流体力学 第七章 不可压缩流体动力学基础

第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。

第一节流体微团的运动分析

运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。

在直角坐标系中取微小立方体进行研究。

一、平移：如果图（a）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成

了液体基体的单纯位移，其移动速度为z y x u u u 、、。基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。

二、线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比A 点和D 点大了

dy

y

u y ∂∂，而

y

u y ∂∂就代表1=dy 时液体基体运动时，在单位时间内

沿y 轴方向的伸长率。

x

u x ∂∂，

y

u y ∂∂，

z

u z ∂∂

三、角变形（角变形速度）

d α

d β

d β

d α

D

C

A

B

C

D

B

A

dt

y

u dy

dt dy y

u d x x

∂∂=

⋅∂∂=

α dt

x

u

dx

dt dx x

u d y

y

∂∂=

⋅∂∂=

β

θ

βθα+=-d d 2

β

αθd d -=∴

角变形： ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂=

+=

-=x u y

u d d d y x

z 212

β

αθαθ ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=

x u z u z x y 21θ

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂=

y u z u z y x 21θ 四、旋转（旋转角速度）

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=-=y u x

u x y z 21θω

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z

x

21ω 即， ⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=

x u z u z x y 21ω

z

y

x

u u u z y x k j i ∂∂∂∂∂∂=

21ω

那么，代入欧拉加速度表达式，得：

z x x x x

x x

z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z

z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t x

u u u u u u u u dt t y u u u u u u u u dt

t

z αθθωωαθθωωαθθωω∂∂⎫

==++++-⎪∂∂⎪

∂∂∂⎪==++++-⎬∂∂⎪

⎪∂∂∂=

=++++-⎪

∂∂⎭

各项含义：

（1） 平移速度

（2）线变形运动所引起的速度增量 （3）（4）角变形运动所引起的速度增量 （5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量

流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。 ——亥姆霍兹速度分解定理

第二节 有旋运动

1、无涡流（势流）

如在液体运动中，各涡流分量均等于零，即0===z y x ωωω，则称这种运动为无涡流。

当满足无涡流条件时，y z

x z y x u u y z

u u z x u u x y ∂⎫

∂=

⎪

∂∂⎪

∂∂⎪

=⎬

∂∂⎪∂⎪

∂=⎪∂∂⎪⎭

，满足柯西条件，就有：x y z u x u y u z ϕϕϕ⎫

∂=

⎪∂⎪∂⎪

=⎬∂⎪⎪∂=⎪

∂⎭

存在。

ϕ即流速势。满足此条件的流动（无涡流）就叫势流。（下一章作详细介绍）

2、有涡流：如在液体运动中，涡流分量x ω、y ω及z ω中间的任一个或全部不等于零，则这样的液体运动就叫做旋流或有涡流。自然界中的实际液体几乎都是这

种有涡的流动。

涡线：流场中一些假想的线，在所讨论的瞬时，涡线上各个质点的涡旋向量都与此线在该点处相切。

y

与流线同样的分析方法，得到涡线方程：

z

y

x

dz

dy

dx

ωωω=

=

涡量：设流体微团的旋转角速度为()t z y x ,,,ω

，则k j i z y x

Ω+Ω+Ω==Ωω2称为

涡量，是与空间坐标和时间有关的矢量函数。其中x Ω、y Ω和z Ω是涡量在x 、y 、

z

坐标上的投影。

根据旋转角速度的定义，有： z

u y

u y z x ∂∂-∂∂=

Ω x

u z

u z x y ∂∂-

∂∂=

Ω y

u x

u x y z ∂∂-

∂∂=

Ω

哈米尔顿算子是一矢量算子，k z

j y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇，

可知，⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂

∂∂∂∂=

⨯∇y

u x u j x u z u i z u y u u u u z y x k j i u x y z x y z z

y

x

u

⨯∇=Ω

那么，()0=⨯∇⋅∇=Ω⋅∇u

就自然满足。 或者写成，

0=∂Ω∂+∂Ω∂+∂Ω∂z

y

x

z y x

即涡量的定义使之自然满足涡量连续性微分方程。