07第七讲 信息融合 状态估计-卡尔曼滤波

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1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1 2 2 ˆ P E[( X x ) ] E[( hi zi x ) ] i 1 m
m
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对 m 个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
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式中， zk与非递归情况相同； a是一个小于 1的滤波器加权系数，
k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出 k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
进一步可求出：
a 2 2 P (k 1 / k ) n (k ) w c
其中，
acP ( k / k 1) (k ) 2 2 c P (k / k 1) n
由以上表达式可以看出，可根据均方预测误差 Pε(k/k-1) 计
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算β(k)，然后再给出Pε(k+1/k)的均方预测误差。
ˆ k 1 X ˆ k bk 1(Zk 1 X ˆk) X
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最优递归估计器
递推公式
bk 1 ^ X k 1 Xk zk 1 1 bk 1 bk
^
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最优递归估计器
递推公式
X k 1 X k bk 1 ( zk 1 X k )
27
^
^
^
ˆ 应满足 ： 递推开始时的初始条件 X 0
但经常要对信号的未来值进行预测，特别是在控制系统中。根
据预测提前时间的多少，把预测分成1步、2步、…、 m步预测，
通常把1步预测记作
ˆ (k 1/ k ) X
。预测的步数越多， 误差
越大。 这里讨论1步预测问题。
信号模型和观测模型同前：
x(k ) ax(k 1) w(k 1) z(k ) cx(k ) v(k )
由于 │ a│ ＜ 1 ，故随着 k 值的增加， yk 趋近于 x/(1-a) 。这样，如 果以(1-a)yk作为x的估计值，
ˆ k (1 a) yk X
则
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ˆ k (1 a k ) x (1 a ) a k i ni X
i 1
k
此时信号x和估值之间只差一个噪声项。当k值较大时， 估值的均方误差
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状态估计的主要方法
1、α-β滤波 2、α-β-γห้องสมุดไป่ตู้波 3、卡尔曼滤波 这些方法针对匀速或匀加速目标提出，如目标 真实运动与采用的目标模型不一致，滤波器发散。
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算法的改进及适应性
状态估计难点：机动目标的跟踪
1、自适应α-β滤波和自适应Kalman滤波均改善 对机动目标的跟踪能力。 2、扩展Kalman滤波针对卡尔曼滤波在笛卡儿坐 标系中才能使用的局限而提出。
1 a 2 2 ˆ P E [( X k x ) ] n 1 a
2 2 k 2 n
而一次取样的均方误差
P 1 E[( x nk x) ] E(n )
故上一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。
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二、线性均方估计
1、最优非递归估计（标量维纳滤波） 2、递归估计
ˆ x )2 ] P E [( X
m 1 ˆ X zi m b i 1
1 2 n mb
其中，b=ζ2n/ζ2x，在 b<<m时，这种估计近似于采样平均。在噪
声方差ζ2n较大时，其性能明显优于非最佳情况。这种最小均方 误差准则下的线性滤波，通常称作标量维纳滤波。
hj与非最优情况的不同，这里的滤波器的加权系数为
ij
m
P
13
2 n
m
结论
①估计值 是用m X个采样值的平均值作为被 估参量x的近似值； ②估值器的均方误差随着m的增加而减少；
^
③该估值器是一个无偏估值器。
m 1 ˆ E ( X ) E ( x ni ) E ( x) x0 m i 1
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2、递归估值器
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1 h1 h2 hm mb
2、由最优非递推估计导出递归估计
由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ k hi zi hi (k ) zi X
i 1 i 1
k
k
条件与前面相同。对k+1次取样，相应的估计量
ˆ k 1 hi zi hi (k 1) zi X
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1、模型
1） 信号模型
设要估计的随机信号为由均值为 0，方差为ζ2w的白噪声激
励的一个一阶递归过程，即信号对时间变化满足动态方程：
x(k)=ax(k-1)+w(k-1) 式中，a——系统参数； w(k-1)——白噪声采样。
如果令x(0)=0，E［w(k)］=0， 则
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0 k j Pw ( j ) E[ w(k ) w( j )] 2 w k j
一阶递归估值器：
yk zk ＋ ∑ z－ 1 1－a ˆ X k
＋
a
a为滤波器的加权系数，a<1。
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递归数字滤波器是一种带有反馈的滤波器，它有无限的脉
冲响应，有阶数少的优点， 但其暂态过程较长。关于信号和噪
声的基本假设与非递归情况相同。上图给出的一阶递归滤波器 输入输出信号关系如下：
yk ay k 1 zk z k x nk
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估计的均方误差以Pε表示，有
m m 1 1 2 2 2 ˆ P E ( ) E ( X x ) E 2 n j ni 2 n ji m j 1 i 1 m j i


当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0，有

最后得：
相应的估计误差
i 1 i 1
k 1
k 1
1 2 P (k ) n k b
22
1 2 P (k 1) n (k 1) b
由b=ζ2n/ζ2x及hi(k)=1/（k+b），有
hi (k ) hi (k 1)
所以有
P (k )

