计算结构力学习题库2012

计算结构力学习题库

第1章：绪论

1.1区域型分析法和边界型分析法在对问题的基本方程和边界条件的处理上有何

不同和相同点？试分别举例说明。

1.2里兹法和有限单元法的理论依据、基本未知量的选取、试函数的假设等方面

有何异同点？

1.3与里兹法相比，有限单元法在解决复杂问题上的适应性更为广泛，你认为主

要的原因在于那些方面？

第2章：有限单元法

2.1图示为一平面应力状态的三结点直角三角形单元，厚度t，弹性模量E，剪切

模量G=E/[2(1+ν)]，设泊松比ν=0，结点坐标如图。若采用线性位移模式（位移函数），试求出：

(1) 形函数矩阵[N]；

(2) 应变矩阵[B]；

(3) 应力矩阵[S]；

(4) 单元刚度矩阵[k]；

(5) [k]的每行之和及每列之和，并说明其物理意义。

题2.1图

2.2为使有限单元解收敛于正确解，位移模式应满足那些条件？对于平面四结点

矩形单元，若位移模式取为：u=a1+a2x+a3y+a4x2，v=b1+b2x+b3y+b4y2，试分析该位移模式是否满足这些条件，并说明具体理由。

2.3为使有限单元解收敛于正确解，位移模式应满足那些条件？四结点矩形薄板

单元具有12个自由度，其位移模式取为：w(x,y)= α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy +α6y2 +α7x3+α8 x2y+α9 xy2+α10y3+α11x3y+α12xy3，试分析该位移模式是否满足这些条件，并说明具体理由。

2.4形函数有哪些主要性质？试由这些性质直接构造图示六结点矩形单元的形函

数，写出单元中心点P(a/2, b)处的位移用结点位移表示的表达式。

题2.4图 题2.5图 2.5 图示为平面问题的一个三结点三角形单元。

(1) 试问单元刚度矩阵[k ]有哪些主要特性？其依据各是什么？ (2) 附图说明[k ]元素k 52的物理意义。

(3) [k ]的每行之和及每列之和各为何值，其物理意义是什么？

2.6 图(a)所示的平面连续体结构已划分为两个三角形单元，在图(a)坐标系及图(b)局部编号下，两单元的刚度矩阵左下子块均为：

,0025.00][,75.025.025.075.0][,5.00025.0][,25.0005.0][⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=E k E k E k E k ji mm jj ii ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=5.025.0025

.0][,25.0025.05.0][E k E k mj mi 。 (1) 附图说明单元(1)的刚度元素k 36的物理意义；

(2) 试由上述单元刚度矩阵子块形成结构的总体刚度矩阵；

(3) 分别采用手算方法和一种计算机方法引进图中的位移边界条件，写出图示

荷载作用下的最终有限元方程；

(4) 假设结点位移v 2、u 3、v 3、u 4均已求得 (作为已知)，试在此基础上求出结

点2和结点4的支座反力。

(a) (b)

题2.6图

2.7 Timoshenko 梁单元与经典梁单元的基本假定、单元挠度及转角的插值方法有何异同点？图示为一个3结点Timoshenko 梁单元（ξ为无量纲坐标，梁长为

2），试利用形函数的性质，直接构造该单元挠度v 和转角θ的形函数，写出单元中一点ξ =-0.5处的挠度和转角用结点位移表示的表达式。

题2.7图 题2.8图

2.8 利用形函数的性质，直接构造出图示六结点正方形单元（边长为2）的形函数，写出单元中心点o 的位移用结点位移表示的表达式。

2.9 有限单元法中，一个二维单元在坐标平面内分别发生平移和转动，单元刚度矩阵[k ]是否发生改变？为什么？应力矩阵[S ]又如何变化？

2.10 试分析平面四结点矩形单元采用双线性的位移模式为何能够满足解答收敛的全部（完备性和协调性）要求，而四结点任意单元若采用类似的位移模式就不能完全满足解答收敛的全部（完备性和协调性）要求。

2.11 为使有限单元解收敛于正确解，位移模式应满足那些条件？在平面三结点三角形单元中，若位移模式取为：u =a 1+a 2y +a 3xy ，v =b 1+b 2x +b 3xy ，试具体分析该位移模式能否保证解答的收敛性。

2.12 设三结点三角形单元的三个结点依次为i 、j 、m ，单元刚度矩阵为[k ]。试说明[k ]中第5行第2列元素的物理意义。[k ]的每行之和及每列之和总为一什么值，说明其原因。

题2.12图 题2.13图

2.13 在有限元分析中，非结点荷载需移置为等效结点荷载，移置的原则是什么？试根据该原则，导出三结点三角形单元内任一点（x ，y ）处作用集中荷载{P }=[P x , P y ]T 时的等效结点荷载表达式。已知形函数矩阵为[N ]，结点位移向量为{∆ e }。

i

2.14 三结点三角形单元的材料容重为ρ，厚度为t ，试导出单元在自重作用下的等效结点荷载向量。

2.15 三结点三角形单元的ij 边作用一法向的线性分布荷载，的i 、j 点集度各位q i , q j ，试导出单元的等效结点荷载表达式。

2.16 计算图示刚架对应于自由结点位移的综合结点荷载列阵{P }。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

题2.16图 题2.17图

2.17 采用先处理法形成图示结构的整体刚度矩阵和整体等效结点荷载列阵；引进边界条件，获得矩阵缩小后的最终有限元方程。 2.18 已知图2.17所示结构的结点位移列阵为：

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

计算杆23的杆端力列阵的各元素。

2.19 设x 轴为一平面弹性力学问题的对称轴，取该对称轴一侧的半边结构进行计算，则结构在该轴上的位移和应力边界条件各是什么？采用以结点位移为基本未知量的有限单元法分析时，试说明应如何引进这些边界条件。 2.20 图(a)为平面结构中的一个四结点四边形单元，其对应的等参基本单元如图(b)所示，各结点的整体与局部坐标值列于图中括号内。基本单元的形函数表达式为：

N i =(1+ξi ξ)(1+ηi η)/4 （i =1,2,3,4）

其中ξi 、ηi 表示结点i 的局部坐标。

(1) 计算基本单元中一点（ξ=-0.5，η=0.5）在实际单元中对应的整体坐标值；

(2) 假定实际单元的结点位移u i 、v i （i =1,2,3,4）均为已知，计算单元中一点（2，2.5）处的位移值。

1(-

4(