07第七讲 信息融合 状态估计-卡尔曼滤波
卡尔曼滤波的融合原理
卡尔曼滤波的融合原理
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种基于贝叶斯估计理论的递归最优线性最小方差滤波器，它在信号处理和控制工程领域中广泛应用，尤其擅长于多传感器数据融合以及动态系统的状态估计。
其融合原理可以简化表述如下：
1.预测阶段：
1.利用系统的动态模型，根据上一时刻的状态估计值及其协方差矩
阵，结合当前时刻的系统输入（如果有），通过状态转移方程预测下一时刻的状态和相应的预测误差协方差矩阵。
2.更新阶段：
1.当新的观测数据可用时，通过观测模型计算出一个预测与实际观测
之间的残差（即所谓的卡尔曼增益K）。
2.卡尔曼增益是基于预测误差协方差和观测噪声的协方差之比确定
的，它反映了对预测的信任度和对观测的信任度的相对权重。
3.使用这个增益来调整预测状态，得到一个更加准确的状态估计，也
就是将预测结果与实际测量值进行加权融合。
4.同时更新后验状态误差协方差矩阵，以反映新信息被融合后的不确
定性。
整个过程的关键在于如何最优地结合来自系统动力学模型预测的信息（先验信息）与从传感器获取的实时观测信息（后验信息）。
由于假定噪声项服从高斯分布，卡尔曼滤波能够找到一种数学上的最优解，使得状态估计具有最小均方误差。
在实际应用中，这种融合方法非常强大且灵活，可以处理连续时间或离散时间的线性系统，对于非线性系统则可通过扩展如扩展卡尔曼滤波等方法来近似处理。
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
卡尔曼滤波方法
次提出的一种估计方法。之所以称为滤波，是因为它是一 种排除随机干扰，提高检测精度的一种手段。
• KF是基于最小方差准则推导出来的一种线性滤波器。 • KF是一种时域递推算法，根据上一状态的估计值和当前
状态的观测值推出当前状态，不需存储大量的历史数据， 便于计算机实现。
xˆk xˆk K( yk yˆk )
Px, k Px, k KPy, k K T
27
Xˆ k|k Xˆ k k1 Kk Z~k k1
测量更新 /修正
方差估值 Pk k [I Kk Hk ]Pk k1
7
3.5 卡尔曼滤波的结构图
上述递推公式，称为卡尔曼滤波器。实际上，卡尔曼 滤波器也是一个系统，其结构框图如下：
Zk + -
+
Kk
+
Z k|k 1
当前估计值
Xˆ k
14
3.7 联邦卡尔曼滤波
• 卡尔曼滤波最成功的工程应用是设计运载体的高精度组合
导航系统。为了与联邦滤波方法相区别，将普通的卡尔曼
滤波称为集中卡尔曼滤波。
• 由于对导航精度要求的提高，导航设备越来越多。另一方
面，现代系统向大系统和复杂系统的方向发展。这种情况
下采用集中式卡尔曼实现组合导航，存在两个问题：
yˆ
k
W (m) i
i
k|k 1
i0
2n
Py, k
Wi
(c)
[
i k|k
1
yˆ k
][
i k|k 1
yˆk ]T
07第七讲 信息融合 状态估计-卡尔曼滤波
观测模型由下式给出：
z(k)=cx(k)+v(k) 式中：c——测量因子； v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪声。 最优递推估值器的信号和观测模型如图所示。
32
W (k－ 1 )
＋ ＋
∑
x(k)
c
∑
z(k)
a
z－ 1
V(k)
最优递推估值器的信号和观测模型
33
2、标量卡尔曼滤波器
a(k)=a［1-cb(k)］
最后有递归估值器：
ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
34
b(k)为滤波器增益
2 2 1 b(k ) cP ( k )[ c P ( k ) 1 1 n]
其中,
2 2 P ( k ) a P ( k 1 ) 1 w
如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
16
式中， zk与非递归情况相同； a是一个小于 1的滤波器加权系数，
k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出 k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
19
1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1 2 2 ˆ P E[( X x ) ] E[( hi zi x ) ] i 1 m
m
20
对 m 个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
均方误差
1 2 P ( k ) n b( k ) c
状态估计之kalman滤波
Π
其中：
Π
进而：
2012/6/6
Π
8
5.1 卡尔曼滤波
● 针对随机线性时不变离散系统，用状态方程描述如下：
⎧ X k = Φk ,k −1 X k −1 + Γ k ,k −1Wk −1 状态(转移)方程 ⎨ 观测方程 ⎩Zk = Hk X k + Vk
