运筹学生产优化问题

案例二：SYTECH公司的生产优化问题

案例概述：

Sytech 国际公司是一家在同行业中处于领先地位的计算机和外围设备的制造商。公司的主导产品分类如下：大型计算机（MFRAMES）、小型计算机（MINIS）、个人计算机（PCS）、和打印机（PRINTERS）。公司的两个主要市场是北美和欧洲。

公司一直按季度作出公司最初的重要决策。公司必须按照营销部门的需求预测来对分布在全球的三个工厂调整产量，公司下一季度需求预测如下：表1 需求预测

产品 北美 欧洲

大型计算机 962 321

小型计算机 4417 1580

个人计算机 48210 15400

打 印 机 15540 6850

而公司的三个工厂的生产能力限度又使得其不能随心所欲地在任一工厂进行生产，限制主要是各工厂规模及劳动力约束。

表2 工厂的生产能力

工厂 空间（平方英尺） 劳动力（小时）

伯灵顿 540710 277710

中国台湾 201000 499240

爱尔兰 146900 80170

表3 资源利用率

产品 空间/单位 劳动小时/单位 大型计算机 17.48 79.0

小型计算机 17.48 31.5

个人计算机 3.00 6.9

打 印 机 5.30 5.6

最终分析所要求的数据由会计部门提供，表4所显示的数据表示单位利润贡献（税后）：

表4 单位利润贡献（美元）

单位利润 大型计算机 小型计算机 个人计算机 打印机 北美 欧洲 北美 欧洲 北美 欧洲 北美 欧洲

伯灵顿 16136.46 13694.03 8914.476956.231457.181037.57 1663.51 1345.43

中国台湾 17358.14 14709.96 9951.047852.361395.351082.49 1554.55 1270.16

爱尔兰 15652.68 13216.34 9148.557272.891197.521092.61 1478.9 1312.44根据以上信息，SYTECH公司建立了一个线性优化模型。

案例求解：

一、基本关系

本案例的主要问题在于计算机制造地域安排问题，不同的地域安排收益会不同，基本关系在案例中的“线性优化模型的公式表”已经给出。

二、目标函数

Xijk 在工厂j制造用于在市场k销售的产品i的数量。其中：

i: 1-大型计算机，2-小型计算机，3-个人计算机，4-打印机

j: 1-伯灵顿，2-中国台湾，3-爱尔兰

k: 1-北美，2-欧洲

根据“单位利润贡献表”列出目标函数：

MaxZ=16136.46X111+13694.03X112+17358.14X121+14709.96X122+15652.68X131+13216.34X132+891 4.47X211+6956.23X212+9951.04X221+7852.36X222+9148.55X231+7272.89X232+1457.18X311+1037.57X312+ 1395.35X321+1082.49X322+1197.52X331+1092.61X332+1663.51X411+1345.43X412+1554.55X421+1270.16X +1478.90X431+1312.44X432

422

根据“工厂的生产能力表”列出空间约束和劳动力约束

空间约束：

（C1）.17.48X111 +17.48X112 +17.48X211+17.48X212+3X311+3X312+5.3X411+5.3X412≤540710 （C2）.17.48X121+17.48X122+17.48X221+17.48X222+3X321+3X322+5.3X421+5.3X422≤201000 （C3）.17.48X131+17.48X132+17.48X231+17.48X232+3X331+3X332+5.3X431+5.3X432≤146900

劳动力约束：

（C4）.79X111+79X112+31.5X211+31.5X212+6.9X311+6.9X312+5.6X411+5.6X412≤277710

（C5）.79X121+79X122+31.5X221+31.5X222+6.9X321+6.9X322+5.6X421+5.6X422≤499240

（C6）.79X131+79X132+31.5X231+31.5X232+6.9X331+6.9X332+5.6X431+5.6X432≤80170

需求约束：

（C7）.X111+X121+X131≤962

（C8）.X112+X122+X132≤321

（C9）.X211+X221+X231≤4417

（C10）.X212+X222+X232≤1580

（C11）.X311+X321+X331≤48210

（C12）.X312+X322+X332≤15400

（C13）.X411+X421+X431≤15540

（C14）. X 412+X 422+X 432≤6850

运算结果如下：

Decision Variable

Solution Value

Unit Cost or Profit c(j)

Total

Contribution

Reduced

Cost

Basis

Status

Allowable Min. c(j)

Allowable

Max. c(j)

1 X 111 0 16,1360-7,808at bound -M 23,944

2 X 112 0 13,6940-7,602at bound -M 21,296

3 X 121 962 17,35816,698,5300basic 9,550 M

4 X 122 321 14,7104,721,8970basic 7,108 M

5 X 131 0 15,6530-8,879at bound -M 24,532

6 X 132 0 13,2160-8,667at bound -M 21,883

7 X 211 1,683 8,91414,999,8900basic 8,86

8 9,334 8 X 212 0 6,9560-83at bound -M 7,03

9 9 X 221 1,769 9,95117,606,1300basic 9,728 9,998 10 X 222 0 7,8520-223at bound -M 8,075 11 X 231 965 9,1498,829,0760basic 8,729 9,231 12 X 232 1,580 7,27311,491,1700basic 7,190 M 13 X 311 14,395 1,45720,975,5100basic 1,354 1,467 14 X 312 0 1,0380-107at bound -M 1,144 15 X 321 33,815 1,39547,184,3300basic 1,385 1,498 16 X 322 15,400 1,08216,670,3500basic 1,045 M 17 X 331 0 1,1980-311at bound -M 1,508 18 X 332 0 1,0930-103at bound -M 1,196 19 X 411 15,540 1,66425,850,9500basic 1,437 M 20 X 412 6,850 1,3459,216,1960basic 1,271 M 21 X 421 0 1,5550-1,057at bound -M 2,612 22 X 422 0 1,2700-1,024at bound -M 2,294 23 X 431 0 1,4790-226at bound -M 1,705 24 X 432 0 1,3120-75at bound -M 1,387

Objective Function (Max.) = 194,244,000

资源使用情况表

Constraint

Left

Hand Side Direction

Right Hand Side Slack or Surplus Shadow Price

Allowable Min. RHS

Allowable Max. RHS

1 C1 191,263 <= 540,710349,447

0191,263 M 2 C2 201,000 <= 201,0000348194,304 207,3683 C3 44,488 <= 146,900102,412

044,488 M 4 C4 277,710 <= 277,7100160275,146 292,3565 C5 496,676 <= 499,2402,564

0496,676 M 6 C6 80,170 <= 80,170016877,606

91,645

7 C7 962 <= 962011,266598 9948 C8 321 <= 32108,6180 3539 C9 4,417 <= 4,41703,8594,053 4,49810 C10 1,580 <= 1,58001,9841,216 1,66111 C11 48,210 <= 48,210035046,087 48,58212 C12 15,400 <= 15,40003713,277 15,77213 C13 15,540 <= 15,540076512,925 15,99814

C14

6,850

<=

6,850

447

4,235 7,308

表二

表一