应用随机过程第6章股票价格行为模式分析上

由股票价格的对数正态分布性质知： 1 2 ~ N ((u ), )
2 T t
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源自文库
4 相关随机过程
› Markov过程(略)
› Brown运动 ›鞅 › Ito过程
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4 相关随机过程—Brown运动（1）
› 布朗运动：花粉热运动，1828年，英国植物学家 布朗发现的。1905年，Einstein给出了布朗运动 的热运动方程。 › 布朗运动在物理学领域得到了广泛的应用。
股票价格是基于有飘移的Brown运动的几何Brown 运动。
1 2 S (t ) exp{( )t B(t )} 2
4 相关随机过程—Brown运动（14）
› 布朗运动具有马尔科夫性，是一种马氏过程。
› 布朗运动的鞅性 可证明维纳过程（布朗运动）Wt是一个连续鞅。 2 Wt t 也是鞅。 2 反过来说也是正确的，即如果 Wt t 是一个 连续时间鞅，而Wt也是连续时间鞅，则Wt必然 是布朗运动。（参考Elliot & Kopp 1999） 随机过程 e Wt为维纳过程。
› 应用Ito定理，可以对上述股票价格过程进行变形，得到显 示表达： 1
S (t ) exp{( 2 )t B(t )} 2
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2 股票价格行为模式（3）
› 无红利支付股票价格遵循的随机过程
dS=μSdt+σSdB
› 股价S(t)可以由瞬态期望漂移率(instantaneous expected drift rate)为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程 （几何布朗运动）表达。
› 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。
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2 股票价格行为模式（1）
› 无红利支付股票价格遵循的随机过程 dS=μSdt+σSdB
› 其中 S=S(t)代表 t 时刻股票价格
› B=B(t) 是标准Brown运动，也称Wiener过程。
› 变量μ为股票在单位时间内以连续复利表示的股票 价格的预期收益率(expected rate of return)。
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4 相关随机过程—鞅（3）
› 一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋 势性(trend)，就可以称之为鞅。鞅描述的是 “公平”赌博； › 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅 (submartingale)。描述“有利”赌博； › 反之如果该过程总是在减少，则称之为上鞅 (supermartingale)。描述“不利”赌博；
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1 股票价格行为特征、市场假设（3）
›弱式效率市场假说与马尔科夫过程
›b)效率市场分类 –效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 –弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含 任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说 不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。 –半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地 根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和 成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助 于挑选价格被高估或低估的证券。
› 实际上，鞅是一种用条件数学期望定义的随机 运动形式，或者说是具有某种可以用条件数学 期望来进行特征描述的随机过程。 › 鞅的严格定义见教材 6.1节。
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作业：
› P134 习题6 1,4,5；
› P154 习题7 1,2,3。
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1 aWt 2t 2
也是鞅，其中a是任意实数，
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4 相关随机过程—鞅（1）
• 鞅这个术语早在20世纪30年代由Ville(1939)引进 • 基本概念来自于法国概率学家列维(Levy，1934) • 真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)， 他于1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了(包括上鞅 分解问题在内的)他对于鞅论的系统研究成果。它引起了 一般过程理论的研究。 • 从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而且在决策和 控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展。 “鞅”一词来源于法文martingale 的意译，原意是指马 的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直 到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。 •鞅是“公平”赌博(fair game)的数学模型。
1 2 S (t ) exp{( )t B(t )} 2
• 股票价格服从对数正态分布，即取对数之后为正态分布
1 2 ln ST ~ N [ln St (u )(T t ), T t ] 2
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3 收益率变化模型（1）
› 无红利支付股票收益率遵循的随机 过程 › dS/S=μdt+σdB
› 变量σ通常被称为股票价格波动率(stock price volatility)。即是股票收益率单位时间的标准差。 σ2表示股票收益率单位时间的方差。 › μ和σ为常数。
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2 股票价格行为模式（2）
› 无红利支付股票价格遵循的随机过程
dS=μSdt+σSdB
› 其中 S=S(t)代表 t 时刻股票价格 › B=B(t) 是标准Brown运动，也称Wiener过程。 › 表达式“dS=μSdt+σSdB”表示股价S(t)可以由瞬态期望 漂移率(instantaneous expected drift rate)为μS和瞬态 方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗运动）表达。
› 美国 UNLV数学系吴志坚教授给出一个由随机游走引出 Brown运动的思路。
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4 相关随机过程—Brown运动（3）
› 美国 UNLV数学系吴志坚教授给出一个由随机游走引出 Brown运动的思路。
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4 相关随机过程—Brown运动（4）
› 美国 UNLV数学系吴志坚教授给出一个由随机游走引出 Brown运动的思路。
› dS/S为股票价格收益率，上式表明 可以用漂移率的期望值为μ，方差率 的期望值为σ2的普通布朗运动表示。
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3 收益率变化模型（2）
