函数的性质单调性

函数的性质----单调性

知能要点：

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

○

2 能否看出函数的最大、最小值？ ○

3 函数图象是否具有某种对称性？ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？

不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。

3、增减函数的概念

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f(x 2)。

*注意：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

4、函数的单调性

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。

5、判断函数单调性

（1）根据图像判断函数的单调性（增或减函数）：

e.g ：如图是定义在区间[－5，5]上的函数

y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以

及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

（2）利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性：

① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

② 作差f(x 1)－f(x 2)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．

6、复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

知能训练 1. 下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ）

A. x y =

B. x y -=3

C. x y 1

= D. 42+-=x y

2.函数1

y x =-的单调区间是（ ）

A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0） （1，∞，）

C.（-∞，1） 、（1，∞）

D. （-∞，1）（1，∞）

3. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( )

A ．32y x =-+

B ．3

y x = C ．245y x x =-+ D ．23810y x x =+-

4．函数y =的增区间是（ ）。

A ．[-3，-1]

B ．[-1,1]

C ．1

13a -<<-(,3)-∞- D ．(1,)-∞

5.判断一次函数,b kx y +=反比例函数x k

y =，二次函数c bx ax y ++=2的单调性.

6．证明函数x

x x f 2)(+=在),2(+∞上是增函数． 解析： 证明：任取2121),,2(,x x x x <+∞∈且, 设元

)2()2()()(2

21121x x x x x f x f +-+=- 求差 )22(

)(2121x x x x -+-= 变形 2

11221)(2)(x x x x x x -+-= )21)((2121x x x x -

-= 2

121212)(x x x x x x --=, ,221x x << 断号

∴,2,02121><-x x x x ∴,0)()(21<-x f x f 即),()(21x f x f < ∴函数x

x x f 2)(+=在),2(+∞上是增函数． 定论 7．函数f(x)对任意的实数m 、n 有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x ＞0时有f(x)＞0，证明f(x)在 （-∞,+∞)上为增函数。

8.已知函数)1(1

2)(>+-+=a x x a x f x ，证明)(x f 在),1(+∞-上是增函数。