ˆ E ⎡ba T ⎤ = E ⎡ ( I − K k H k )Wk −1 ( X k −1 − X k −1 ) T ΦkT ( I − K k H k ) T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T E ⎡bc T ⎤ = E ⎡( I − K k H k )Wk −1VkT K k ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ E ⎡ca T ⎤ = E ⎡ K kVk ( X k −1 − X k −1 )T ΦkT ( I − K k H k )T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E ⎡cb T ⎤ = E ⎡ K kVkWkT ( I − K k H k )T ⎤ -1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2012/6/6
3
5.1 卡尔曼滤波
从观测到的信号中估计出状态的估值，并且希望 估值与状态的真实值的误差越小越好，即要求有：
ˆ x(t ) − x(t ) = min
因此存在最优估计问题，这就是卡尔曼滤波。 如何去估计状态值是一个非常重要的问题，卡尔 曼滤波通常用当前时刻输出测量值和前一时刻的 状态估计值去估计当前时刻的状态值。
ˆ ˆ = Φk ( X k −1 − X k −1 ) − K k H k Φ k ( X k −1 − X k −1 ) + Wk −1 − K k H kWk −1 − K kVk
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的强大工具，它在许多领域都有着广泛的应用，包括航空航天、自动控制、金融领域等。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和应用，并探讨其在状态估计模型中的重要性。
首先，让我们了解一下卡尔曼滤波的基本原理。
卡尔曼滤波是一种递归的状态估计方法，它通过将系统的动态模型和测量模型结合起来，不断地更新对系统状态的估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型来预测下一个时刻的状态，然后利用测量值来修正这一预测，从而得到对系统真实状态的更准确估计。
在实际应用中，卡尔曼滤波通常用于处理带有噪声的传感器数据，以及对系统状态进行估计。
例如，在飞行器导航系统中，卡尔曼滤波可以用来估计飞行器的位置和速度，从而实现精确的导航控制。
在自动驾驶汽车中，卡尔曼滤波可以用来融合来自不同传感器的数据，以实现对车辆位置和周围环境的准确估计。
除了在航空航天和自动控制领域的应用外，卡尔曼滤波在金融领域也有着重要的应用。
例如，它可以用来对金融市场的波动进行
预测，从而帮助投资者做出更明智的决策。
总之，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计方法，它在许多领域
都有着广泛的应用。
通过结合系统动态模型和测量模型，卡尔曼滤
波可以对系统状态进行准确的估计，从而为实际应用提供了重要的
支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解卡尔曼滤波的原理和应用，并在实际工程中加以应用。
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于状态估计的强大工具，它在许多现代科
学和工程领域中都得到了广泛的应用。
这种滤波器能够从一系列不
完全、噪声干扰的测量中，估计出系统的真实状态。
它的应用范围
包括但不限于航空航天、导航、无人机、自动控制系统和金融领域。
卡尔曼滤波的核心思想是通过将先验信息（系统的动态模型）
和测量信息（传感器测量）进行融合，来估计系统的真实状态。
它
能够有效地处理测量噪声和模型不确定性，并且能够提供对系统状
态的最优估计。
卡尔曼滤波的工作原理是通过不断地更新系统状态的估计值，
以使其与实际状态尽可能接近。
它通过两个主要步骤实现这一目标，预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和先验信息，估
计系统的下一个状态。
在更新步骤中，根据测量信息，修正先前的
状态估计，以获得最优的系统状态估计。
卡尔曼滤波的优势在于它能够在计算复杂度相对较低的情况下，提供对系统状态的最优估计。
它还能够有效地处理非线性系统，并
且能够适应不同类型的测量噪声。
总的来说，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计工具，它在许多现代应用中都发挥着重要作用。
通过将先验信息和测量信息进行融合，它能够提供对系统状态的最优估计，为科学和工程领域的研究和应用提供了重要的支持。
卡尔曼滤波PPT课件
• k＝1， (2) 0.5000H，(2) 0.500Sˆ(02)， 0.4762 Sˆ(1) 0.4048 X (2)
• k＝2， (3) 0.4048H，(3)
(4)
H (4)
• k＝3， (5) 0.3824H，(5)
• k＝4， (6) 0.3768H，(6)
0.404Sˆ(83) ， 0.4941Sˆ(2) 0.3824 X (3)
其中
，
尔曼滤波器的稳态
和
X(k) C(k)S(k) w(k)
S信(k号) 和A噪(k声)S统(k计独1立) 。w求1卡(k 1)
。
A 0.8 C 1
