第四讲 马科维茨证券组合选择理论和资本资产定价模型
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第四讲 马科维茨证券组合选择理论和资本资产定价模型
——习题解答
（葛乐乐）
1.2,1,...2211=+++=p x x x y n p n p p p θθθ为两个证券组合的未来价格。试指出证券组合
2
1
y y y +=的收益率y r 与2
1
,y y 的收益率1y r 和2
y r 之间的关系。特别是指出，他们作为n 种
证券的收益率的组合的相互关系。 解：证券组合y 的收益率为y r 为
)
()()()()(2
1
2
2
1
1
2
121
y p y p y
y p y p y
y y p y
y r y ++
+=
++=
)
()()()
()
()()()
(2
22
1
2
1
12
1
1
y p y
y p y p y p y p y
y p y p y p ++
+=
令 )
()()(,)
()()(2
1
2
22
1
1
1y p y p y p w y p y p y p w +=
+=
则 2
21
1y y y r w r w r += )1(21=+w w
设n x x x ,...,,21的收益率分别为n r r r ,...,,21，则
∑∑===
=
n
i i
i y
n
i i
i y
r
w r
r w r 1''21
'1,
其中 1,11
'
'1
'==∑∑==n
i i n i i
w w
(彭先慧)
2.设p 和q 为两种证券，且它们的收益率r p 和r q 满足[][r r q p E E =，那么这两种证券
组合前沿是什么？证明，证券p 是这两种证券的前沿组合的充要条件为 ][],[r r r p q p Var Cov =。 解：设2,1==q p ,及μ==][][r r q p E E
由⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧=+=+=μμμσw w w w w VW T
w 21
211min 所以可得μμ=
因为w
V
w
w V
w V
w
22
22
2
112
21
11
22++=σ
将w
w 1
21-
=代入可得
V
w V
V w V V
V
w
22
12212
2
1
1222
11
2)(2)2(+-+-+=σ
所以当
V
V
V
V
V w
12
22
11
12
22
1
2-+-=
时
σ
2w
取最小,所以此时可以得到
V
V
V V
V
V V
V V V
V
V
V
V V w
12
22
11
212221112
22
11
2
22
12
22
1222
11
222)()2(2-+-=
-+---+=
σ
为一个常
数值，而μμ=，所以此时的组合前沿为一个点。
（2）证明：当证券p 是这两种证券的前沿组合时即V
w
11
2=σ
即V
V
V V
V
V V
V V
V
V
V
V
V
V
w
12
22
11
2122211
12
22
11
2
22
12
22
1222
11
222)()2(2-+-=
-+---+=
σV
11
=
⇔
V V
1211
=
即p 是这两种证券的前沿组合的充要条件为][],[r r r p q p Var Cov =。
（彭喆）
3.如果n 种证券的期望收益率都相等，但收益率方差可能不同。同时，它们又都是互不相关的。试求出其有效组合，并写出其最小方差的表达式。
解：212m in 1(...)T w T n w Vw w e w w w u u σ⎧⎫=⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+++=⎩⎭
用拉格朗日乘子法求解，
12(,,)(1)T T
L w w Vw w e λλλ=--，求偏导，得