Δl 的方向余弦，当Δl →0时，上式的极限值为(ω为高阶无穷小)：（方向导数的计算公式）二.梯度方向导数解决了函数Φ=Φ (M )在给定点处沿某个方向的变化率问题； 但场中沿给定点的不同方向，函数Φ的变化率一般是不同的。
函数Φ在哪个方向上变化率最大？为此定义一个矢量！ 1.梯度方向：函数Φ在点P 处变化率为最大的方向。
大小：最大变化率的值。
矢量 ，称为函数Φ在点P 处的梯度。
记为： 且2.梯度的表达式（直角坐标系）方向导数记矢量： ； 的单位向量。
则 ☺ 在 上的投影就是 方向的方向导数。
☺ 梯度的计算公式（表达式）：理解： 的模 就是φ在P 点的最大变化率； 的方向就是φ变化率最大的方向。
3.哈密顿算子为了方便，引入一矢性微分算子： ——哈密顿算子，读作“del (德尔)”。
兼有矢量和微分运算双重作用。
在直角坐标系中有：梯度用哈密顿算子的表达式为：=∆∆lϕωϕϕϕ+∆∆∂∂+∆∆∂∂+∆∆∂∂l zz l y y l x x ωγϕβϕαϕ+∂∂+∂∂+∂∂=cos cos cos z y x lx ∆∆=αcos ly ∆∆=βcos lz ∆∆=γcos =∂∂l ϕγϕβϕαϕcos cos cos z y x∂∂+∂∂+∂∂G ϕgrad G = maxl G ∂∂=ϕ=∂∂lϕγϕβϕαϕcos cos cos z y x ∂∂+∂∂+∂∂)(ze y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕ )cos cos cos (γβαz y x e e e ++∙ze y e x e G z y x ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕ γβαcos cos cos 0z y x e e e l ++=l =∂∂l ϕ0l G ⋅G 0l l m ax||l G ∂∂=φ G G==ϕgrad G ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ ∇ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇ ϕϕ∇=grad4.梯度的性质梯度与等值面、方向导数均有关系，是标量场的一个重要矢量。
a.梯度为矢量 方向：Φ变化率最大的方向。
大小：Φ最大变化率的值。
b.梯度与方向导数的关系 方向导数等于梯度在该方向的投影，由梯度计算方向导数。
c.梯度垂直与等值面 即某点的梯度的方向为过该点等值面的法向矢量的方向。
5.梯度的运算法则设c 为一常数，u 和v 为标量函数，则有例1 P 点为场点，位置矢量为 ；P ′点为源点，位置矢量为 。
场点P (x, y, z )与源点P ′(x ′, y ,′z ′)间的距离为R ，即证明： 其中▽′表示对场源 (带撇坐标x ′, y ′, z ′)作微分运算；即将P (场点)取为定点，P ′(源点)视为动点，对源点坐标作微分运算；▽ 对场点 (x , y , z )作微分运算。
证：则=∂∂lϕ0l ⋅∇ϕgradvu f u f grad ugradvvgradu v v u grad ugradv vgradu uv grad gradv gradu v u grad cgradu cu grad gradc )(')]([(1)()()(02=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=±=±==uu f u f v u u v vv u v u u v uv v u v u u c cu c ∇=∇∇±∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇∇+∇=∇∇±∇=±∇∇=∇=∇)(')]([)(1)()()(02或或或或或或r'r r R -='r31'1R R R R-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇z e y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ ''''z e y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ )'()'()'('z z e y y e x x e r r R z y x -+-+-=-= =R 2/1222])'()'()'[(z z z y y x x -+-+-⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂z e y e x e z y x 2/1222])'()'()'[(--+-+-z z y y x x x e =)21(-23222])'()'()'[(--+-+-z z y y x x )'(2x x -⨯)'(2])'()'()')[(21(2/3222y y z z y y x x e y -⨯-+-+--+- )'(2])'()'()')[(21(2/3222z z z z y y x x e z -⨯-+-+--+- 3)()()(R z z e y y e x x e z y x '-+'-+'--=3R R -=20R R -=2/1222])'()'()'--+-+-z z y y x x所以成立。