Q(k
)
2 w1
0.36
R(k) var(w(k)) 1
H(k) ε(k )
第22页/共32页
（5）
ε(k )
ε(k) 0.64ε(k 1) 0.36 H(k) 0.64ε(k 1) 1.36
第19页/共32页
初始条件为Sˆ(1) 0, (0) 1 ，k＝0开始
观测，利用等式（4），（5）进行递推得：
(0)
H (0)
Sˆ (0) X (0)
• k＝0， (1) 1.0000H，（1） 1.000Sˆ(01)， 0.4Sˆ(0) 0.5X (1)
ε(k令) H(K)C(k) ε(k) ε(k，)C(k) τ H(k) τ H(k)[C(k) ε(k)C(k) τ R(k)]H(k) τ
代入上C式(化k简)ε：(k)C(k) τ R(k) SSτ U ε(k)C(k) τ
ε(k ) ε(k) H(K)U τ (6-U68H) (k) τ H(k)SS τ H(k) τ
卡尔曼滤波方法资料课件
线性最小方差估计方法的优 点
适用于线性系统状态估计，计算量较小，易于实现。
线性最小方差估计方法的 缺点
对非线性系统效果不佳，需要先验知识或模 型参数。
04
卡尔曼滤波方法的实现 和应用案例
卡尔曼滤波方法的软件实现
软件平台
可以使用Python、C、Matlab等编程语言实现卡尔曼滤波算法。
卡尔曼滤波方法在控制系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在控制系统中主要用于估计系统的状态变量。
案例分析
通过实际控制系统的数据和实验，验证卡尔曼滤波方法在控制系统中的可行性和稳定性。
卡尔曼滤波方法在雷达系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在雷达系统中主要用于 目标跟踪和运动参数估计。
VS
案例分析
卡尔曼滤波方法的基本概念和原理
基本概念
卡尔曼滤波方法是一种递归估计方法，通过建立状态方程和观测方程，对系统状态进行最优估计。
原理
卡尔曼滤波方法基于最小均方误差准则，通过不断更新估计值来逼近真实值，具有计算量小、实时性 强的优点。
卡尔曼滤波方法的应用领域
机器人
用于机器人的定位、路径规划、 避障等。
描述系统状态和观测之间的关系。
定义初始状态和误差协方差
02
确定系统初始状态和误差协方差的估计值，为后续的滤波过程
提供初始条件。
选择合适的模型参数
03
根据实际情况选择合适的模型参数，如系统动态参数、观测参
数等，以更好地描述系统特性。
预测步骤
01
根据上一时刻的状态和误差协方 差，预测当前时刻的系统状态和 误差协方差。
卡尔曼滤波融合算法
卡尔曼滤波融合算法
首先，在状态预测步骤中，通过系统模型和当前状态的估计值来预测下一个状态。
这是通过矩阵计算来实现的，其中系统模型由状态转移矩阵和控制输入矩阵表示。
然后，在测量更新步骤中，将测量值与状态预测值进行比较，并计算测量残差（即两者之间的差异）。
然后，通过测量残差和测量噪声协方差矩阵计算卡尔曼增益。
卡尔曼增益越大，表示测量值的可靠性越高，应该更加相信测量值。
最后，在卡尔曼增益计算步骤中，卡尔曼增益用来调整状态预测值和测量值之间的权重，从而得到最终的状态估计值。
卡尔曼增益的计算是通过系统模型的协方差矩阵和测量噪声的协方差矩阵来进行的。
然而，卡尔曼滤波融合算法也有一些局限性。
首先，它需要事先对系统的模型和噪声进行准确的建模，否则会导致估计结果的偏差。
其次，卡尔曼滤波算法假设系统是线性的，而现实世界中的系统往往是非线性的，这就需要引入扩展卡尔曼滤波或非线性卡尔曼滤波来处理非线性系统。
总结来说，卡尔曼滤波融合算法是一种基于状态估计的滤波算法，能够通过融合多个传感器的测量值，提供高精度的状态估计。
它的核心思想是利用系统模型和测量值对状态进行预测和修正，并通过卡尔曼增益来调整状态估计值的权重。
尽管卡尔曼滤波算法有一些局限性，但它仍然是一种非常有效且广泛应用的滤波方法。
《卡尔曼滤波介绍》课件
卡尔曼滤波的原理和基本公式
卡尔曼滤波基于贝叶斯推理，通过使用状态方程和测量方程来递归地更新状态估计。 核心公式包括预测步骤的状态预测和协方差预测，以及更新步骤的卡尔曼增益、状态更新和协方差更新。
针对非线性系统，设计扩展卡尔 曼滤波、粒子滤波等非线性滤波 算法。
传感器融合
结合多个传感器信息，使用卡尔 曼滤波进行融合估计，提高系统 性能。
结论和总结
卡尔曼滤波是一种强大而灵活的状态估计算法，应用广泛且效果显著。通过 深入理解其原理和应用，我们能更好地运用卡尔曼滤波解决实际问题。
希望本课件能够帮助您更好地理解和应用卡尔曼滤波，提升您的技术和研究 能力。
《卡尔曼滤波介绍》PPT 课件
卡尔曼滤波是一种用于估计线性动态系统状态的优秀算法。本课件将深入介 绍卡尔曼滤波的定义、原理和应用领域，以及其优缺点和改进方法。
卡尔曼滤波的定义和背景
卡尔曼滤波是一种基于数学模型的状态估计方法，用于预测和跟踪系统状态。 它通过融合传感器测量和系统模型，对系统状态进行优化估计。
1 优点
高效准确：卡尔曼滤波在噪声环境下具有很 好的估计性能。
3 缺点
对线性系统假设：卡尔曼滤波假设系统和观 测模型为线性，不适用于非线性系统。
2
适用范围广：卡尔曼滤波可应用于多个领域 的状态估计问题。
4
对初始条件敏感：卡尔曼滤波对初始状态估 计的准确性较为敏感。
卡尔曼滤波的实际案例和效果评估
1
案例1：目标跟踪
