数学建模案例分析第8讲最短路问题

注：假设图为简单图
v1
0 A= 1
0 1
v2 v3 v4
1 0 1 v1 0 1 1 v2
1 1
0 1
1 0
v3 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 10
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
06.03.2021
整理ppt
12
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
整理ppt
2
百度文库
06.03.2021
图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1．图的定义 2．顶点的次数 3．子图
二、 图 的 矩 阵 表 示 1． 关联矩阵
2． 邻接矩阵
整理ppt
返回
3
图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, )称为一个图,如果：
[1] V={v1, v2 ,, vn }是有限非空集，V 称为顶点集，
称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
为顶点的数目．
( 7)若 V=X Y，X Y= ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶
点不相邻，则称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，则 G 称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
G
06.03.2021
G[{v1,v4,v5}]
整理ppt
G[{e1,e2,e3}]
返回
10
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 0
若vi与e
相关联
j
若vi与e
不关联
j
注：假设图为简单图
e1 e2 e3 e4 e5
1 0 0 0 1 v1
M= 1 1 0 1 0 v2
定义 若将图 G 的每一条边e 都对应一个实数 w (e )，则称 w (e )为边的 权，并称图 G 为赋权图. 规 定 用 记 号 和 分 别 表 示 图 的 顶 点 数 和 边 数 .
06.03.2021
整理ppt
5
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.
06.03.2021
整理ppt
返回
9
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(1) 若 V1 V，E1 E,且当 e E1 时， 1 ( e )= ( e ),则称 G1 是 G 的子图．
特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
0 0
0 1
1 1
1 0
0 1
v3 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
06.03.2021
整理ppt
返回
11
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 10
若vi与v j相邻 若vi与v j不相邻
数学建模与数学实验 最短路问题
06.03.2021
整理ppt
1
实验目的 实验内容
1．了解最短路的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路
1．图 论 的 基 本 概 念
2．最 短 路 问 题 及 其 算 法
3．最 短 路 的 应 用 4．建模案例：最优截断切割问题
5．实验作业
06.03.2021
06.03.2021
整理ppt
返回
14
基本概念
定义１ 在无向图 G=(V,E, )中：
（１）顶点与边相互交错且 (ei ) vi1vi (i=1,2,…,k)的有限非空序列 w (v0e1v1e2 vk1ek vk ) 称为一条从 v0 到 vk 的通路，记为Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv0 vk
(2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1].
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图,
称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
d (v) = d＋(v) + d－(v) 称为 v 的次数．
d(v4 ) 4
06.03.2021
d (v4 ) 2
d (v4 ) 3
d (v4 ) 5
整理ppt
8
定 理 １ d ( v ) 2 ( G ) v V ( G )
推 论 １ 任 何 图 中 奇 次 顶 点 的 总 数 必 为 偶 数 ．
其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边.
[3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素
偶对构成集合的映射，称为关联函数.
例1 设 G=(V,E, )，其中
V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
(e1) v1v2 , (e2 ) v1v3, (e3) v1v4, (e4 ) v1v4, (e5 ) v4v4 .
G 的图解如图
06.03.2021
整理ppt
4
定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e ，称为图的有向边 （或弧），而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e ，称为图的无
向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向
边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.
06.03.2021
整理ppt
6
06.03.2021
整理ppt
返回
7
顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）称 为 v 的次数，记为 d (v) ．
（２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d＋(v) ，从顶点 v 引入的边的数目称为 v 的入度，记为 d－(v) ，
wij aij 0
若(vi , v j ) E,且wij为其权 若i j
若(vi , v j ) E
06.03.2021
v1
0
A= 2
7
v2 v3 v4
2 7 v1 0 8 3 v2
8 3
0 5
5 0
v3 v4
整理ppt
返回
13
最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念 二、固 定 起 点 的 最 短 路 三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路