平面向量的基本定理及坐标表示PPT课件
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一组基底?
b
a
.
思考3:把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解.如图,向 量i、j是两个互相垂直的单位向量,向量 a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i、 j为基底,向量a如何表示?
B
P
a 2 3i 2j
a
j
Oi
A
.
思考4:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,
-4 -2 O 2
c=(-2,-3) c -2 d
-5
4x
d=(2,-3)
.
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理, 同时又是向量坐标表示的理论依据,是 一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量,平行向量的夹角是 0°或180°,垂直向量的夹角是90°.
.
.
探究(一):平面向量基本定理
思考1:给定平面内任意两个向量e1,e2, 如何求作向量3e1+2e2和e1-2e2?
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1+. 2e2
思考2:如图,设OA,OB,OC为三条共 点射线,P为OC上一点,能否在OA、OB 上分别找一点M、N,使四边形OMPN为平
.
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系,它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点,则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
.
2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
.
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么?
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
.
.
探究(一):平面向量的坐标运算 思考1:设i、j是与x轴、y轴同向的两个 单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,
.
思考2:根据向量的坐标表示,向量 a+b,a-b,λa的坐标分别如何?
a+b=(x1+x2,y1+y2); a-b=(x1-x2,y1-y2); λa=(λx1,λy1).
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
.
问题提出
tபைடு நூலகம்
p
1 2
5730
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算
法则?
2.怎样理解向量的数乘运算λa?
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)λ>0时,λa与a方向相同;
λ<0时,λa与a方向相反;
.
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
思考8:上述定理称为平面向量基本定理, 不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组?不同基底对 应向量a的表示式是否相同?
.
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1:不共线的向量有不同的方向,对
于两个非零向量a和b,作
uuur OA
a,OuuBur
b,
如图.为了反映这两个向量的位置关系,
称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量
的夹角的取值范围应如何约定为宜?
ab
B
b [0°,180°]
O aA
.
思考2:如果向量a与b的夹角是90°,则 称向量a与b垂直,记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的
行四边形?
B
N
PC
O
MA
.
思考7:根据上述分析,平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1,e2表示出来,从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗?
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么?
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量,若a=xi+yj,则a=(x,y).
.
3.用坐标表示向量,使得向量具有代数 特征,并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算,为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是,向量 的和、差、数乘运算,如何转化为坐标 运算,对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定
理知,有且只有一对实数x、y,使得 a=
xi+yj.我们把有序数对(x,y)叫做向量a的
坐标,记作a=(x,y).其中x叫做a在x轴上的
坐标,y叫做a在y轴 上的坐标,上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何?
j
x
Oi
x
.
思考5:相等向量的坐标必然相等,作向
.
a+b=(x1+x2,y1+y2); a-b=(x1-x2,y1-y2); λa=(λx1,λy1).
思考3:如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算?
两个向量和(差)的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和(差); 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
.
思那考么向4:量如Au图uBur ,的已坐知标点如A(何x1,?y1一),般B(地x2,,y一2),个 任意向量的坐标如何计算?
λ=0时,λa=0.
.
3.平面向量共线定理是什么?
非零向量a与向量b共线 一实数λ,使b=λa.
存在唯
4.如图,光滑斜面上一个木块受到的重
力为G,下滑力为F1,木块对斜面的压 力为F2,这三个力的方向分别如何?
三者有何相互关系?
F1
G
F2
.
5.在物理中,力是一个向量,力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解, 任何一个大小不为零的力,都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来,就会形成一个 新的数学理论.
Ay
uuur AB
= (
B
o
x
任x 意一个向量的坐标等于表示该向量 的2-有向线段的终点坐标减去始点坐标.
x
.
思算考?若6:点若A向(x量1,ya1=)(,x,B(yx)2,,则y2)|,a|则如何Au uB计ur 如何计算?
量
uuur OA
a,则
uuur OA
(x,y),此时点A是坐
标是什么?
y
Aa
A(x,y)
j
Oi
x
.
理论迁移
例1 如图,已知向量e1、e2,求作向 量-2.5e1+3e2.
e1
e2
C
B
3e2
A -2.5e1 O
.
例2 如图,写出向量a,b,c,d的坐标.
b=(-2,3)
5y b2 a
a=(2,3)
b
a
.