将卡尔曼滤波应用于视频中的目标跟踪，
案例2：机器人导航
《卡尔曼滤波》课件
3
无迹卡尔曼滤波线性系统的 估计。
卡尔曼滤波的应用案例
飞行器姿态估计
卡尔曼滤波在航空领域中被广泛应用于飞行器姿态估计，用于提高飞行器的稳定性和导航准 确性。
目标跟踪
卡尔曼滤波可用于跟踪移动目标的位置和速度，常见于机器人导航和视频监控等领域。
3 卡尔曼滤波的应用领
域
卡尔曼滤波被广泛应用于 航空航天、机器人、金融 等领域，用于提高系统的 状态估计精度。
卡尔曼滤波的数学模型
状态空间模型
卡尔曼滤波使用状态 空间模型表示系统的 状态和观测值之间的 关系，包括状态方程 和测量方程。
测量方程
测量方程描述观测值 与系统状态之间的关 系，用于将观测值纳 入到状态估计中。
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《卡尔曼滤波》PPT课件
卡尔曼滤波是一种优秀的状态估计方法，被广泛用于目标跟踪、姿态估计和 股票预测等领域。
介绍卡尔曼滤波
1 什么是卡尔曼滤波？
卡尔曼滤波是一种递归状 态估计算法，用于通过系 统模型和测量信息估计系 统状态。
2 卡尔曼滤波的基本原
理
卡尔曼滤波基于贝叶斯估 计理论，通过最小化估计 误差的均方差来优化状态 估计。
股票预测
卡尔曼滤波可以应用于股票市场，通过对历史数据进行分析和预测，提供股票价格的预测和 趋势分析。
卡尔曼滤波的优化算法
粒子滤波
粒子滤波是一种基于蒙特卡洛 方法的状态估计算法，适用于 非线性和非高斯系统，提供更 广泛的估计能力。
自适应滤波
自适应滤波是一种根据系统的 特点自动调整滤波参数的方法， 提供更好的适应性和鲁棒性。
非线性滤波
非线性滤波是对卡尔曼滤波算 法的改进，用于处理非线性系 统和测量模型，提供更准确的 状态估计。
卡尔曼滤波数据融合算法
卡尔曼滤波数据融合算法首先，我们需要了解卡尔曼滤波算法中的一些重要概念，包括状态、测量、观测方程、状态转移方程和卡尔曼增益。
状态是指需要估计的系统状态，通常用向量x表示。
测量是对系统状态的观测，通常用向量z表示。
观测方程描述了测量和状态之间的关系，可以表示为z=Hx+v，其中H是观测矩阵，v是观测噪声。
状态转移方程描述了系统状态的发展过程，可以表示为x(k+1)=Fx(k)+w，其中F是状态转移矩阵，w是系统噪声。
卡尔曼滤波算法的核心是卡尔曼增益，它通过对系统的状态估计误差和测量噪声的协方差矩阵进行线性组合，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼增益可以表示为K=P(k)H^T(HP(k)H^T+R)^-1，其中P(k)是状态估计误差的协方差矩阵，R是观测噪声的协方差矩阵。
卡尔曼滤波算法主要包括两个步骤：预测和更新。
预测步骤根据系统状态的转移方程，通过对上一时刻的状态估计和系统噪声的预测，得到对当前时刻状态的预测。
预测过程可以表示为x(k，k-1)=Fx(k-1，k-1)和P(k，k-1)=FP(k-1，k-1)F^T+Q，其中Q是系统噪声的协方差矩阵。
更新步骤根据观测方程和预测得到的状态预测，通过对当前时刻的测量和观测噪声的更新，得到对当前时刻状态的更新。
更新过程可以表示为x(k，k)=x(k，k-1)+K(z(k)–Hx(k，k-1))和P(k，k)=(I–KH)P(k，k-1)，其中I是单位矩阵。
在数据融合中，卡尔曼滤波算法可以应用于多传感器数据的融合。
通过合理选择观测方程和状态转移方程，以及对系统噪声和观测噪声的建模，可以实现对多传感器数据的最优估计。
总结来说，卡尔曼滤波算法是一种常用的数据融合算法，它通过对系统状态和测量数据进行线性组合，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波算法具有较好的估计性能和实时性，在各种数据融合应用中被广泛应用。
卡尔曼滤波数据融合算法
卡尔曼滤波数据融合算法卡尔曼滤波是一种用于数据融合的算法，它可以根据多个传感器的测量值来估计系统的真实状态。
卡尔曼滤波算法通过考虑传感器的测量误差和系统模型的不确定性，有效地减少了噪声对系统估计的影响，提高了融合结果的准确性和稳定性。
卡尔曼滤波算法的核心思想是将系统的状态和传感器的测量结果建模为高斯分布，并通过最小化均方误差的方式，计算状态的最优估计。
首先，通过系统动力学方程和观测方程建立状态转移模型和观测模型，并假设状态和测量误差均为零均值的高斯白噪声。
然后，利用状态传递和观测矩阵对当前状态和测量结果进行预测，得到先验状态估计和先验误差协方差矩阵。
接下来，根据系统的测量结果和传感器的测量误差协方差矩阵，利用卡尔曼增益对先验状态估计进行修正，得到后验状态估计和后验误差协方差矩阵。
最后，根据后验状态估计和后验误差协方差矩阵，更新系统的状态估计和误差协方差矩阵，用于下一次迭代。
卡尔曼滤波算法的关键是卡尔曼增益的计算，它表示观测结果和先验状态估计之间的相关性。
卡尔曼增益的大小取决于观测误差协方差矩阵和状态误差协方差矩阵的相对权重。
当观测误差较大时，卡尔曼增益较小，更多地依赖于先验状态估计；当观测误差较小时，卡尔曼增益较大，更多地依赖于测量结果。
通过动态调整卡尔曼增益，卡尔曼滤波算法可以适应不同的噪声和不确定性。
卡尔曼滤波算法在许多领域中都有广泛应用，特别是在导航、跟踪和定位等实时系统中，可以对多个传感器的数据进行融合，提高系统的精度和鲁棒性。
