“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．
一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例1．如图1，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，
N 是DE 的中点．试问：MN 与DE 有什么关系？证明你的猜想．
猜想：MN 垂直平分DE.
证明：如图：连接ME 、MD ，在Rt△BEC 中，∵点M 是斜边BC 的中点，∴ME=2
1BC ，又NE ＝ND ，∴直线MN 是线段DE 的垂直平分线，∴NM⊥DE．即MN 垂直平分DE.
评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解．
二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质
例2．如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900，AD ∥BC ，∠图A D
F
CBE=12
∠ABE ， 求证：DE=2AB
分析：欲证DE=2AB ，则可寻DE 的一半，再让其与AB 相等，
取DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12
DE ，可证得△A FD ， △ABF 均为等腰三角形，由此结论得证．
证明：DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12
DE ，所以∠DAF=∠ADF ，又因为AD ∥BC ，所以∠CBE=∠ADF ，又因为∠CBE=12
∠ABE ，所以∠ABF=∠AFB ，所以AF=AB ，即DE=2AB ．
评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，
然后用性质来解决问题．
三、有中点、无直角，造直角，用性质 例3．如图3，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，
∠ADC+∠BCD=2700
，
求证：MN=12
（AB-CD ）． 证明：延长AD 、BC 交于P ，∵∠ADC+∠BCD=2700， ∴∠APB=900，连结PN ，连结PM 交DC 于K ，下证N 和K 重合，则P 、N 、M 三点共线， B A
C D P M N K 图
∵PN 、PM 分别是直角三角形△PDC 、△PAB 斜边上的中
线，∴PN=CN=DN=12CD ，PM=BM=DM=12
AB ， ∵∠PNC=2∠PDN=2∠A ，∠PMB=∠PKC=2∠A ，∴∠PNC=∠PKC ，∴N 、K 重合，
∴MN=PM-PN=12
（AB-CD ）． 评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=2700 ”，这样问题就易以解决了
四、逆用性质解题
例4．如图4，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，
P 是AE 的中点．
求证：BP ⊥DP ．
证明：如图3，连结BD 交AC 于点O ，连结PO ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=OC=OB=OD ，
∵PA=PE ，∴PO=12EC ，∵EC=AC ，∴PO=12BD ， 即OP=OB=OD ，∴BP ⊥DP ．
评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD ，证BD 边的中线等于BD 的一半．
请同学们试一试吧！
B
A C D E P 图O
1．如图5，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ， 求证：CD=12BE ． 2．如图6，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的
中点，求证：AB=2DM ．
1．提示：结论中的BE 是直角三角形的斜边，由12BE 应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，故应取BE 的中点F ，连结DF ，只需证明DC=DF ，即证∠C=∠DFC ．
2．提示：取AB 的中点N ，连结DN 、MN 即可．
直角三角形斜边上中线性质的应用 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用。

B A
C
D E
图A
C
B D M · 图
一、直角三角形斜边上中线的性质
1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt △BAC 中，∠BAC=︒90，
D 为BC 的中点，则BC 21AD =。

2、性质的拓展：如图1：因为D 为BC 中点，
所以BC 21DC BD ==，
所以AD=BD=DC=BC 21，
所以∠1=∠2，∠3=∠4，
因此∠ADB=2∠3=2∠4，
∠ADC=2∠1=2∠2。

因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
二、性质的应用
1、求值
例1、（2004年江苏省苏州市中考）如
图2，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，
若CD=4，则AB= ．
解析：由性质可知：CD AB 21=， 所以AB=2CD=8． 例2、（2006年上海市中考）已知：如图3，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 为AC 边上的中点，BC=14，AD=12，54
B sin =。

求ED
C tan ∠的值。

解析：由性质拓展可知：∠EDC=∠C 。

要求tan ∠EDC 的值，可转化为求tan
∠C 的值。

在Rt △ADB 中，
54AB AD B sin ==， 所以AB=15。

由勾股定理得：
91215AD AB BD 2222=-=-=，
所以DC=BC －BD=5。

在Rt △ADC 中，tan ∠C=
512DC AD =， 所以tan ∠EDC=512。

2、证明线段相等
例3、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，
点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。

