数学分析中极限的求法综述

数学分析中极限的求法综述

摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则

求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。

关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中

值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

1：利用两个准则求极限。

(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a →∞= .

利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

例[1]

n x =

+

求n x 的极限

解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

.......n x ≥

+

=

.......n x ≤

+

=

n x ≤≤

又因为1

x x ==

lim 1

n x x →∞

=

（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。

123,n y y y y a a a a ====+++

+

证明：从这个数列构造来看

n y 显然是单调增加的。用归纳法可证。

又因为23,n y y y === 所以得

21n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的。 两端除以 n y

得

1n n

a

y y <

+

因为1n y y ≥=

则n a y ≤,

从而11

n a

y +≤

1n y ≤≤

即 n y 是有界的。根据定理{}n y 有极限，而且极限唯一。

令 lim n n y l

→∞= 则 21lim lim()

n n n n y y a -→∞

→∞

=+

则2

l l a =+. 因为 0,n y >

解方程得

l =

所以

lim n n y l →∞

==

2：利用极限的四则运算性质求极限

极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。

例；求极限

(1)22

11

lim 21x x x x →---

(2)3

x →

(3)31

13lim(

)11x x x →--++

(4) 已知

111

,1223

(1)n x n n =

+++

⨯⨯-⨯求lim n n x

→∞

解：(1) 2211lim 21x x x x →---＝1(1)(1)lim (1)(21)

x x x x x →+--+＝

11lim 21x x x →++＝23

(2)3

2lim 3x

x →-＝

x →x →＝1

4 (3)31

13

lim(

)11x x x →--++

＝2312lim 1x x x x →---+＝21(1)(2)lim (1)(1)

x x x x x x →-+-+-+＝212lim 1x x x x →---+＝-1

(4) 因为

11

1

,

1223

(1)n x n n =

+++

⨯⨯-⨯

111111

111122334411n n n

=-+-+-+-

-

+---11n =-

所以 1

lim lim(1)1

n n n x n →∞→∞=-=

3：利用两个重要极限公式求极限

两个极限公式 (1) 0sin 1

lim

lim sin 1x x x x x x →→∞==

(2)1

01lim(1)lim(1)x

x x x x e

x →∞→+=+=

在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例：求下列函数的极限[4]

(1)

230lim lim cos cos cos cos

2222n n n x x x

x →→∞⎧⎫

⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭

(2)22lim(1)m m n m →∞- 解：(1)

23

cos cos cos cos

2222n x x x x

＝

231

sin cos cos cos cos

sin 222222sin 2n n

n x x x

x x

x x

＝

1

sin 2sin 2n

n

x

x

23

lim cos cos cos cos

2222n n x x x

x

→∞