例如，在自动驾驶中，卡尔曼滤波算法可以结合GPS、激光雷达和摄像头等传感器的数据，对车辆的位置和速度进行准确的估计，帮助车辆实现精确定位和路径规划。
在无人机领域，卡尔曼滤波算法可以将惯性测量单元（IMU）和视觉传感器的测量值进行融合，实现高精度的飞行姿态估计和导航控制。
总结来说，卡尔曼滤波是一种重要的数据融合算法，通过考虑传感器的测量误差和系统模型的不确定性，有效地减少了噪声对系统估计的影响，提高了融合结果的准确性和稳定性。
卡尔曼滤波详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，它可以根据系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、飞行控制、信号处理等领域。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理、算法及应用。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，每个元素表示系统的某个特定状态量。
例如，一个机器人的状态向量可能包括机器人的位置、速度、方向等信息。
卡尔曼滤波的基本假设是系统的动态模型和观测数据都是线性的，而且存在噪声。
系统的动态模型可以表示为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + w(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)表示外部控制输入，w(t)表示系统的过程噪声。
观测数据可以表示为：z(t) = Hx(t) + v(t)其中，z(t)表示系统在时刻t的观测向量，H是观测矩阵，v(t)表示观测噪声。
卡尔曼滤波的目标是根据系统的动态模型和观测数据，估计系统的状态向量x(t)。
为了达到这个目标，卡尔曼滤波将状态估计分为两个阶段：预测和更新。
预测阶段：根据系统的动态模型，预测系统在下一个时刻的状态向量x(t+1)。
预测的过程可以表示为：x^(t+1|t) = Ax^(t|t) + Bu(t)其中，x^(t|t)表示在时刻t的状态向量的估计值，x^(t+1|t)表示在时刻t+1的状态向量的预测值。
卡尔曼滤波还需要对状态的不确定性进行估计，这个不确定性通常用协方差矩阵P(t)表示。
协方差矩阵P(t)表示状态向量估计值和真实值之间的差异程度。
预测阶段中，协方差矩阵也需要进行更新，更新的过程可以表示为：P(t+1|t) = AP(t|t)A' + Q其中，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
更新阶段：根据观测数据，更新状态向量的估计值和协方差矩阵。
更新的过程可以表示为：K(t+1) = P(t+1|t)H'(HP(t+1|t)H' + R)^-1x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1)[z(t+1) - Hx^(t+1|t)]P(t+1|t+1) = (I - K(t+1)H)P(t+1|t)其中，K(t+1)表示卡尔曼增益，R表示观测噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波状态估计步骤
卡尔曼滤波状态估计步骤哎呀，这卡尔曼滤波啊，真是个让人头疼的玩意儿。
不过，别急，咱们慢慢聊聊，就像咱们在咖啡馆里闲聊一样。
首先，得说，卡尔曼滤波这玩意儿，就像是你有个朋友，他总是给你发位置信息，但是呢，这信息有时候准，有时候不准。
你呢，就得用这个卡尔曼滤波来猜他到底在哪儿。
听起来是不是挺有意思的？咱们先从第一步说起，就是初始化。
这就像是你刚认识这个朋友，你对他的了解还不多，只能根据他给你的第一个信息，也就是位置，来猜测他在哪儿。
这时候，你心里可能有点没底，因为你不知道这个信息有多靠谱，所以你会给他一个“不确定性”的标签，比如，你可能会想：“这家伙是不是在跟我开玩笑呢？”接下来，就是预测步骤了。
这就像是你根据你朋友以前给你的信息，来预测他下一步会去哪儿。
比如，你知道他每天下班都会去公园散步，所以今天你也会猜他可能还会去那儿。
但是，你心里还是有点不确定，因为人嘛，总有变数，对吧？然后，就是更新步骤了。
这一步最有意思，就像是你朋友突然给你发了一条信息，告诉你他现在在公园的长椅上坐着。
这时候，你得重新评估他的位置，因为你有了新的信息。
你得把之前的猜测和新的消息结合起来，就像是你在地图上画了两条线，然后找到它们的交点，这个交点，就是你朋友现在最可能的位置。
最后，就是评估不确定性。
这就像是你在更新位置后，还得想想：“这次的消息靠谱吗？我是不是还得留点余地？”所以，你会给你的新位置再打个“不确定性”的标签，这个标签会根据新旧信息的靠谱程度来调整。
你看，卡尔曼滤波就是这么个过程，就像是你在和朋友玩捉迷藏，你得根据他给你的线索，一步步猜他在哪儿。
虽然有时候可能会猜错，但是通过不断地更新和调整，你会越来越接近他的真实位置。
所以，卡尔曼滤波，其实就是个不断猜测和修正的过程，就像我们在生活中不断调整自己的判断一样。
虽然听起来有点复杂，但其实就跟我们平时聊天、猜测朋友心思差不多，挺有意思的，对吧？好了，聊了这么多，你是不是对卡尔曼滤波有点儿感觉了呢？其实，它并不像听起来那么高深莫测，它就像是我们日常生活中的一个小插曲，充满了不确定性和惊喜。