2 n
bk bk 1
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根据数字信号处理我们知道，所谓非递归数字滤波器是一
种只有前馈而没有反馈的滤波器，它的冲击脉冲响应是有限的，
在许多领域有着广泛的应用。
假定用zk表示观测值，
zk=x+nk
式中： x —恒定信号或称被估参量 nk —观测噪声采样 假定，E(x)=x0，D(x)=ζ2x，E(nk)=0，E(n2k)=ζ2n。
ˆ )2 ] E[( x X 0 0 ˆ X 0
2 ˆ0 ˆ 0 E ( x) ，这时的 P 以使 X 为最佳值。 解之，得 X x
如果E(x)=0，可从零开始递推运算，即
ˆ0 0 X
1 b0 b
2 x 2 n
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三、标量卡尔曼滤波器－时变信号
主要作用： 对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计。
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h1, h2, …, hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的 加权系数。滤波器的输出
m
ˆ hi zi X
i 1
当h1=h2=…=hm=1/m时，
m 1 ˆ z X i m i 1
ˆ 是用m个采样值的平均值作为被估参量x的 该式表明，估计 X
近似值的，故称其为采样平均估值器。
将预测方程代入该式，并求导，就会得到一组正交方程：
ˆ ( k / k 1)] 0 E [ e( k 1 / k ) X E[e( k 1 / k ) z ( k )] 0
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解之，得 将其代入预测方程，有
a(k)=a-cβ(k)
ˆ (k 1/ k ) aX ˆ (k / k 1) (k )[z(k ) cX ˆ (k / k 1)] X
由前将递归估计的形式写成：
ˆ ( k ) a( k ) X ˆ (k 1) b(k ) z(k ) X
均方误差
ˆ (k ) x (k ))2 ] P (k ) E[( X ˆ (k 1) b(k ) z (k ) x (k ))2 ] E[(a (k ) X
分别对a(k)和b(k)求导，并令其等于0，求其最佳估计，得出 a(k)与b(k)的关系：
a(k)=a［1-cb(k)］
最后有递归估值器：
ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
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b(k)为滤波器增益
2 2 1 b(k ) cP ( k )[ c P ( k ) 1 1 n]
其中,
2 2 P ( k ) a P ( k 1 ) 1 w
第七讲 状态估计—卡尔曼滤波
状态估计的主要内容
应用： 通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态 向量。 1、确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
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状态估计主要内容：位置与速度估计。
位置估计：距离、方位和高度或仰角的估计； 速度估计：速度、加速度估计。
i 1
k 1
将第一项同时乘、除一个bk，则
k 1 b bk 1 ˆ k 1 ˆ X k 1 bk zi bk 1zk 1 X k bk 1zk 1 bk i 1 bk
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最后有
或
1 b k ˆ ˆ X k 1 Xk zk 1 1 bk 1 bk
观测模型由下式给出：
z(k)=cx(k)+v(k) 式中：c——测量因子； v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪声。 最优递推估值器的信号和观测模型如图所示。
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W (k－ 1 )
＋ ＋
∑
x(k)
c
∑
z(k)
a
z－ 1
V(k)
最优递推估值器的信号和观测模型
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2、标量卡尔曼滤波器
该过程 称作一阶自回归过程。x(k)的均值和方差分别为：
E[ x(k )] 0 D[ x(k )] E[ x (k )] Px (0)
2 2 x 2 w
1 a
2
自相关函数
E[ x(k ) x(k j)] Px ( j) a Px (0)
| j|
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2） 观测模型
P (k 1)

2 n
bk 1 k b 1 bk k b 1 1 1 /(k b)
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bk bk 1 1 bk
于是,
ˆ k 1 bk 1 zi X
i 1
k 1
分成二项：
ˆ k 1 bk 1 zi bk 1 zk 1 X
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问 题时，动态方程和测量方程均为线性。
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一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器 2、递归估值器
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1、非递归估值器
采样平均估值器：
z1 h1 z－ 1 z2 h2 z－ 1 z3 h3 ∑
ˆ X
…
z－ 1 hm
采用时域分析方法在掺杂有噪声的测量信号中 估计信号x。
均方误差
1 2 P ( k ) n b( k ) c
对于给定的信号模型和观测模型，上述一组方程便称为一 维标量卡尔曼滤波器，其结构如图所示。
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z(k) ＋
∑ －
b(k)
＋
∑ ＋
ˆ (k ) X
c
a
z－ 1
标量卡尔曼滤波器结构
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3、标量卡尔曼预测器
标量卡尔曼滤波是对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计。
5
卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用:
通信、雷达、导航、自动控制等领域；
航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自 动控制等。
6
卡尔曼滤波器的应用特点
对机动目标跟踪中具有良好的性能；
为最佳估计并能够进行递推计算；
只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测 值就能进行状态估计。
7
卡尔曼滤波器的局限性
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根据前一节， 有一步线性预测递推公式：
ˆ (k 1/ k ) a(k ) X ˆ (k / k 1) (k ) z(k ) X
其中，a(k)和β(k)可以通过使均方预测误差最小来确定。预测的 均方误差可表示为
2 2 ˆ P ( k 1 / k ) E [ e ( k 1 / k )] E [ x ( k 1 / k ) X ( k 1 / k )]