› 股票收益率 dS/S=μdt+σdB › 可以用漂移率的期望值为μ，方差率的期望值为σ2的普通布 朗运动表示股票收益率 。 • 股票价格收益率的分布： 则可以得： • 记t到T时间内连续复利年利率为 ST 1 1 ln (ln ST ln St ) T t St T t
› 金融学中的布朗运动： 1900年法国学者Bachelier在其博士论文《投机理 论》中，首次用布朗运动来描述股票的价格变化。 这比Einstein的工作还要早五年。但可惜的是， Barchelier的工作直到他去世之后才被发现。
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花粉微粒在做 永不停息的无 规则运动
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4 相关随机过程—Brown运动（2）
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4 相关随机过程—鞅（2）
• 假设一个人在参加赌博，他已经赌了n 次，正准备参加第n + 1 次赌 博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关 的，用Xn表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有
E ( X n | X n1 ) X n1
成立，即赌博的期望收获为0，仅能维持原有财富水平不变，就可以 认为这种赌博在统计上是公平的。 • 在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投 资决策，我们可以把Xn设想为对由于信息发布而产生波动的金融资 产价格(过程)，而 E(Xn) 就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是 用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关 的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在20世纪 80年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。
›
进而由数学归纳法的Brown运动B(t)的任何 由限维分布都是正态的。
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4 相关随机过程—Brown运动（8）
› 例题1
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4 相关随机过程—Brown运动（9）
› 例题1
› 同理：
4 相关随机过程—Brown运动（10）
› Brown运动的转移概率和有限维分布
4 相关随机过程—Brown运动（11）
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1 股票价格行为特征、市场假设（5）
› 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性 (the weak form of market efficiency)相一致：
› 一种股票的现价已经包含了所有信息，当然 包括了所有过去的价格记录。
› 如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师 可通过分析股价的过去历史数据图表获得高 于平均收益率的收益是不可能的。
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提要
1 股票价格行为特征、市场假设
2 股票价格行为模式
3 收益率变化模型 4 相关随机过程 Markov过程、Brown运动、鞅、 Ito过程 5 相关随机分析 随机微积分、Ito积分、Ito定理、随机微分 方程 6 随机分析的其他应用
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1 股票价格行为特征、市场假设（1）
› 股票价格特征 – 股票价格具有某种无记忆性，即要预测股票未来的 价格只需知道现在价格即可，不需要知道股票的历 史价格。——马尔科夫链 – 股票价格的下一期增量与当前的股价有关。例如考 虑$10股价与$100股价的两支股票，其下一期的涨 幅显然是不一样的。当前股价越高，以金钱为单位
布朗运动是满足如下性质的随机过程
普通布朗运动：
dX dt dB dt dt
›
布朗运动的路径性质 （详见教材7.1节）
i) ii) 处处连续，处处不可微 无限变差
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iii) 有限二次变差
4 相关随机过程—Brown运动（7）
›
›
高斯（Gauss）过程是指所有有限维分布 都是Gauss分布的随机过程。 Gauss分布 X ~ N ( , ) 是正态分布的推广， 当其协方差矩阵 非退化时，就是正态 分布。
第6章 股票价格行为模 式分析（上）
布朗运动鞅随机积分及其在金融中的应用
2016-2017学年第2学期 统计与信息学院 张建新
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› 用什么方式述股票价格变化过程？
用语言举例说明？图形？表格？ —— 直观，但流于形式，不够深刻。 变量？随机变量？
—— 有进步，但缺乏动感，不能反 映股价随时间变化而变化的现象。 随机过程！ ——好，很好。具体什么随机过程 能够比较准确地描写股价变化行为？
› Brown运动的简单推广 › Brown桥
4 相关随机过程—Brown运动（12）
› Brown运动的简单推广
– 有吸收值得Brown运动 – 在原点反射的Brown运动
– 几何Brown运动
4 相关随机过程—Brown运动（13）
› Brown运动的简单推广
– 有漂移的Brown运动
请回顾股票价格模型：
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1 股票价格行为特征、市场假设（4）
› 弱式效率市场假说与马尔科夫过程 – b)效率市场分类 › 强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且 是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何 信息(包括“内幕信息”)对挑选证券都没有用处。 – 效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据进行了实 证分析。发现，发达国家的证券市场大体符合 弱式效率 市场假说。 – 弱 式 效 率 市 场 假 说 可 用 马 尔 可 夫 随 机 过 程 ( Markov Stochastic Process)来表述。
的涨跌越大。
– 股价的预期增量假设来自同一分布，则其相互独立。
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1 股票价格行为特征、市场假设（2）
› 弱式效率市场假说与马尔科夫过程 › a)效率市场假说 – 1965 年，法玛 (Fama) 提出了著名的效率市场 假说。该假说认为： – 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报 酬； – 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确 的，证券价格能完全反应全部信息； – 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另 一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是 相互独立的。
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4 相关随机过程—Brown运动（5）
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4 相关随机过程—Brown运动（6）
›
›
布朗运动也被成为Weiner过程，这是因为数学 家Weiner在对布朗运动的研究中作出了卓越的 贡献。
布朗运动的数学定义
i) 独立增量性 ii) 增量服从正态分布 iii) 路径连续 标准布朗运动：
dB dt