卡尔曼滤波算法ppt课件
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测量更新（修正） （1）计算加权矩阵(卡尔曼增益)
Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1) H’ +R) （2）对预测值进行修正
x(k|k)=x(k|k-1) + Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) （3）更新修正值的协方差
P(k|k)=(I-Kg(k)H)P(k|k-1)
二：状态估计原理简介
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。
观测数据
定量判断 随机状态量
估计问题： (可以直接得到)
(很难直接得到)
例如，飞机实时的位置、速度等状态参数需要通过雷达或其它
测量装置进行观测，而雷达等测量装置也存在随机干扰， 因此在观测到飞机的位置、速度等信号中就夹杂着随机干 扰，要想正确地得到飞机的状态参数是不可能的，只能根 据观测到的信号来估计和预测飞机的状态。
卡尔曼将状态变量引入虑波理论，提出了递推滤波算法， 建立了后来被自动控制界称道的“卡尔曼滤波”。
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7
三：卡尔曼滤波引例
卡尔曼滤波：是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器) ,它能够从
一系列完全包含噪声的测量中， 估计动态系统的状态。
➢ 基本思想：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时
刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求 出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。
各局部最优估计
。
2.将全部局部最优估计送到融合中心进行
全局融合。
3.融合中心按照“信息分配”原则形成 的信息分配量，向雷达与电视进行信息 反馈。
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பைடு நூலகம்
滤波结构框图
29
卡尔曼滤波教学课件PPT
5.卡尔曼滤波控制系统结构图
由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波 器的任务就是在有随机干扰w和噪声v的情 ˆ ，它在 况下给出系统状态x的最优估算值 x 统计意义下最接近状态的真值x，从而实现 最优控制u( x ˆ )的目的。
状态方程：X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k) 输出方程：y(k)=CX(k)+Z(k) 系统测量值：Z(k)=HX(k)+V(k) 在上述方程中，X(k)是k时刻的系统状态， U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系 统参数，对于多模型系统，它们为矩阵。 Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参 数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和 V(k)分别表示过程噪声和测量噪声。它们被 假设成高斯白噪声，它们的协方差分别是Q， R。
6.2
更新阶段
新息或测量余量：y(k)=Z(k)-H X(k|k-1) 新息协方差:S(k)=H P(k|k-1) H’ +R 卡尔曼增益(Kalman Gain): Kg(k)= P(k|k1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) …… (3) 状态估计更新:收集现在状态的测量值，结 合预测值和测量值，可以得到现在状态的 最优化估算值。
6.卡尔曼滤波过程
卡尔曼滤波包括两个阶段：预测和更新。 在预测阶段，滤波器应用上一状态的估计 做出对当前状态的估计。在更新阶段，滤 波器利用在当前状态的观测值优化预测阶 段的预测值，以获的一个更精确的当前状 态的估计。
6.1预测阶段
状态估计： 根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预 测出现在的状态。 X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1) 式(1)中，A是作用在前一状态的状态转移模型(状 态转移矩阵),B是作用在控制向量上的控制输入模 型(输入输出矩阵), X(k|k-1)是利用上一状态预测 的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k) 为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以 为0 。
《卡尔曼滤波方法》课件
优缺点
优点
缺点
• 适用于线性和非线性系统 • 高效且准确的状态估计 • 鲁棒性强，对观测数据的噪声具有较高的容忍度
