振动之圆环复摆的运动规律(动画)

mg
*{范例5.6} 圆环复摆的运动规律(动画)
如图所示，质量为m的圆弧半径R，张角为2α，正中间固定 于A点。不计摩擦，演示圆环复摆振动的动画，将复摆的振 动规律与简谐振动进行比较。 2 g d g 2 m θl sin 0,
dt
2
2R
T 2π 2π
2R
圆环小角振 动的周期为
0
g R
2R g

R g

2π
0
2
2T0
mg
和 T0 2 π
分别是等效单摆的小角 振动的圆频率和周期。
4 R g
m
根据单摆周期的推导方法， T 可得圆环摆动的周期 周期可用完全 椭圆积分表示
T T0 2 2 π
π /2

0
d co s co s m
其中θm是摆 角的角振幅。
2
如图所示，当圆弧质心偏转角度θ时，根 据转动定理，圆弧复摆的运动规律为
J d
2百度文库


R 2α O
φ x θ l
dt
2
m g l sin
化 简
d
2
dt
2

g 2R
sin 0
可见：不论张角是多少，在初始条件相同的 情况下，圆弧和圆环的运动规律是相同的。 m 2 d 其 2 g 2 在小角度的情况下， 0 2 2R 中 dt sinθ ≈ θ，可得 可知：圆环在小角度时作简谐振动。
*{范例5.6} 圆环复摆的运动规律(动画)
如图所示，质量为m的圆弧半径R，张角为2α，正中间固定 于A点。不计摩擦，演示圆环复摆振动的动画，将复摆的振 y 动规律与简谐振动进行比较。 A m dm [解析](1)由于对称的缘故，圆弧的 m l r 质心在y轴上。圆弧质量线密度为 2 R R 在圆弧中取一线元ds = Rdφ， φ 2α 其质量为dm = λds = λRdφ， O x 到转动轴x的距离为y = Rcosφ， 质心纵坐标为 距离为
2 2 2 3
2
*{范例5.6} 圆环复摆的运动规律(动画)
如图所示，质量为m的圆弧半径R，张角为2α，正中间固定 于A点。不计摩擦，演示圆环复摆振动的动画，将复摆的振 y 动规律与简谐振动进行比较。 A m dm sin sin l r ) l R (1 ), J 2 m R (1
yC 1 m
ydm

1 m

R
2
π -

co s d
1 m

R sin
2 -
R
sin

, l R (1
sin

)
张角越大，距离就越大。当α→π时，则l→R，这是最大距离。 圆弧绕A点的 J r d m R 4 R sin d 2 R (1 co s )d 2 转动惯量为 sin 可见：圆弧绕A点的转动惯量随张角的变化 2 m R (1 ) 规律与质心距离随张角的变化规律是一样的。

0
dx 1 k sin x
2 2
T0
2 2 π
K (k )
参数为k = sin(θm/2)。
当角振幅为60º 时，圆环复摆的周 期为1.52T0，与简谐运动相差无几。
当角振幅为60º 时，圆环复 摆的初始状态如图所示。
如果角振幅为179º ，圆环复摆的周期达到5.52T0， 是同样长度的轻杆单摆的周期的 倍，运动 2 规律与简谐振动相差比较大。