切应力公式推导讲解学习

将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有
σ K M Iz Cy 0 . 5 3 8 1 1 3 3 4 0 0 ( 0 .0) 6 3 .0 1 96 P 0 a 3 .0M 9 P
K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。
§6－2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件
对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最
五、横力弯曲
在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪 力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁， 大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应 用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截 面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工 程中的精度要求。
σ My Iz
z
h y
按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应
dA y
力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应 用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正
应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力
为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中
的 y 看作求应力的点离中性轴 z的最大应力
d2
第六章
§6－1 梁的正应力
一、纯弯曲与平面假设
1、纯弯曲——梁或梁 上的某段内各横截面上 只有弯矩而无剪力(如图 5－1中的CD段)。
2、 横力弯曲——梁或 梁上的某段内各横截面上 既有弯矩又有剪力(如图6 －1中的AC、BD段)。
弯曲应力
F a (a) AA
Cl
F (b)
FS图 (c)
M图
图6－1
My
zσdA0
A
(e)
(f)
Mz
yσdAM
A
FN
σdA0
A
(d)
My
zσdA0
A
(e)
(f)
Mz
yσdAM
A
又
F NAdAE AydAE zS 0
因为 E 不等于零，所以有
Sz 0
(g)
即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面 的形心，于是就确定了中性轴的位置。
远的位置，此时
σmax
M Iz
ymax
σmax
M m ax Wz
而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截
面上，距中性轴最远的位置，即
σmax
Mmax Iz
ymax
σmax
M m ax Wz
（6－5）
式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。
式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。
Oz y b
d1 h
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横 截面上最大拉应力和最大压应力的 值相等；中性轴 z 不是横截面对称 轴的梁 (如图) ，其横截面上的最大 拉应力和最大压应力的值不相等。
yt,max
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应
力的值为
max
Mymax Iz
M yImzax
nq (b)
图6－2
二、正应力公式的推导
1、几何方面
中性层
dθ
m
p
n
q
dx
(a)
m
p
中性轴
O1 a
Ob2
n
q
(b) 图6−3
ρ
O1 dx ya
O2 b
(c)
弧线O1O2的长度为：
dx ρdθ
(a)
距中性层为 y 处的纵向纤维ab 的伸长为 ： (ρy)d θρdθydθydx (b)
dx
ρ
y
相应的纵向线应变为 ：
即有
1 M EI z
（6－3）
上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。
将式（6−3）代入式（6−2），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应
力的计算公式为
σ My Iz
（6－4）
三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为
σ My
（6－4）
Iz
b
应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正
Oz
的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M
x
dx
y
（6－1）
2、物理方面
梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线
应变的关系为：
σEε
将式 y 代入，得
σE y ρ
(c) （6－2）
此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比， 并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如图5−4所示。
图6－4
3、静力学方面
由式（e）可得 M yAzdAE Ayd zAE yIz0
因此
Iyz 0
(h)
即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过
横截面的形心，所以其应为横截面的形心主轴。
FN
σdA0
A
(d)
My
zσdA0
A
(e)
(f)
Mz
yσdAM
A
最后由式（f）可得
M zAydAE Ay2dAE zIM
M Wz
（6－5）
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。
横截面上应力分布
d2
b
c, max
h yt,max yc,max d1
Oz oz
y
y b
t,max
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力
值和最大压应力值为
t,max
Myt,max Iz
c,max
Myc,max Iz
对矩形截面
bh3 12 bh2 Wz h 2 6
对圆形截面
Wz
d4
d
64d3
2 32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，可以在
型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力 不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为
由图6−4可以看出，梁横截面 上各微面积上的微内力dFN=σdA
图6－4
构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量
FN
σdA ， My
A
zσdA ，
A
Mz
yσdA A
由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩 M，所以有
FN
σdA0
A
(d)
F a B
D
F
Fa
3、梁的纯弯曲实验
横向线(mn、pq）变形后 仍为直线，但有转动；纵向 线变为弧线，且上缩下伸； 横向线与纵向线变形后仍保 持垂直。
由梁变形的连续性可知： 在梁中一定有一层上的纤维 既不伸长也不缩短，此层称 为中性层。中性层与梁横截 面的交线称为中性轴。
mp
nq
(a)
F
F
C
mp
D
例题6−1 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知 h =0.18m，b=0.12m，y =0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。
解：先求出C截面上弯矩 MC Fa 1.5103 2
3103 N m 截面对中性轴的惯性矩
例题6－1图
Izb 13h 2 0 .11 2 0 .1 238 0 .58 13 4 0 m 4