（1）求证：DF=BE ；
（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G 。

求证：AG=DG 。

分析：（1）因为E 为BC 的中点，
所以BE=BC 21。

要证DF=BE ，即为
BC 21DF =， 连AE ，AE=BC 21，只需证DF=AE 。

因为EF 为△ABC 的中位线，
所以EF AB 21//=，而AD=AB 21，所以AD EF //
=。

故四边形AEFD 为平行四边形。

所以DF=AE ，从而DF=BE 这一命题得证。

（2）由性质拓展可知：∠1=∠2。

由（1）得AE ∥DF ，所以∠2=∠D 。

因为AG ∥BC ，所以∠1=∠DAG ，
因此∠D=∠DAG ，所以DG=AG 。

3、证明角相等及角的倍分关系
例4、已知，如图5，在△ABC 中，∠
BAC>90°，BD 、CE 分别为AC 、AB
上的高，F 为BC 的中点，求证：∠FED=
∠FDE 。

分析：因为BD 、CE 分别为AC 、AB 上的高，
所以∠BDC=∠BEC=90°。

在Rt △BDC 中DF 为斜边上中线， 所以BC 21DF =。

同理在Rt △BEC 中，
BC 21EF =，
所以DF=EF ， 所以∠FED=∠FDE 。

例5、（2003年上海市中考题）已知：
如图6，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中
线。

DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足。

求证：（1）G 是CE 的中点；（2）
∠B=2∠BCE 。

分析：（1）E 是Rt △ADB 斜边上中点，连DE ，则
BE AB 21DE ==，
所以DE=DC 。

又因为DG ⊥CE ，所以G 为CE 的中点。

（2）因为DE=DC ，所以∠1=∠2。

因为∠EDB=∠1+∠2，
所以∠EDB=2∠2。

由性质拓展知：∠B=∠EDB ，
所以∠B=2∠2，即∠B=2∠BCE 。

4、证明线段的倍分及和差关系
例6、（2007年呼和浩特市中考）如图7，在△ABC 中，∠C=2∠B ，D 是BC 上的一点，且
AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，连AE 。

求证：（1）∠AEC=∠C ；（2）求证：
BD=2AC 。

分析：（1）因为AE 是Rt △BAD 斜边BD 上中线，由性质拓展可知：
∠AEC=2∠B 。

又因为∠C=2∠B ，
所以∠AEC=∠C 。

（2）由（1）∠AEC=∠C ，所以AE=AC ，AE 是Rt △BAD 斜边上中线。

由性质可得： BD 21AE =，所以BD 21AC =，
故BD=2AC 。

例7、（第四届“祖冲之杯”初二竞赛）如图8，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A+∠
B=90°，E 、F 分别是AB 、CD 的中点。

求证：)CD AB (21EF -=。

分析：延长AD 、BC 交于G ，连GE 、GF 。

由于∠A+∠B=90°，
所以∠G=90°。

E 、
F 分别为DC 、AB 中点。

由性质可得： AB 21GF ,CD 21GE ==。

由性质拓展可得：
∠GDE=∠AGE ，∠GAF=∠AGF 。

因为CD ∥AB ，
所以∠GDE=∠GAF ，
所以∠AGE=∠AGF ，
所以G 、E 、F 三点在同一直线上，
所以)CD AB (21EF -=。

5、证明线段垂直
例8、如图9，在四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、DC 边上的中点。

求证：MN ⊥DC 。

分析：M 是Rt △ADB 与Rt △ACB 斜边上中点，连DM 、CM ，由性质可得：
AB 21MC DM ==，
所以△DMC 为等腰三角形。

又因为N 为CD 的中点，
所以MN ⊥DC 。

6、证明特殊的几何图形
例9、（2007年新疆维吾尔自治区中考）
如图10，将Rt △ACB 沿直角边AC 所在直线翻折180°得到Rt △ACE ，点D 与点F 分别是斜边AB 、AE 的中点，连CD 、CF ，则四边形ADCF 为菱形．请给予证明．
分析：由于△ACE 是△ACB 沿直角边AC 翻折得到的，
所以AB=AE ，∠ACE=90°．
因为D 、F 分别是Rt △ACB 和Rt △ACE 斜边上中线， 所以AF AE 21CF ,AD AB 21CD ====，
所以AD=DC=AF=FC ，
所以四边形ADCF 为菱形。

三、尝试训练
1、（黑龙江中考）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为 ．
2、（2006年重庆市中考）如图11所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB 的中线把这张纸张剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形（如图12所示），将纸张△AC 1D 1沿直线D 2B （AB ）方向平移（点A ，D 1，D 2，B 始终在同一条直线上），当点D 1与点B 重合时，停止平移，在平移过程中，C 1D 1与BC 2交于点E ，AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P 。

（1）当△AC1D1平移到如图13所示时，猜想图中D1E与D2F数量关系，并证明猜想：
3、如图14，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相交于O，∠BOC= 60，G、E、F分别是AB、OC、OD的中点。

求证：△GEF为等边三角形。

（提示：连AF、BE）。