• 对系统模型和噪声模型的要求较为严格 • 对于非高斯特性的数据，估计结果可能失真
结论
1 总结
卡尔曼滤波方法是一种重要的估计和预测算 法，广泛应用于各个领域。
2 展望
随着人工智能的发展，卡尔曼滤波方法有望 在更多应用场景中发挥重要作用。
《卡尔曼滤波方法》PPT 课件
本课件介绍卡尔曼滤波方法，包括其历史背景、模型、算法以及在人工智能 中的应用。通过本课件，您将了解卡尔曼滤波的优缺点，并展望其未来发展。
什么是卡尔曼滤波方法
卡尔曼滤波方法是一种用于估计和预测系统状态的数学算法。它结合了系统 模型和实时观测数据，通过动态调整权重来获取最优的估计结果。
3
应用场景
卡尔曼滤波算法可以应用于各种场景， 如目标跟踪、导航系统和信号处理。
卡尔曼滤波在人工智能中的应用
机器人定位与导航
卡尔曼滤波可用于准确估计机器人的位置和姿态，实现精确的定位和导航。
航迹预测
通过卡尔曼滤波，可以对目标的运动轨迹进行预测，用于交通流量管理和行车安全。
语音识别
卡尔曼滤波可以应用于语音信号处理，提高语音识别的准确性和鲁棒性。
参考文献
张三, 李四. 卡尔曼滤波理论与应用. 北京：电子工业出版社, 2018.
卡尔曼滤波模型
状态方程
描述系统状态的动态变化，通常使用线性模型。
观测方程
将真实状态映射到观测空间，可以是线性Байду номын сангаас非线性模型。
噪声模型
描述系统和观测中的噪声特性，通常假设为高斯分布。
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19
1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1 2 2 ˆ P E[( X x ) ] E[( hi zi x ) ] i 1 m
m
20
对 m 个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
相应的估计误差
i 1 i 1
k 1
k 1
1 2 P (k ) n k b
22
1 2 P (k 1) n (k 1) b
由b=ζ2n/ζ2x及hi(k)=1/（k+b），有
hi (k ) hi (k 1)
所以有
P (k )
2 n
bk bk 1
但经常要对信号的未来值进行预测，特别是在控制系统中。根
据预测提前时间的多少，把预测分成1步、2步、…、 m步预测，
通常把1步预测记作
ˆ (k 1/ k ) X
。预测的步数越多， 误差
越大。 这里讨论1步预测问题。
信号模型和观测模型同前：
x(k ) ax(k 1) w(k 1) z(k ) cx(k ) v(k )
5
卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用:
通信、雷达、导航、自动控制等领域；
航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自 动控制等。
6
卡尔曼滤波器的应用特点
对机动目标跟踪中具有良好的性能；
为最佳估计并能够进行递推计算；
只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测 值就能进行状态估计。
7
卡尔曼滤波器的局限性
ˆ k 1 X ˆ k bk 1(Zk 1 X ˆk) X
25
最优递归估计器
递推公式
bk 1 ^ X k 1 Xk zk 1 1 bk 1 bk
^
26
最优递归估计器
递推公式
X k 1 X k bk 1 ( zk 1 X k )
27
^
^
^
ˆ 应满足 ： 递推开始时的初始条件 X 0
ij
m
P
13
2 n
m
结论
①估计值 是用m X个采样值的平均值作为被 估参量x的近似值； ②估值器的均方误差随着m的增加而减少；
^
③该估值器是一个无偏估值器。
m 1 ˆ E ( X ) E ( x ni ) E ( x) x0 m i 1
14
2、递归估值器
由于 │ a│ ＜ 1 ，故随着 k 值的增加， yk 趋近于 x/(1-a) 。这样，如 果以(1-a)yk作为x的估计值，
ˆ k (1 a) yk X
则
17
ˆ k (1 a k ) x (1 a ) a k i ni X
i 1
k
此时信号x和估值之间只差一个噪声项。当k值较大时， 估值的均方误差
ˆ )2 ] E[( x X 0 0 ˆ X 0
2 ˆ0 ˆ 0 E ( x) ，这时的 P 以使 X 为最佳值。 解之，得 X x
如果E(x)=0，可从零开始递推运算，即
ˆ0 0 X
1 b0 b
2 x 2 n
28
三、标量卡尔曼滤波器－时变信号
主要作用： 对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计1 1－a ˆ X k
＋
a
a为滤波器的加权系数，a<1。
15
递归数字滤波器是一种带有反馈的滤波器，它有无限的脉
冲响应，有阶数少的优点， 但其暂态过程较长。关于信号和噪
声的基本假设与非递归情况相同。上图给出的一阶递归滤波器 输入输出信号关系如下：
yk ay k 1 zk z k x nk
i 1
k 1
将第一项同时乘、除一个bk，则
k 1 b bk 1 ˆ k 1 ˆ X k 1 bk zi bk 1zk 1 X k bk 1zk 1 bk i 1 bk
24
最后有