思考3:把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解.如图,向 量i、j是两个互相垂直的单位向量,向量 a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i、 j为基底,向量a如何表示?
B
P
a 2 3i 2j
a
j
Oi
A
.
思考4:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,
-4 -2 O 2
c=(-2,-3) c -2 d
-5
4x
d=(2,-3)
.
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理, 同时又是向量坐标表示的理论依据,是 一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量,平行向量的夹角是 0°或180°,垂直向量的夹角是90°.
.
.
探究(一):平面向量基本定理
思考1:给定平面内任意两个向量e1,e2, 如何求作向量3e1+2e2和e1-2e2?
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1+. 2e2
思考2:如图,设OA,OB,OC为三条共 点射线,P为OC上一点,能否在OA、OB 上分别找一点M、N,使四边形OMPN为平
.
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系,它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点,则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
.
2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
.
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么?
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
.
.
探究(一):平面向量的坐标运算 思考1:设i、j是与x轴、y轴同向的两个 单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,
.
思考2:根据向量的坐标表示,向量 a+b,a-b,λa的坐标分别如何?
a+b=(x1+x2,y1+y2); a-b=(x1-x2,y1-y2); λa=(λx1,λy1).
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
.
问题提出
tபைடு நூலகம்
p
1 2
5730
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算
法则?
2.怎样理解向量的数乘运算λa?
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)λ>0时,λa与a方向相同;
λ<0时,λa与a方向相反;
.
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
思考8:上述定理称为平面向量基本定理, 不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组?不同基底对 应向量a的表示式是否相同?
.
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1:不共线的向量有不同的方向,对
于两个非零向量a和b,作
uuur OA
a,OuuBur
b,
如图.为了反映这两个向量的位置关系,
称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量
的夹角的取值范围应如何约定为宜?
ab
B
b [0°,180°]
O aA
.
思考2:如果向量a与b的夹角是90°,则 称向量a与b垂直,记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的
行四边形?
B
N
PC
O
MA
.
思考7:根据上述分析,平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1,e2表示出来,从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗?
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么?
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量,若a=xi+yj,则a=(x,y).
.
3.用坐标表示向量,使得向量具有代数 特征,并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算,为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是,向量 的和、差、数乘运算,如何转化为坐标 运算,对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定
理知,有且只有一对实数x、y,使得 a=
xi+yj.我们把有序数对(x,y)叫做向量a的
坐标,记作a=(x,y).其中x叫做a在x轴上的
坐标,y叫做a在y轴 上的坐标,上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何?
j
x
Oi
x
.
思考5:相等向量的坐标必然相等,作向
.
a+b=(x1+x2,y1+y2); a-b=(x1-x2,y1-y2); λa=(λx1,λy1).
思考3:如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算?
两个向量和(差)的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和(差); 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
.
思那考么向4:量如Au图uBur ,的已坐知标点如A(何x1,?y1一),般B(地x2,,y一2),个 任意向量的坐标如何计算?
λ=0时,λa=0.
.
3.平面向量共线定理是什么?
非零向量a与向量b共线 一实数λ,使b=λa.
存在唯
4.如图,光滑斜面上一个木块受到的重
力为G,下滑力为F1,木块对斜面的压 力为F2,这三个力的方向分别如何?
三者有何相互关系?
F1
G
F2
.
5.在物理中,力是一个向量,力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解, 任何一个大小不为零的力,都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来,就会形成一个 新的数学理论.
Ay
uuur AB
= (
B
o
x
任x 意一个向量的坐标等于表示该向量 的2-有向线段的终点坐标减去始点坐标.
x
.
思算考?若6:点若A向(x量1,ya1=)(,x,B(yx)2,,则y2)|,a|则如何Au uB计ur 如何计算?
量
uuur OA
a,则
uuur OA
(x,y),此时点A是坐
标是什么?
y
Aa
A(x,y)
j
Oi
x
.
理论迁移
例1 如图,已知向量e1、e2,求作向 量-2.5e1+3e2.
e1
e2
C
B
3e2
A -2.5e1 O
.
例2 如图,写出向量a,b,c,d的坐标.
b=(-2,3)
5y b2 a
a=(2,3)