切线长定理

思考：如何在三角形的铁皮上作一个面积最 大的圆呢？
阅读课本97页，思考： 1、什么是三角形的内切圆？ 2、什么是三角形的内心？
A
D
F O
B
EC
1.一个三角形有且只有一个内切圆； 2.一个圆有无数个外切三角形； 3.三角形的内心就是三角形三条内角平
分线的交点； 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
D
A
O
OM
P
A 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形 ，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分 AB
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
B
CA=CB
。
P
C
O
A 证明：∵ PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
A
D
P
·O
E
C B
课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
．o
A
B
．o
A
B
外切圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
外切圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
例3、如图，△ABC中,∠C =90o,它的
内切圆O分别与边AB、BC、CA相切
我们学过的切线，常有 六五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP CA
OD
P
B
练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分
两条切线的夹角。
A
O
P
几何语言: B PA = PB
PA、PB分别切⊙O于A、B ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明 线段相等 、角相 等提供新的方法
试一试
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 出什么新的结论?并给出证明. B
OP垂直平分AB
DN=DP
D
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB +MC+DP
P
O
即 AB+CD=AD+BC
AL
C M B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
练习2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4，求OB的长.
C E
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
探究：PA、PB是⊙O的两条切
A
线，A、B为切点，直线 OP交于
比一比
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线， 不能度量 ； 2、切线长是 线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点 ，可以度量 。
折一折 A
1
O
2
P
B
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B 为切点，把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?
证一证
请证明你所发现的结论。 B
x＋y＝9 则有 y＋z＝14
x＋z＝13
x＝4 解得 y＝5
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
例4 、如图，四边形 ABCD的边
AB、 BC、CD、DA和圆⊙ O分别 相切于点 L、M、N、 P，
求证： AD+BC=AB+CD
证明：由切线长定理得
N
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
⊙O于点D、E，交AB于C。 E O C D
P
（1）写出图中所有的垂直关系
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
A
O。
P
B
思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，
则∠OAP= 90°,连接OP，可知A、B 除了
在⊙O上，还在怎样的圆上?
尺规作图：
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
OO ·
P
B
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间 的线段的长叫做 这点到圆的切线长
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点 A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△ BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，
于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求⊙O的半径r.
A
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D
F O
B
EC
例1 △ABC的内切圆⊙ O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm ， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD ＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE ＝z(cm)
问题1、经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
·O
问题2、
1、经过圆外一点P，如何作已知⊙O的
切线？
如下左图，借助三角板，我们可以画 A
出PA是⊙O的切线。
2、这样的切线能画出几条？
3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数 B
O
P
130° 50°
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？