或
1 b k ˆ ˆ X k 1 Xk zk 1 1 bk 1 bk
37
根据前一节， 有一步线性预测递推公式：
ˆ (k 1/ k ) a(k ) X ˆ (k / k 1) (k ) z(k ) X
其中，a(k)和β(k)可以通过使均方预测误差最小来确定。预测的 均方误差可表示为
2 2 ˆ P ( k 1 / k ) E [ e ( k 1 / k )] E [ x ( k 1 / k ) X ( k 1 / k )]
29
1、模型
1） 信号模型
设要估计的随机信号为由均值为 0，方差为ζ2w的白噪声激
励的一个一阶递归过程，即信号对时间变化满足动态方程：
x(k)=ax(k-1)+w(k-1) 式中，a——系统参数； w(k-1)——白噪声采样。
如果令x(0)=0，E［w(k)］=0， 则
30
0 k j Pw ( j ) E[ w(k ) w( j )] 2 w k j
均方误差
1 2 P ( k ) n b( k ) c
对于给定的信号模型和观测模型，上述一组方程便称为一 维标量卡尔曼滤波器，其结构如图所示。
35
z(k) ＋
∑ －
b(k)
＋
∑ ＋
ˆ (k ) X
c
a
z－ 1
标量卡尔曼滤波器结构
36
3、标量卡尔曼预测器
标量卡尔曼滤波是对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计。
P (k 1)
2 n
bk 1 k b 1 bk k b 1 1 1 /(k b)
23
bk bk 1 1 bk
于是,
ˆ k 1 bk 1 zi X
i 1
k 1
分成二项：
ˆ k 1 bk 1 zi bk 1 zk 1 X
10
根据数字信号处理我们知道，所谓非递归数字滤波器是一
种只有前馈而没有反馈的滤波器，它的冲击脉冲响应是有限的，
在许多领域有着广泛的应用。
假定用zk表示观测值，
zk=x+nk
式中： x —恒定信号或称被估参量 nk —观测噪声采样 假定，E(x)=x0，D(x)=ζ2x，E(nk)=0，E(n2k)=ζ2n。
由前将递归估计的形式写成：
ˆ ( k ) a( k ) X ˆ (k 1) b(k ) z(k ) X
均方误差
ˆ (k ) x (k ))2 ] P (k ) E[( X ˆ (k 1) b(k ) z (k ) x (k ))2 ] E[(a (k ) X
分别对a(k)和b(k)求导，并令其等于0，求其最佳估计，得出 a(k)与b(k)的关系：
第七讲 状态估计—卡尔曼滤波
状态估计的主要内容
应用： 通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态 向量。 1、确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
2
状态估计主要内容：位置与速度估计。
位置估计：距离、方位和高度或仰角的估计； 速度估计：速度、加速度估计。
该过程 称作一阶自回归过程。x(k)的均值和方差分别为：
E[ x(k )] 0 D[ x(k )] E[ x (k )] Px (0)
2 2 x 2 w
1 a
2
自相关函数
E[ x(k ) x(k j)] Px ( j) a Px (0)
| j|
31
2） 观测模型
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问 题时，动态方程和测量方程均为线性。
8
一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器 2、递归估值器
9
1、非递归估值器
采样平均估值器：
z1 h1 z－ 1 z2 h2 z－ 1 z3 h3 ∑
ˆ X
…
z－ 1 hm
采用时域分析方法在掺杂有噪声的测量信号中 估计信号x。
观测模型由下式给出：
z(k)=cx(k)+v(k) 式中：c——测量因子； v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪声。 最优递推估值器的信号和观测模型如图所示。
32
W (k－ 1 )
＋ ＋
∑
x(k)
c
∑
z(k)
a
z－ 1
V(k)
最优递推估值器的信号和观测模型
33
2、标量卡尔曼滤波器
a(k)=a［1-cb(k)］
最后有递归估值器：
ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
34
b(k)为滤波器增益
2 2 1 b(k ) cP ( k )[ c P ( k ) 1 1 n]
其中,
2 2 P ( k ) a P ( k 1 ) 1 w
21
1 h1 h2 hm mb
2、由最优非递推估计导出递归估计
由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ k hi zi hi (k ) zi X
i 1 i 1
k
k
条件与前面相同。对k+1次取样，相应的估计量
ˆ k 1 hi zi hi (k 1) zi X
1 a 2 2 ˆ P E [( X k x ) ] n 1 a
2 2 k 2 n
而一次取样的均方误差
P 1 E[( x nk x) ] E(n )
故上一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。