背包问题的算法设计策略对比与分析实施报告

算法设计与分析大作业

0-1背包问题的算法设计策略对比与分析

0 引言

对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的。在一个大型软件系统的开发中，设计出有效的算法将起到决定性的作用。通俗的讲，算法是解决问题的一种方法。也因此，《算法分析与设计》成为计算科学的核心问题之一，也是计算机科学与技术专业本科及研究生的一门重要的专业基础课。算法分析与设计是计算机软件开发人员必修课，软件的效率和稳定性取决于软件中所采用的算法；对于一般程序员和计算机专业学生，学习算法设计与分析课程，可以开阔编程思路，编写出优质程序。通过老师的解析，培养我们怎样分析算法的“好”于“坏”，怎样设计算法，并以广泛用于计算机科学中的算法为例，对种类不同难度的算法设计进行系统的介绍与比较。本课程将培养学生严格的设计与分析算法的思维方式，改变随意拼凑算法的习惯。本课程要求具备离散数学、程序设计语言、数据结构等先行课课程的知识。

1 算法复杂性分析的方法介绍

算法复杂性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源的多少上，所需的资源越多，该算法的复杂性越高；反之，所需资源越少，该算法的复杂性越低。对计算机资源，最重要的是时间与空间（即存储器）资源。因此，算法的复杂性有时间复杂性T(n)与空间复杂性S(n)之分。

算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，这个量应集中反映算法的效率，并从运行该算法的实际计算机中抽象出来，换句话说，这个量应该只依赖要解决的问题规模‘算法的输入和算法本身的函数。用C表示复杂性，N,I和A表示问题的规模、算法的输入和算法本身规模，则有如下表达式：

C=F(N,I,A) T=F(N，I,A) S=F(N，I,A)

其中F(N,I,A)是一个三元函数。通常A隐含在复杂性函数名当中，因此表达式中一般不写A。

即：C=F(N,I) T=F(N,I) S=F(N,I)

算法复杂性中时间与空间复杂性算法相似，所以以下算法复杂性主要以时间复杂性为例：

算法的时间复杂性一般分为三种情况：最坏情况、最好情况和平均情况。下面描述算法复杂性时都是用的简化的复杂性算法分析，引入了渐近意义的记号O,Ω，θ，和o。

O表示渐近上界Ω表示渐近下界：

θ表示同阶即：f(n)= O(g(n))且f(n)= Ω（g(n)）

2 常见的算法分析设计策略介绍

2.1 递归与分治策略

分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问

题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。

分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 递归算法举例： Fibonacci 数列

无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称为Fibonacci 数列。它可以递归地定

义为：

第n 个Fibonacci 数可递归地计算如下： int fibonacci (int n) {

if (n <= 1) return 1;

return fibonacci (n-1)+fibonacci (n-2); }

从上看出：

递归算法的有点为：

结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

缺点为：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 分治算法：

一个分治法将规模为n 的问题分成k 个规模为n ／m 的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc 解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k 个子问题以及用merge 将k 个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n 的问题所需的计算时间，则有：

通过迭代法求得方程的解： 算法举例：

二分搜索技术：给定已按升序排好序的n 个元素a[0:n-1]

，现要在这n 个元素中找出一特定元素x 。

据此容易设计出二。搜索算法：

template

int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int l, int r) {

while (r >= l){ int m = (l+r)/2;

if (x == a[m]) return m;

if (x < a[m]) r = m-1; else l = m+1;

11

0)2()1(11)(>==⎪⎩

⎪⎨⎧-+-=n n n n F n F n F 1

1)()/()1()(>=⎩⎨

⎧

+=n n n f m n kT O n T ∑-=+

=1log 0log )

/()(n m j j j k m m n f k

n n T

}

return -1;

}

算法复杂度分析：

每执行一次算法的while 循环， 待搜索数组的大小减少一半。因此，在最坏情况下，while 循环被执行了O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn)。

快速排序法：

在快速排序中，记录的比较和交换是从两端向中间进行的，关键字较大的记录一次就能交换到后面单元，关键字较小的记录一次就能交换到前面单元，记录每次移动的距离较大，因而总的比较和移动次数较少。

void QuickSort (Type a[], int p, int r) {

if (p

int q=Partition(a,p,r);

QuickSort (a,p,q-1); //对左半段排序 QuickSort (a,q+1,r); //对右半段排序 } }

复杂性分析：

最坏时间复杂度：O(n2) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n)或O(logn)

2.2 动态规划

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。 方法步骤：

1）找出最优解的性质，并刻划其结构特征。

2）递归地定义最优值。

3）以自底向上的方式计算出最优值。

4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 举例：矩阵连成问题 基本要素：

1） 最优子结构 2） 重叠子问题 3） 备忘录方法

将矩阵连乘积 简记为A[i:j] ，这里i ≤j

考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak 和Ak+1之间将矩阵链断开，i ≤k

)

...)(...(211j k k k i i A A A A A A +++